Komplexe Zahlen

  • imaginäre Einheit: i2=1i^2=-1

  • komplexe Zahl: z=a+ibz=a+ib mit a,bRa,b \in \mathbb{R}

  • aa heißt Realteil Re(z)\text{Re}(z) und bb Imaginärteil Im(z)\text{Im}(z) von zz

  • Konjugiert Komplexe Zahl: zˉ=aib\bar{z}=a-ib

  • Betrag einer komplexen Zahl: z=a2+b2\vert z \vert = \sqrt{a^2 + b^2}

  • zz=z2z\cdot\overline{z}=\left|z\right|^2

Was sind die komplexen Zahlen?

Die Gleichung x2+1=0x^2+1=0 hat in den dir bisher bekannten reellen Zahlen keine Lösung. Wenn es allerdings eine Zahl gäbe, die quadriert 1-1 ergeben würde, wäre die Gleichung lösbar. In den reellen Zahlen R\mathbb{R} gibt es eine solche Zahl nicht. Deswegen wird die Zahlenmenge der komplexen Zahlen C\mathbb{C} eingeführt.

In den komplexen Zahlen gibt es die sogenannte imaginäre Einheit ii, also eine Zahl, die quadriert 1-1 ergibt.

Damit kannst du die obige Gleichung lösen: x=±ix=\pm i

Eine komplexe Zahl zz lässt sich allgemein so schreiben:

wobei aa und bb reelle Zahlen sind. Diese Darstellung heißt kartesische Darstellung einer komplexen Zahl.

Man nennt aa den Realteil von zz. Man schreibt a=Re(z)a=\text{Re}(z).

bb ist der Imaginärteil von zz. Man schreibt: b=Im(z)b=\text{Im}(z).

Realteil und Imaginärteil sind also immer reelle Zahlen.

Beispiele

  • z1= 4+3iz_1=\ 4+3i und z2=12+35iz_2=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}i sind komplexe Zahlen. Für aa und bb kannst du also beliebige reelle Zahlen einsetzen und du erhältst eine komplexe Zahl. Für z1z_1 ist der Realteil 44 und der Imaginärteil 33. Für z2z_2 ist der Realteil 12\frac{1}{2} und der Imaginärteil 35\frac{3}{5}.

  • Auch z3=5iz_3=5i ist eine komplexe Zahl. In diesem Fall ist a=0a=0 und b=5b=5. Also ist Re(z3)=0\text{Re}(z_3)=0 und Im(z3)=5\text{Im}(z_3)=5.

  • z4=4z_4=4 ist eine reelle Zahl, aber auch eine komplexe Zahl. In diesem Fall ist a=4a=4 und b=0b=0. Also ist Re(z4)=4\text{Re}(z_4)=4 und Im(z4)=0\text{Im}(z_4)=0.

Die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen

Die reellen Zahlen R\mathbb{R} sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen C\mathbb{C}. Das bedeutet, dass jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist, aber nicht jede komplexe Zahl auch eine reelle Zahl ist.

Genauso sind zum Beispiel die natürlichen Zahlen N\mathbb{N} eine Teilmenge der reellen Zahlen R\mathbb{R}. Jede natürliche Zahl ist gleichzeitig auch eine reelle Zahl, aber nicht jede reelle Zahl ist auch eine natürliche. Zum Beispiel ist die natürliche Zahl 44 auch eine reelle Zahl, aber die reelle Zahl 2,672{,}67 ist keine natürliche Zahl.

Wichtige Begriffe

Die konjugiert komplexe Zahl zu z=a+ibz=a+ib ist definiert als

Das heißt, man ersetzt das Plus in der Mitte durch ein Minus.

Den Betrag einer komplexen Zahl z=a+ibz=a+ib kannst du so berechnen:

Der Betrag wird auch oft mit dem Buchstaben rr bezeichnet.

Mit der konjugiert komplexen Zahl gilt außerdem: zz=z2z\cdot\overline{z}=\left|z\right|^2

Beispiele

Die konjugiert komplexe Zahl von z1=3+4iz_1=3+4i erhältst du, indem du das Plus durch ein Minus ersetzt. Also ist die konjugiert komplexe Zahl z1ˉ=34i\bar{z_1}=3-4i.

