Aufgaben zum Zylinder - lernen mit Serlo!

Zeichne jeweils ein Schrägbild und ein Netz der gegebenen stehenden geraden Kreiszylinder.

Berechne außerdem jeweils die Oberfläche.

Der Kreiszylinder hat einen Durchmesser von $5\;\text{cm}$ und eine Höhe von $5\;\text{cm}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen

Schrägbild

1. Zeichne den Durchmesser $\text{d}=2\cdot\text{r}= 5\;\text{cm}$ des Zylinders (gestrichelt).

2. Zeichne eine Mittelsenkrechte mit der Länge $\text{r}=\dfrac{d}{2}=2{,}5\;\text{cm}$ (gestrichelt), so wie in der nebenstehenden Abbildung.

3. Ein Kreis in perspektivischer Darstellung erscheint als Ellipse. Zeichne um die Enden der beiden Strecken eine Ellipse.

Der nicht sichtbare Teil der Grundfläche $G$ (der hintere Rand der Ellipse) wird gestrichelt gezeichnet.

4. Zeichne die seitlichen Begrenzungslinien des Zylinders senkrecht an die Enden des Durchmessers mit einer Länge von $\text{h}=5\;\text{cm}$ .

5. Zeichne die Deckfläche ebenfalls als Ellipse parallel zur Grundfläche.

Netz

Der abgewickelte Mantel des Zylinders ist ein Rechteck. Die Länge $a$ des Rechtecks entspricht dem Umfang $U$ des Grund-(Deck) Kreises. Die Breite $b$ des Rechtecks entspricht der Höhe $h$ des Zylinders.

$a=2\cdot r\cdot \pi\approx 2\cdot 2{,}5\;\text{cm}\cdot3{,}14=15{,}7\;\text{cm}$

$b=5\;\text{cm}$

Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=15{,}7\;\text{cm}$ und $b=5\;\text{cm}$ .

Auf den zwei gegenüberliegenden Rechteckseiten $a$ kannst du je einen Kreis mit dem Radius $r=2{,}5\;\text{cm}$ zeichnen. Die Kreise müssen direkt an der Rechteckfläche anliegen.

Oberfläche

Die Oberfläche des Zylinders besteht aus zwei flächengleichen Kreisen (Grundfläche und Deckfläche) und der Mantelfläche (Rechteck):

$\displaystyle O_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_{Kreis}+A_{Mantel}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot r^2\cdot \pi+2\cdot r\cdot \pi\cdot h$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot (2{,}5\;\text{cm})^2\cdot \pi+2\cdot (2{,}5\;\text{cm})\cdot \pi\cdot (5\;\text{cm})$
	$=$	$\displaystyle 12{,}5\;\text{cm}^2\cdot \pi+25\;\text{cm}^2\cdot \pi$
	$=$	$\displaystyle 37{,}5\;\text{cm}^2\cdot \pi$
	$≈$	$\displaystyle 117{,}8\;\text{cm}^2$

Antwort: Die Oberfläche des Zylinders beträgt etwa $117{,}8\;\text{cm}^2$ .

Anmerkung : Wird mit $\pi \approx 3{,}14$ gerechnet, erhältst du für die Oberfläche gerundet ebenfalls $117{,}8\;\text{cm}^2$ .

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Der Kreiszylinder hat einen Durchmesser von $9\;\text{cm}$ und eine Höhe von $8\;\text{cm}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen

Schrägbild

1. Zeichne den Durchmesser $\text{d}=2\cdot\text{r}= 9\;\text{cm}$ des Zylinders (gestrichelt).

2. Zeichne eine Mittelsenkrechte mit der Länge $\text{r}=\dfrac{d}{2}=4{,}5\;\text{cm}$ (gestrichelt), so wie in der nebenstehenden Abbildung.

3. Ein Kreis in perspektivischer Darstellung erscheint als Ellipse. Zeichne um die Enden der beiden Strecken eine Ellipse.

Der nicht sichtbare Teil der Grundfläche $G$ (der hintere Rand der Ellipse) wird gestrichelt gezeichnet.

4. Zeichne die seitlichen Begrenzungslinien des Zylinders senkrecht an die Enden des Durchmessers mit einer Länge von $\text{h}=8\;\text{cm}$ .

5. Zeichne die Deckfläche ebenfalls als Ellipse parallel zur Grundfläche.

Netz

$a=2\cdot r\cdot \pi\approx 2\cdot 4{,}5\;\text{cm}\cdot3{,}14\approx 28{,}3\;\text{cm}$

$b=8\;\text{cm}$

Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=28{,}3\;\text{cm}$ und $b=8\;\text{cm}$ .

Auf den zwei gegenüberliegenden Rechteckseiten $a$ kannst du je einen Kreis mit dem Radius $r=4{,}5\;\text{cm}$ zeichnen. Die Kreise müssen direkt an der Rechteckfläche anliegen.

Oberfläche

Die Oberfläche des Zylinders besteht aus zwei flächengleichen Kreisen (Grundfläche und Deckfläche) und der Mantelfläche (Rechteck):

$\displaystyle O_{Zyl}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot A_{Kreis}+A_{Mantel}$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot r^2\cdot \pi+2\cdot r\cdot \pi\cdot h$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot (4{,}5\;\text{cm})^2\cdot \pi+2\cdot (4{,}5\;\text{cm})\cdot \pi\cdot (8\;\text{cm})$
	$=$	$\displaystyle 40{,}5\;\text{cm}^2\cdot \pi+72\;\text{cm}^2\cdot \pi$
	$=$	$\displaystyle 112{,}5\;\text{cm}^2\cdot \pi$
	$≈$	$\displaystyle 353{,}4\;\text{cm}^2$

Antwort: Die Oberfläche des Zylinders beträgt etwa $353{,}4\;\text{cm}^2$ .

Anmerkung : Wird mit $\pi \approx 3{,}14$ gerechnet, erhältst du für die Oberfläche etwa $353{,}3\;\text{cm}^2$ .

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