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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Funktion f:x→(2x2−4)⋅e−12x2−1f:x \rightarrow (2x^2-4)\cdot e^{- \dfrac{1}{2}x^2-1} mit der Definitionsmenge Df=RD_f= \mathbb{R}. Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit GfG_f bezeichnet.

  1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen GfG_f bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von ff für ∣x∣→∞|x| \rightarrow \infty.

  2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von GfG_f und geben Sie die Wertemenge WfW_f der Funktion f an.

    [Teilergebnis: f′(x)=(8x−2x3)⋅e−12x2−1f'(x)=(8x-2x^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^{^2}-1}]

  3. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an GfG_f an der Stelle x=1x=1 in allgemeiner Form auf.

  4. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f für −3≤x≤3-3\leq x \leq 3 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 2 cm

  5. Der Graph der Ableitungsfunktion von f und die x-Achse schließen im I. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems im Bereich 0≤x≤20 \leq x \leq 2 ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet.

  6. Der Graph GfG_f und die Koordinatenachsen schließen im IV. Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Schätzen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks geeignet ab.