Was ist die konjugiert komplexe Zahl von z2=2iz_2=2-i? Hier haben steht kein Plus, sondern ein Minus in der Mitte. Allerdings kannst du z2z_2 etwas umschreiben: z2=2i=2+(i)z_2=2-i=2+(-i). Nun kannst du das Plus durch ein Minus vertauschen, um die konjugiert Komplexe zu bilden: z2ˉ=2(i)=2+i\bar{z_2}=2-(-i)=2+i

Zusammenfassend kannst du dir also merken:

Um die konjugiert Komplexe zu bilden, machst du ein ++ in der Mitte zu einem - und ein - in der Mitte zu einem ++.

Berechne außerdem die Beträge von z1,z1ˉz_1, \bar{z_1} und z2z_2:

Bei z1=3+4iz_1=3+4i ist a=3a=3 und b=4b=4. Das setzt du in die Formel für den Betrag ein:

z1=32+42=9+16=25=5\vert z_1 \vert =\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Bei z1ˉ=34i\bar{z_1}=3-4i ist a=3a=3 und b=4b=-4. Der Betrag ist damit:

z1ˉ=32+(4)2=9+16=25=5\vert \bar{z_1} \vert =\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Der Betrag der konjugiert Komplexen Zahl zˉ\bar{z} ist genauso groß wie der Betrag der "ursprünglichen" komplexen Zahl zz.

Bei z2=2iz_2=2-i ist a=2a=2 und b=1b=-1. Der Betrag ist also:

z2=22+(1)2=4+1=5\vert z_2 \vert =\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}

Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen

Du kannst zwei komplexe Zahlen addieren oder subtrahieren, indem du die Realteile addierst bzw. subtrahierst und anschließend die Imaginärteile addierst bzw. subtrahierst.

Allgemein:

Die Summe aus z1z_1 , z2z_2 C:\in\mathbb{C}: z1=a+ibz_1=a+ib , z2=c+idz_2=c+id ergibt sich als

z1+z2=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)z_1+z_2=\left(a+ib\right)+\left(c+id\right)=\left(a+c\right)+i\cdot\left(b+d\right)

Beispiele

Addiere z1=42iz_1=4-2i und z2=1+iz_2=1+i. Das Ziel ist es, am Ende wieder eine komplexe Zahl der Form z=a+ibz=a+ib zu erhalten.

Schreibe die zwei komplexen Zahlen in Klammern und addiere sie.

z1+z2\displaystyle z_1+z_2==(42i)+(1+i)\displaystyle \left(4-2i\right)+\left(1+i\right)

Die Klammern kannst du weglassen, weil zwischen den Klammern nur ein + steht.

==42i+1+i\displaystyle 4-2i+1+i

Nun ordnest du: du bringst alle Zahlen ohne ii, also die Realteile nach vorne und alle Glieder mit ii nach hinten. Achte darauf, dass du die Vorzeichen mitnimmst.

==4+12i+i\displaystyle 4+1-2i+i

Jetzt kannst du die Zahlen vorne miteinander verrechnen und die Glieder mit ii verrechnen

==5i\displaystyle 5-i

Das bedeutet, die Summe von z1z_1 und z2z_2 ergibt wieder eine komplexe Zahl. Das ist das Endergebnis. Du kannst 5i5-i nicht weiter vereinfachen.

Subtrahiere z3=1+3iz_3=1+3i von z4=6+8iz_4=6+8i. Auch hier soll als Endergebnis wieder eine komplexe Zahl in ihrer "normalen", kartesischen Darstellung z=a+ibz=a+ib stehen.

Schreibe die komplexen Zahlen jeweils in Klammern und subtrahiere dann die Klammern.

z4z3\displaystyle z_4-z_3==(6+8i)(1+3i)\displaystyle \left(6+8i\right)-\left(1+3i\right)

Die vorderen Klammern kannst du weglassen, weil vor ihr quasi ein Plus steht. Die hintere Klammer ist eine Minusklammer, weil vor ihr ein Minus steht. Du kannst sie auflösen, indem du jedes Vorzeichen in der Klammer einmal umdrehst.

==6+8i13i\displaystyle 6+8i-1-3i

Nun ordnest du: du bringst alle Zahlen ohne ii nach vorne und alle Zahlen mit ii nach hinten. Achte darauf, dass du die Vorzeichen mitnimmst.

==61+8i3i\displaystyle 6-1+8i-3i

Nun kannst du die Zahlen vorne ohne ii miteinander verrechnen und sie Glieder mit ii

==5+5i\displaystyle 5+5i

Wichtig bei der Subtraktion ist, dass du die komplexe Zahl, die du abziehst, in Klammern setzt. Dann erhältst du eine Minusklammer, die du durch Umdrehen aller Vorzeichen auflösen kannst.

