Um Inhalte von Flächen oder Körpern in einem Koordinatensystem zu berechnen, ohne mit einem Lineal zu messen, gibt es zwei verschiedene Methoden:

• Ist die Figur achsenparallel, das heißt die zur Flächenberechnung notwendigen Seiten sind parallel zur x- oder y-Achse, berechnet man die Flächen über die Koordinatendifferenz.

• Ist die Figur oder der Körper nicht achsenparallel kann sein Inhalt über Vektoren bestimmt werden.

Inhalte über Koordinatendifferenz

Um den Flächeninhalt über die Koordinantendifferenz zu bestimmen müssen die zur Berechnung der Fläche notwendingen Längen parallel zu den Koordinantenachsen sein. Nun werden die Längen der benötigten Seiten über Differenzen von Punktkoordinanten bestimmt und in die entsprechende Formel eingesetzt.

Beispiel:

Es soll der Flächeninhalt des Dreiecks ABC, mit $\mathrm{A}(-1\mathrm{I}-2)$ ,  $\mathrm{B}(5\mathrm{I}-2)$  und  $\mathrm{C}(9\mathrm{I}6)$  berechnet werden.

Die Fomel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist  $\mathrm{A}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{h}\cdot \mathrm{g}$ .

Es soll der Flächeninhalt des Dreiecks ABC, mit $\mathrm{A}(-1\mathrm{I}-2)$ ,  $\mathrm{B}(5\mathrm{I}-2)$  und  $\mathrm{C}(9\mathrm{I}6)$  berechnet werden.

Die Fomel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist  $\mathrm{A}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{h}\cdot \mathrm{g}$ .

Nun müssen die Grundlinie g und die Höhe h bestimmt werden.

Bestimmung der Grundlinie:

Die Grundlinie ist parallel zur x-Achse und wird durch die Punkte A und B bestimmt. 

Die Differenz der x-Koordinanten von A und B ist damit die Länge der Grundlinie.

$\mathrm{g}={\mathrm{x}}_{\mathrm{b}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{a}}=5-(-1)=5+1=6\mathrm{LE}$

Bestimmung der Höhe h:

Die Höhe h ist parallel zur y-Achse und wird durch die Differenz der y-Koordinaten von C und A oder B berechnet. Die y-Koordinate von A und B muss gleich sein, da sie sonst nicht parallel zur x-Achse wären.

$\mathrm{h}={\mathrm{x}}_{\mathrm{c}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{a}}=6-(-2)=6+2=8\mathrm{LE}$

Die Werte müssen nun noch in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks eingesetzt werden.

$A=\frac{1}{2}\cdot h\cdot g=\frac{1}{2}\cdot 8LE\cdot 6LE=22FE$

Damit ist der Flächeninhalt 22FE.

Weitere Hinweise:

• Die Differenzen müssen immer Positiv sein, da sonst ein nicht positiver Flächeninhalt berechnet wird.

• LE steht für Lengeneinheit, FE steht für Flächeninhalt.

• Die Methode kann auch zu Bestimmung vom Volumina eines Körpers genutzt werden, dies wird jedoch nur sehr selten gemacht.

Inhalte über Vektoren  Artikel zum Thema    Article 406 not found

Die Fläche oder das Volumina einer nicht achsenparallen Figur wird über Vektoren bestimmt. Dazu gibt es bestimme Formeln die im Folgenden ausgeführt werden. Hilfreich ist auch die Eigenschaft des Kreuzproduktes im 3-Dimensionalen Koordinatesystem, da es halbiert die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Dreiecks ergibt.

Inhalt eines Dreiecks ABC       Artikel zum Thema

im Zweidimensionalen

$\mathrm{A}=\frac{1}{2}|({\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_2-{\mathrm{a}}_2{\mathrm{b}}_1)+({\mathrm{b}}_1{\mathrm{c}}_2-{\mathrm{b}}_2{\mathrm{c}}_1)+({\mathrm{c}}_1{\mathrm{a}}_2-{\mathrm{c}}_2{\mathrm{a}}_1)|$

im Dreidimensionalen

$\mathrm{A}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|$

Inhalt eines Parallelograms       Artikel zum Thema

welches von den Vektoren  $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{a}}$  und  $\overrightarrow{\mathrm{b}}$  im 2-Dimensionalen aufgespannt wird.

$\mathrm{A}=|{\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_2-{\mathrm{a}}_2{\mathrm{b}}_1|$

welches von den Vekoren  $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{c}}$  und  $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{d}}$  im 3-Dimensionalen aufgespannt wird.

$\mathrm{A}=|\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{c}}\times \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{d}}|$

Man muss jedoch beachten, dass man den durch das Kreuzprodukt enstehenden Vektor nicht vergrößern oder verkleiner darf. 

Volumen einer dreiseitigen Pyramide       Artikel zum Thema

$\begin{array}{l}\mathrm{V}=\frac{1}{6}|\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ (\overrightarrow{\mathrm{b}}\times \overrightarrow{\mathrm{c}})|=\frac{1}{6}\left|\det (\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}})\right|\end{array}$