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Höhe des gleichseitigen Dreiecks

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Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich die Formel für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit der Seitenlänge a immer berechnen durch:

Berechnung der Höhe

Da die Höhe gleichzeitig eine Symmetrieachse des Dreiecks ist und die Seite a somit in zwei gleich große Abschnitte teilt, sind beide Abschnitte 0,5a lang.

gleichseitiges Dreieck mit Pythagoras

Das rechtwinklige Dreieck hat dann die Hypotenuse a und die Katheten h und 0,5a, also gilt mithilfe des Satz des Pythagoras:

(12a)2+h2=a2\left(\frac{1}{2}a\right)^2+h^2=a^2

Diese Gleichung lässt sich nach h umformen:

(1 2a)2+h2\displaystyle \left(\frac{1\ }{2}a\right)^2+h^2==a2\displaystyle a^2

Berechne auf der linken Seite

14a2+h2\displaystyle \frac{1}{4}a^2+h^2==a2\displaystyle a^214a2\displaystyle -\frac{1}{4}a^2
h2\displaystyle h^2==34a2\displaystyle \frac{3}{4}a^2

Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Da Seitenlängen positiv sind, musst du die negative Lösung nicht beachten.

h\displaystyle h==34a\displaystyle \sqrt{\frac{3}{4}}\cdot a

Ziehe teilweise die Wurzel

h\displaystyle h==32a\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}a

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