Multiplikation zweier komplexer Zahlen

Du kannst zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizieren, indem du die beiden komplexen Zahlen jeweils in Klammern setzt und anschließend wie gewohnt die Klammern ausmultiplizierst.

Allgemein:

Das Produkt aus z1z_1 , z2z_2 C:\in\mathbb{C}: z1=a+ibz_1=a+ib , z2=c+idz_2=c+id ergibt sich als

z1z2=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibcbd=(acbd)+i(ad+bc)z_1\cdot z_2=\left(a+ib\right)\cdot\left(c+id\right)=ac+i\cdot ad+i\cdot bc-bd=\left(ac-bd\right)+i\cdot\left(ad+bc\right)

Beispiele

Multipliziere z1=42iz_1=4-2i und z2=1+iz_2=1+i. Ziel ist es, am Ende wieder eine komplexe Zahl der Form z=a+ibz=a+ib zu erhalten.

Setze die beiden komplexen Zahlen jeweils in KIammern und verbinde die Klammern durch ein Malzeichen.

z1z2\displaystyle z_1\cdot z_2==(42i)(1+i)\displaystyle \left(4-2i\right)\cdot\left(1+i\right)

Jetzt kannst du die Klammern wie gewohnt ausmultiplizieren, also jedes Element der linken Klammer mit jedem Element der rechten Klammer multiplizieren.

==41+4i2i12ii\displaystyle 4\cdot1+4\cdot i-2i\cdot1-2i\cdot i

Das kannst du vereinfachen, um die Malzeichen wegzubekommen.

==4+4i2i2i2\displaystyle 4+4i-2i-2i^2

Verwende, dass i2=1i^2=-1

==4+4i2i2(1)\displaystyle 4+4i-2i-2\cdot\left(-1\right)

Das letzte Glied kannst du nochmal vereinfachen, indem du (2)(1)\left(-2\right)\cdot\left(-1\right) ausrechnest

==4+4i2i+2\displaystyle 4+4i-2i+2

Jetzt ordnest du: Alle Zahlen ohne ii kommen nach vorne und alle Zahlen mit ii kommen nach hinten. Achte darauf, dass du die Vorzeichen der Zahlen immer mitnimmst.

==4+2+4i2i\displaystyle 4+2+4i-2i

Nun kannst du die vorderen Zahlen ohne ii miteinander verrechnen und die Zahlen hinten mit ii

==6+2i\displaystyle 6+2i

Das ist das Endergebnis. Du kannst 6+2i6+2i nicht weiter vereinfachen.

Multipliziere z3=1+3iz_3=1+3i und z4=6+8iz_4=6+8i.

Setze die beiden komplexen Zahlen, die du miteinander multiplizieren willst jeweils in Klammern. Dann schreibst du ein Mal zwischen die Klammern.

z3z4\displaystyle z_3\cdot z_4==(1+3i)(6+8i)\displaystyle \left(1+3i\right)\cdot\left(6+8i\right)

Die Klammern kannst du wie gewohnt ausmultiplizieren - so als stünden ganz "normale" Zahlen darin. D.h. du multiplizierst jedes Element aus der linken Klammer mit jedem Element aus der rechten Klammer.

==16+18i+3i6+3i8i\displaystyle 1\cdot6+1\cdot8i+3i\cdot6+3i\cdot8i

Die einzelnen "kleinen" Produkte kannst du jetzt ausrechnen. z.B. ist 3i6=18i3i\cdot6=18i, weil du die 33 mit der 66 multiplizieren kannst und anschließend das ii wieder dranhängst. Du kannst dir im Kopf vorstellen, dass ii wie eine Variable ist, also z.B. xx und dann wie gewohnt rechnen.

==6+8i+18i+24i2\displaystyle 6+8i+18i+24i^2

Du weißt, dass i2=1i^2=-1, deswegen kannst du ausrechnen: 24i2=24(1)=2424i^2=24\cdot\left(-1\right)=-24

==6+8i+18i24\displaystyle 6+8i+18i-24

Jetzt ordnen du: du bringst alle Glieder ohne ii nach vorne und alle Glieder mit ii nach hinten. Achte darauf, dass du die Vorzeichen der Zahlen immer mitnimmst.

==624+8i+18i\displaystyle 6-24+8i+18i

Jetzt verrechnest du alle Zahlen mit ii miteinander und alle Zahlen ohne ii.

