Teil 2 Analysis I - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f : x \to (2 x^{2} - 4) \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 1}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ . Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{f}$ bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $| x | \to \infty$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kriterien für Symmetrie; Grenzverhalten der e-Funktion
Somit gilt: für alle $x \in ℝ$ ist $f (x) = f (- x)$ . Also ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch
Da die e-Funktion im Wachstumsverhalten stärker als jede ganzrationale Funktion ist,
gilt $\lim_{| x | \to \infty} (- \frac{1}{2} x^{2} - 1) = - \infty$ .
Daher ist $\lim_{| x | \to \infty} e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1} = 0$ und auch $\lim_{| x | \to \infty} f (x) = 0$ .
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Betrachte die Funktionsterme von $f (x)$ und $f (- x)$ :
$f (x) = (2 x^{2} - 4) \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1}$
$f (- x) = (2 (- x)^{2} - 4) \cdot e^{- \frac{1}{2} (- x)^{2} - 1} = (2 x^{2} - 4) \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1} = f (x)$
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_{f}$ und geben Sie die Wertemenge $W_{f}$ der Funktion f an.
[Teilergebnis: $f^{'} (x) = (8 x - 2 x^{3}) \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{^{2}} - 1}$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Methode zum Auffinden von Extrema, Produkt und Kettenregel
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Extrema einer differenzierbaren Funktion können an Nullstellen der 1. Ableitung liegen.
Der vorliegende Funktionsterm ist ein Produkt. Der erste Faktor ist ein Polynom, der zweite Faktor eine verkettete Funktion.
Bei $e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1}$ ist $e (x)$ die äußere Funktion und der Term im Exponenten die innere Funktion.
Somit gilt für die 1. Ableitung:
$f^{'} (x) = 4 x \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1} + (2 x^{2} - 4) \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1} \cdot (- x) = (- 2 x^{3} + 4 x + 4 x) \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1}$
$f^{'} (x) = (8 x - 2 x^{3}) \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1}$
Nullstellen von $f^{'} (x)$ :
Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt, dessen 2. Faktor $e^{- \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 1}$ nicht Null werden kann.
Somit:
$f^{'} (x) = 0 ⟺ 8 x - 2 x^{3} = 0 ⟺ 2 x (4 - x^{2}) = 0 ⟺$
$f^{'} (x) = 0 ⟺ x_{1} = 0 \lor x_{2} = - 2 \lor x_{3} = 2$
$- 2 x^{3} + 8 x$ ist ein Polynom vom Grad 3 mit 3 verschiedenen Nullstellen. Somit liegen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel vor.
Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, ist das Vorzeichen von $f^{'}$ das Vorzeichen von $g (x) = 8 x - 2 x^{3}$ .
Es gilt: $g (- 1) = - 8 + 2 = - 6 < 0 und g (1) = 8 - 2 = 6 > 0$
Somit: $- \infty < x < - 2 \Rightarrow f^{'} (x) > 0; f ↑$
$- 2 < x < 0 \Rightarrow f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f ↓$
$0 < x < 2 \Rightarrow f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f^{'} ↑$
$2 < x < \infty \Rightarrow f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f ↓$
Also $Max (- 2 | \frac{4}{e^{3}}); Min (0 | - \frac{4}{e}); Max (2 | \frac{4}{e^{3}})$
Stellen Sie die Gleichung der Tangente an $G_{f}$ an der Stelle $x = 1$ in allgemeiner Form auf.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Tangente ist gleich 1. Ableitung an Berührstelle
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Bestimme die Tangente an $G_{f}$ an der Stelle $x = 1.$
Der Berührpunkt $B$ hat die Koordinaten $B (1 | (f (1)) = B (1 | - \frac{2}{{\sqrt{e}}^{3}})$ .
Eine Tangente $t$ ist eine Gerade. Die Geradengleichnung hat die Form $t : y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der $y$ -Achsenabschnitt ist.
Es gilt: $m = f^{'} (1) = (8 \cdot 1 - 2 \cdot 1^{3}) \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1} = 6 \cdot e^{-} \frac{3}{2} = \frac{6}{{\sqrt{e}}^{3}} .$
Somit gilt für die Tangentengleichung: $t : y = \frac{6}{{\sqrt{e}}^{3}} \cdot x + b$ .
Um $b$ zu bestimmen, nutzt man aus, dass der Berührpunkt $B$ Element der Tangente ist. Die Koordinaten von $B$ müssen die Tangentengleichung erfüllen.
$B \in t : - \frac{2}{{\sqrt{e}}^{3}} = \frac{6}{{\sqrt{e}}^{3}} \cdot 1 + b \Rightarrow b = - \frac{8}{{\sqrt{e}}^{3}} \Rightarrow t : y = \frac{6}{\sqrt{} e^{3}} \cdot x - \frac{8}{{\sqrt{e}}^{3}}$
Damit haben wir die gesuchte Tangentengleichung berechnet. $t : y = \frac{1}{{\sqrt{e}}^{3}} \cdot (6 x - 8)$
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f für $- 3 \leq x \leq 3$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 2 cm

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Die Nullstellen von der Funktion $f$ werden durch den Faktor $2 x^{2} - 4$ bestimmt, da die e-Funktion nicht Null werden kann.
Somit:
$f (x) = 0 ⟺ 2 x^{2} - 4 = 0 ⟺ x^{2} - 2 = 0 ⟺ x_{N 1} = - \sqrt{2} \lor x_{N 2} = \sqrt{2}$
Mit Beachtung der Extrema, der Grenzwerte und Symmetrie ergibt sich:
Der Graph der Ableitungsfunktion von f und die x-Achse schließen im I. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems im Bereich $0 \leq x \leq 2$ ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet.

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Die 1. Ableitung $f^{'} (x) = (8 x - 2 x^{3}) \cdot e^{- \frac{1}{2} x^{2} - 1}$ hat die Nullstellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 2$ .
Somit gilt für die Maßzahl der vom Graph $G_{f^{'}}$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche $A$ :
$\int_{0}^{2} f^{'} (x () d x = f (x) |_{0}^{2} = f (2) - f (0) = 4 e^{- 3} + 4 e^{- 1} =$
$\frac{4}{e^{3}} \cdot (1 + e^{2}) F E \approx 1,67 FE$
Der Graph $G_{f}$ und die Koordinatenachsen schließen im IV. Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Schätzen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks geeignet ab.

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Die Tangente aus c) und die Koordinatenachsen beschreiben ein rechtwinkliges Dreieck. Das Flächenstück, das im IV. Quadranten vom Graph $G_{f}$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, kann recht gut durch dieses Dreieck angenähert beschrieben werden.
Die Fläche des Dreiecks lässt sich mit Hilfe der Achsenabschnitte der Tangente berechnen.
$x$ -Achsenabschnitt: Nullstelle der Tangente:
$t : y = \frac{1}{\sqrt{e^{3}}} \cdot (6 x - 8); y = 0 ⟺ 6 x - 8 = 0 ⟺ x_{t} = \frac{4}{3}$
$y$ -Achsenabschnitt: $y_{t} = - \frac{8}{\sqrt{e^{3}}}$ .
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:
$A = \frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{8}{\sqrt{e^{3}}}}{2} = \frac{4 \cdot 8}{2 \cdot 3 \sqrt{e^{3}}} = \frac{16}{3 \sqrt{e^{3}}} FE$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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