Komplexe Zahlen

Die Gleichung x2+1=0x^2+1=0 hat keine Lösung xRx\in\mathbb{R}. Sie lösen zu wollen führt auf die einfachste Situation in der komplexe Zahlen benötigt werden. Man definiert die imaginäre Zahl ii als die Lösung der obigen Gleichung d. h. es gilt i2=1i^2=-1.

Die komplexen Zahlen definiert man als die Menge aller z=a+biz= a+ b\cdot i, wobei a,ba,b reelle Zahlen sind. In Mengenschreibweise C={a+bia,bR}\mathbb{C}=\{ a+ b\cdot i \mid a,b\in\mathbb{R}\}. Für z=a+biz= a+ b\cdot i heißt a=Re(z)a=\mathrm{Re}( z) der Realteil von zz und b=Im(z)b=\mathrm{Im}( z) der Imaginärteil von zz.

Mit Hilfe der komplexen Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, die in R\mathbb{R} nicht gelöst werden können.

Beispiele

z1  =  4+3iz_1\;=\;4+3\cdot i         \;\;\Rightarrow\;\; Re(z1)=4,Im(z1)=3\text{Re}({ z}_1)=4,\,\text{Im}( z_1)=3

Definitionen

Die konjugiert komplexe Zahl zu z=a+biz= a+ b\cdot i definiert man als z=abi\overline{ z}= a- b\cdot i .

Der Betrag einer komplexen Zahl ergibt sich durch z=a2+b2\left| z\right|=\sqrt{ a^2+ b^2} wobei zz=z2z\cdot\overline z=\left|z\right|^2 .

Darstellung

Die reellen Zahlen sind darstellbar auf einem Zahlenstrahl. Die komplexen Zahlen stellt man auf der Gaußschen Zahlenebene (in Arbeit) dar.

Rechenregeln

Man addiert zwei komplexe Zahlen zu einer neuen, indem man die Realteile und die Imaginärteile addiert.

Die Summe aus z1z_1 , z2z_2 C\in\mathbb{C} z1=a+bi{ z}_1= a+ b\cdot i , z2=c+di{ z}_2= c+ d\cdot i ergibt sich als

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen mit Hilfe des Distributivgesetzes.

D. h. man kann mit komplexen Zahlen so rechnen wie man es von reellen Zahlen gewohnt ist.


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