==18+26i\displaystyle -18+26i

Teilen zweier komplexer Zahlen

Du kannst zwei komplexe Zahlen folgendermaßen durcheinander teilen:

  1. Schreibe die Teilung als Bruch

  2. Überlege dir die konjugiert komplexe Zahl des Nenners (also der Zahl unten im Bruch)

  3. Erweitere den Bruch mit dieser konjugiert komplexen Zahl.

  4. Multipliziere die nun entstandenen Klammern aus.

  5. Du erhältst dann im Nenner eine reelle Zahl. Vereinfache den Zähler.

  6. Teile jedes Glied des Zählers (also der Zahl oben im Bruch) durch die reelle Zahl im Nenner.

Beispiele

Teile z1=42iz_1=4-2i durch z2=1+iz_2=1+i.

Ziel ist es, am Ende wieder eine komplexe Zahl der Form z=a+ibz=a+ib zu erhalten. Dafür muss der Bruchstrich, der durch die Teilung entsteht, irgendwie wegkommen.

1) Schreibe die Teilung als Bruch

z1:z2\displaystyle z_1:z_2==z1z2\displaystyle \frac{z_1}{z_2}

Setze für z1z_1 und z2z_2 die komplexen Zahlen aus der Angabe ein:

==42i1+i\displaystyle \frac{4-2i}{1+i}

2) Überlege dir die konjugiert Komplexe Zahl vom Nenner, also von 1+i1+i. Ersetze das ++ durch ein -, um die konjugiert komplexe Zahl zu erhalten. Die konjugiert Komplexe ist also: 1i1-i

3) Erweitere den Bruch mit dieser Zahl, d.h. multipliziere den Nenner und den Zähler mit (1i)\left(1-i\right). Dafür setzt du den Zähler und den Nenner auch in Klammern.

==(42i)(1i)(1+i)(1i)\displaystyle \frac{\left(4-2i\right)\cdot\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\cdot\left(1-i\right)}

Rechne das Produkt der zwei komplexen Zahlen im Zähler und das im Nenner aus. 4) Dafür multiplizierst du die Klammern erstmal wie gewohnt aus.

==41+4(i)2i12i(i)11+1(i)+i1+i(i)\displaystyle \frac{4\cdot1+4\cdot\left(-i\right)-2i\cdot1-2i\cdot\left(-i\right)}{1\cdot1+1\cdot\left(-i\right)+i\cdot1+i\cdot\left(-i\right)}

Jetzt vereinfachst du den Zähler und den Nenner einzeln. Dafür rechnest du erstmal die Produkte aus.

==44i2i+2i21i+ii2\displaystyle \frac{4-4i-2i+2i^2}{1-i+i-i^2}

Verwenden, dass i2=1i^2=-1 ist, um den Zähler und den Nenner noch weiter einzeln zu vereinfachen. Im Zähler hast du 2i2=2(1)=22i^2=2\cdot\left(-1\right)=-2 und im Nenner i2=(1)=+1-i^2=-\left(-1\right)=+1

==44i2i21i+i+1\displaystyle \frac{4-4i-2i-2}{1-i+i+1}

Nun ordnest du Zähler und Nenner einzeln etwas: bringe die Zahlen ohne ii nach vorne und die Zahlen mit ii nach hinten.

==424i2i1+1i+i\displaystyle \frac{4-2-4i-2i}{1+1-i+i}

Wieder rechnest du im Zähler und Nenner erstmal einzeln, also getrennt: Nämlich verrechnest du jetzt die Zahlen ohne ii miteinander und die mit ii miteinander.

==26i2\displaystyle \frac{2-6i}{2}

5) Jetzt hast du im Nenner eine reelle Zahl, nämlich nur noch die 22.

6) Nun teilst du jedes einzelne Glied vom Zähler durch diese Zahl im Nenner, also durch 22

==226i2\displaystyle \frac{2}{2}-\frac{6i}{2}

Diese einzelnen Brüche vereinfachst du jetzt noch:

==13i\displaystyle 1-3i

Das ist das Endergebnis, da du 13i1-3i nicht weiter vereinfachen kannst.

Teile z3=1+3iz_3=1+3i durch z4=6+8iz_4=6+8i.

