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Teil 2 Analysis I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x(2x24)e12x21 mit der Definitionsmenge Df=. Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

    1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen Gf bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von f für |x|.

    2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von Gf und geben Sie die Wertemenge Wf der Funktion f an.

      [Teilergebnis: f(x)=(8x2x3)e12x21]

    3. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an Gf an der Stelle x=1 in allgemeiner Form auf.

    4. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f für 3x3 in ein kartesisches Koordinatensystem.

      Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 2 cm

    5. Der Graph der Ableitungsfunktion von f und die x-Achse schließen im I. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems im Bereich 0x2 ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet.

    6. Der Graph Gf und die Koordinatenachsen schließen im IV. Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Schätzen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks geeignet ab.

  2. 2

    Die folgende Abbildung zeigt den Querschnitt eines Springbrunnens. Dieser hat eine kreisförmige Grundfläche mit einem Durchmesser von 4 m. Die Oberflächenlinie der im Querschnitt dargestellten Auffangwanne wird durch den Graphen Gg einer ganzrationalen Funktion g vierten Grades mit der Definitionsmenge Dg=[2,2] beschrieben. Der Graph Gg in einem kartesischen Koordinatensystem ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Koordinaten x und y stellen Längenangaben in der Einheit Meter dar. Bei den folgenden Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

    Funktion
    1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. Entnehmen Sie dazu geeignete Werte aus der Zeichnung.

      [Mögliches Ergebnis: g(x)=112x4+13x2]

    2. Die Wasserfontänen treten – wie in obiger Abbildung gestrichelt dargestellt – aus einer in der Mitte befindlichen Säule aus und beschreiben Parabelbahnen. Ihr Verlauf ist abhängig vom Wasserdruck. Im Folgenden wird nur die rechte Wasserfontäne betrachtet. Alle möglichen Wasserstrahlen lassen sich durch die Graphen der Funktionen

      pa(x)=ax2+5x+0,75 und a+ darstellen.

      1.) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der Strahl im Punkt A(1|0,25) auf die Auffangwanne trifft.

      2.) Berechnen Sie, bis zu welcher maximalen Höhe hmax die Auffangwanne gefüllt werden kann, bevor sie überläuft.


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