12Doch woher kommen die 67 %?

Es sieht gerade so aus, als wären die Geburten doch nicht gleich wahrscheinlich. Betrachtet man allerdings alle Kombinationen, die es für zwei Geschwister gibt, so lässt sich die Zahl einfach erklären.

$\Omega=\${

(1. Kind: Junge, 2. Kind: Junge),

(1. Kind: Junge, 2. Kind: Mädchen),

(1. Kind: Mädchen, 2. Kind: Junge),

(1. Kind: Mädchen, 2. Kind: Mädchen)}

Jedes dieser vier Ergebnisse ist gleich wahrscheinlich ($25\;\%$) und unterscheidet sich von den anderen.

Dadurch, dass wir mindestens einen Sohn in der Familie haben wollen, gibt es aber nur noch drei Ergebnisse.

$\Omega_2=\{$

(1. Kind: Junge, 2. Kind: Junge),

(1. Kind: Junge, 2. Kind: Mädchen),

(1. Kind: Mädchen, 2. Kind: Junge)}

$\Omega_2$ enthält nur noch $75\;\%$ aller Familien, die $25\;\%$ der Familien mit zwei Töchtern gibt es nicht mehr. Für deine alltägliche Fragestellung hast du den Ergebnisraum selbst zusätzlich vergröbert, also weniger genau hingeschaut und die gemischten Familien zusammengefasst. Die $50\;\%$ der Familien mit einem Jungen und einem Mädchen entsprechen bei der neuen Gesamtzahl an Familien $\frac 2 3$ der Familien, denn $50\;\%$ von $75\;\%$ sind $\frac 2 3$. Das übrige Drittel sind die Familien mit zwei Söhnen.

Rechnerisch verbirgt sich hinter dieser Handlung, also der Einschränkung der Ergebnismenge, übrigens die bedingten Wahrscheinlichkeit.