Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kriterien für Symmetrie; Grenzverhalten der e-Funktion

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Betrachte die Funktionsterme von $f(x)$ und $f(-x)$:

$f(x)=(2x^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$

$f(-x)=(2(-x)^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2-1}=(2x^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}=f(x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Methode zum Auffinden von Extrema, Produkt und Kettenregel

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Extrema einer differenzierbaren Funktion können an Nullstellen der 1. Ableitung liegen.

Der vorliegende Funktionsterm ist ein Produkt. Der erste Faktor ist ein Polynom, der zweite Faktor eine verkettete Funktion.

Bei $e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$ ist $e(x)$ die äußere Funktion und der Term im Exponenten die innere Funktion.

Somit gilt für die 1. Ableitung:

$f'(x)=4x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}+(2x^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}\cdot (-x)=(-2x^3+4x+4x)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$

$f'(x)=(8x-2x^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$

Nullstellen von $f'(x)$:

Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt, dessen 2. Faktor $e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$ nicht Null werden kann.

Somit:

$f'(x)=0\iff 8x-2x^3=0\iff 2x(4-x^2)=0\iff$

$f'(x)=0\iff x_1=0\lor x_2=-2\lor x_3=2$

$-2x^3+8x$ ist ein Polynom vom Grad 3 mit 3 verschiedenen Nullstellen. Somit liegen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, ist das Vorzeichen von $f'$ das Vorzeichen von $g(x)=8x-2x^3$.

Es gilt: $g(-1)=-8+2=-6<0\text{~und~} g(1)=8-2=6>0$

Somit: $-\infty<x<-2\Rightarrow f'(x)>0; f\uparrow$

$-2<x<0\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

$0<x<2\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f'\uparrow$

$2<x<\infty\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Also $\text{Max}(-2|\frac{4}{e^3}); \text{Min}(0|-\frac{4}{e}); \text{Max}(2|\frac{4}{e^3})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Tangente ist gleich 1. Ableitung an Berührstelle

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Bestimme die Tangente an $G_f$ an der Stelle $x=1.$

Der Berührpunkt $B$ hat die Koordinaten $B(1|(f(1))=B(1|-\frac{2}{\sqrt{e}^3})$.

Eine Tangente $t$ ist eine Gerade. Die Geradengleichnung hat die Form $t:y=mx+b$, wobei $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist.

Es gilt: $m=f'(1)=(8\cdot1-2\cdot1^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot1^2-1}=6\cdot e^-\frac{3}{2}=\frac{6}{\sqrt{e}^3}.$

Somit gilt für die Tangentengleichung: $t:y=\frac{6}{\sqrt{e}^3}\cdot x+b$.

Um $b$ zu bestimmen, nutzt man aus, dass der Berührpunkt $B$ Element der Tangente ist. Die Koordinaten von $B$ müssen die Tangentengleichung erfüllen.

$B \in t:-\frac{2}{\sqrt{e}^3}=\frac{6}{\sqrt{e}^3}\cdot 1+b\Rightarrow b=-\frac{8}{\sqrt{e}^3}\Rightarrow t:y=\frac{6}{\sqrt{}e^3}\cdot x-\frac{8}{\sqrt{e}^3}$

Damit haben wir die gesuchte Tangentengleichung berechnet. $t:y=\frac{1}{\sqrt{e}^3}\cdot (6x-8)$

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Die Nullstellen von der Funktion $f$ werden durch den Faktor $2x^2-4$ bestimmt, da die e-Funktion nicht Null werden kann.

Somit:

$f(x)=0 \iff 2x^2-4=0 \iff x^2-2=0 \iff x_{N1}=-\sqrt{2} \lor x_{N2}=\sqrt{2}$

Mit Beachtung der Extrema, der Grenzwerte und Symmetrie ergibt sich:

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Die 1. Ableitung $f'\left(x\right)=\left(8x-2x^3\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2-1}$ hat die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=2$.

Somit gilt für die Maßzahl der vom Graph $G_{f'}$ und der $x$-Achse eingeschlossenen Fläche $A$:

$\int_0^2f'(x()dx=f(x)\big|_0^2=f(2)-f(0)=4e^{-3}+4e^{-1}=$

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Die Tangente aus c) und die Koordinatenachsen beschreiben ein rechtwinkliges Dreieck. Das Flächenstück, das im IV. Quadranten vom Graph $G_f\$und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, kann recht gut durch dieses Dreieck angenähert beschrieben werden.

Die Fläche des Dreiecks lässt sich mit Hilfe der Achsenabschnitte der Tangente berechnen.

$x$-Achsenabschnitt: Nullstelle der Tangente:

$t:y=\frac{1}{\sqrt{e^3}}\cdot (6x-8); y=0\iff 6x-8=0\iff x_t=\frac{4}{3}$

$y$-Achsenabschnitt: $y_t=-\frac{8}{\sqrt{e^3}}$.

Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:

$A=\dfrac{\frac{4}{3}\cdot\frac{8}{\sqrt{e^3}}}{2}=\frac{4\cdot8}{2\cdot 3 \,\sqrt{e^3}}=\frac{16}{3\sqrt{e^3}}\,\text{FE}$