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Teil 2 Analysis I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x→(2x2−4)⋅e−12x2−1f:x \rightarrow (2x^2-4)\cdot e^{- \dfrac{1}{2}x^2-1} mit der Definitionsmenge Df=RD_f= \mathbb{R}. Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen GfG_f bezĂŒglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von ff fĂŒr ∣x∣→∞|x| \rightarrow \infty.

    2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von GfG_f und geben Sie die Wertemenge WfW_f der Funktion f an.

      [Teilergebnis: fâ€Č(x)=(8x−2x3)⋅e−12x2−1f'(x)=(8x-2x^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^{^2}-1}]

    3. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an GfG_f an der Stelle x=1x=1 in allgemeiner Form auf.

    4. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f fĂŒr −3≀x≀3-3\leq x \leq 3 in ein kartesisches Koordinatensystem.

      Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1 LE = 2 cm

    5. Der Graph der Ableitungsfunktion von f und die x-Achse schließen im I. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems im Bereich 0≀x≀20 \leq x \leq 2 ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein. Berechnen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts dieses FlĂ€chenstĂŒcks auf zwei Nachkommastellen gerundet.

    6. Der Graph GfG_f und die Koordinatenachsen schließen im IV. Quadranten ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein. SchĂ€tzen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts dieses FlĂ€chenstĂŒcks geeignet ab.

  2. 2

    Die folgende Abbildung zeigt den Querschnitt eines Springbrunnens. Dieser hat eine kreisförmige GrundflĂ€che mit einem Durchmesser von 4 m. Die OberflĂ€chenlinie der im Querschnitt dargestellten Auffangwanne wird durch den Graphen GgG_g einer ganzrationalen Funktion g vierten Grades mit der Definitionsmenge Dg=[−2,2]D_g=[-2{,}2] beschrieben. Der Graph GgG_g in einem kartesischen Koordinatensystem ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Koordinaten x und y stellen LĂ€ngenangaben in der Einheit Meter dar. Bei den folgenden Rechnungen kann auf das MitfĂŒhren von Einheiten verzichtet werden.

    Funktion
    1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. Entnehmen Sie dazu geeignete Werte aus der Zeichnung.

      [Mögliches Ergebnis: g(x)=−112x4+13x2g(x)=-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{3}x^2]

    2. Die WasserfontĂ€nen treten – wie in obiger Abbildung gestrichelt dargestellt – aus einer in der Mitte befindlichen SĂ€ule aus und beschreiben Parabelbahnen. Ihr Verlauf ist abhĂ€ngig vom Wasserdruck. Im Folgenden wird nur die rechte WasserfontĂ€ne betrachtet. Alle möglichen Wasserstrahlen lassen sich durch die Graphen der Funktionen

      pa(x)=−ax2+5x+0,75p_a(x)=-ax^2+5x+0{,}75 und a∈R+a \in\mathbb{R}^+ darstellen.

      1.) Berechnen Sie, fĂŒr welchen Wert von a der Strahl im Punkt A(1∣0,25)(1|0{,}25) auf die Auffangwanne trifft.

      2.) Berechnen Sie, bis zu welcher maximalen Höhe hmaxh_{max} die Auffangwanne gefĂŒllt werden kann, bevor sie ĂŒberlĂ€uft.


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