1) Schreibe die Teilung als Bruch

z3:z4\displaystyle z_3:z_4==z3z4\displaystyle \frac{z_3}{z_4}

Jetzt setzt du für z3z_3 und z4z_4 die komplexen Zahlen aus der Angabe ein:

==1+3i6+8i\displaystyle \frac{1+3i}{6+8i}

2) Überlege dir die konjugiert Komplexe Zahl vom Nenner, also von 6+8i6+8i. Ersetze das ++ durch ein -, um die konjugiert komplexe Zahl zu erhalten. Die konjugiert Komplexe ist also: 68i6-8i

3) Nun erweiterst du den Bruch mit dieser Zahl, d.h. du multiplizierst den Nenner und den Zähler mit (68i)\left(6-8i\right). Dafür setzt du den Zähler und den Nenner auch in Klammern.

==(1+3i)(68i)(6+8i)(68i)\displaystyle \frac{\left(1+3i\right)\cdot\left(6-8i\right)}{\left(6+8i\right)\cdot\left(6-8i\right)}

Jetzt rechnest du das Produkt der zwei komplexen Zahlen im Zähler und das im Nenner aus. 4) Dafür multiplizierst du die Klammern erstmal wie gewohnt aus.

==16+1(8i)+3i6+3i(8i)66+6(8i)+8i6+8i(8i)\displaystyle \frac{1\cdot6+1\cdot\left(-8i\right)+3i\cdot6+3i\cdot\left(-8i\right)}{6\cdot6+6\cdot\left(-8i\right)+8i\cdot6+8i\cdot\left(-8i\right)}

Jetzt kannst du den Zähler und den Nenner einzeln vereinfachen. Dafür rechnest du erstmal die Produkte aus.

==68i+18i24i23648i+48i64i2\displaystyle \frac{6-8i+18i-24i^2}{36-48i+48i-64i^2}

Jetzt verwendest du, dass i2=1i^2=-1 ist, um den Zähler und den Nenner noch weiter einzeln zu vereinfachen. Im Zähler steht 24i2=24(1)=24-24i^2=-24\cdot\left(-1\right)=24 und im Nenner 64i2=64(1)=64-64i^2=-64\cdot\left(-1\right)=64

==68i+18i+243648i+48i+64\displaystyle \frac{6-8i+18i+24}{36-48i+48i+64}

Nun verrechnest du alle Zahlen mit ii miteinander und alle Zahlen ohne ii

==30+10i100\displaystyle \frac{30+10i}{100}

5) Jetzt steht im Nenner eine reelle Zahl, nämlich nur noch die 100100

6) Nun teilst du jedes einzelne Glied vom Zähler durch diese Zahl im Nenner, also durch 100100. Das Vorzeichen zwischen den Brüchen ist dasselbe, wie vorher oben auf dem Bruch stand.

==30100+10i100\displaystyle \frac{30}{100}+\frac{10i}{100}

Die Brüche kannst du noch kürzen.

==310+110i\displaystyle \frac{3}{10}+\frac{1}{10}i

Das ist das Endergebnis. Du hast eine komplexe Zahl der Form z=a+ibz=a+ib erhalten mit a=310a=\frac{3}{10} und b=110b=\frac{1}{10}.

Darstellung komplexer Zahlen im Koordinatensystem

Der Betrag einer komplexen Zahl lässt sich genauso berechnen, wie die Länge eines Vektors. Du kannst dir eine komplexe Zahl also als zweidimensionalen Vektor vorstellen, der die xx-Komponente aa und die yy-Koordinate bb hat:

Wenn du diesen Vektor in ein Koordinatensystem einzeichnen willst, gehst du aa Einheiten entlang der xx-Achse und anschließend bb Einheiten entlang der yy-Achse.

Analog kann man eine komplexe Zahl in ein Koordinatensystem einzeichnen. Auf der xx-Achse wird der Realteil aufgetragen. Deswegen wird diese Achse statt mit xx nun mit Re\text{Re} für den Realteil beschriftet. Auf der yy-Achse wird der Imaginärteil aufgetragen. Deswegen wird diese Achse mit Im\text{Im} beschriftet. Diese (x,y)\left(x,y\right)-Ebene nennt man die Gaußsche Zahlenebene.

So kann man jede komplexe Zahl in einem fast gewöhnlichen Koordinatensystem als Vektor darstellen.

In diesem Applet kannst du den blauen Punkt verschieben. Er steht für die komplexe Zahl zz. Wenn du ihn horizontal, also entlang der xx-Achse verschiebst, ändert sich der Realteil. Wenn du den Punkt vertikal, also entlang der yy-Achse verschiebst, ändert sich der Imaginärteil.

Du kannst außerdem den Betrag und die konjugiert komplexe Zahl einblenden. Der Betrag hat eine geometrische Bedeutung: Er ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung.

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