Teil 2 Analysis I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f:x \rightarrow (2x^2-4)\cdot e^{- \dfrac{1}{2}x^2-1}$ mit der Definitionsmenge $D_f= \mathbb{R}$ . Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{f}$ bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $|x| \rightarrow \infty$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kriterien für Symmetrie; Grenzverhalten der e-Funktion
  Somit gilt: für alle $x\in\R$ ist $f (x) = f (- x)$ . Also ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch
  Da die e-Funktion im Wachstumsverhalten stärker als jede ganzrationale Funktion ist,
  gilt $\displaystyle\lim_{|x|\to\infty}(-\frac{1}{2}x^2-1)=-\infty$ .
  Daher ist $\displaystyle\lim_{|x|\to\infty}e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}=0$ und auch $\displaystyle\lim_{|x|\to\infty} f(x)=0$ .
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  Betrachte die Funktionsterme von $f (x)$ und $f (- x)$ :
  $f(x)=(2x^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$
  $f(-x)=(2(-x)^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2-1}=(2x^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}=f(x)$
2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von $G_{f}$ und geben Sie die Wertemenge $W_{f}$ der Funktion f an.
  [Teilergebnis: $f'(x)=(8x-2x^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^{^2}-1}$ ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Methode zum Auffinden von Extrema, Produkt und Kettenregel
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  Extrema einer differenzierbaren Funktion können an Nullstellen der 1. Ableitung liegen.
  Der vorliegende Funktionsterm ist ein Produkt. Der erste Faktor ist ein Polynom, der zweite Faktor eine verkettete Funktion.
  Bei $e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$ ist $e (x)$ die äußere Funktion und der Term im Exponenten die innere Funktion.
  Somit gilt für die 1. Ableitung:
  $f'(x)=4x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}+(2x^2-4)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}\cdot (-x)=(-2x^3+4x+4x)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$
  $f'(x)=(8x-2x^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$
  Nullstellen von $f^{'} (x)$ :
  Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt, dessen 2. Faktor $e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2-1}$ nicht Null werden kann.
  Somit:
  $f'(x)=0\iff 8x-2x^3=0\iff 2x(4-x^2)=0\iff$
  $f'(x)=0\iff x_1=0\lor x_2=-2\lor x_3=2$
  $- 2 x^{3} + 8 x$ ist ein Polynom vom Grad 3 mit 3 verschiedenen Nullstellen. Somit liegen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel vor.
  Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, ist das Vorzeichen von $f^{'}$ das Vorzeichen von $g (x) = 8 x - 2 x^{3}$ .
  Es gilt: $g(-1)=-8+2=-6<0\text{~und~} g(1)=8-2=6>0$
  Somit: $-\infty<x<-2\Rightarrow f'(x)>0; f\uparrow$
  $-2<x<0\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$
  $0<x<2\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f'\uparrow$
  $2<x<\infty\Rightarrow f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$
  Also $\text{Max}(-2|\frac{4}{e^3}); \text{Min}(0|-\frac{4}{e}); \text{Max}(2|\frac{4}{e^3})$
3. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an $G_{f}$ an der Stelle $x = 1$ in allgemeiner Form auf.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Tangente ist gleich 1. Ableitung an Berührstelle
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  Bestimme die Tangente an $G_{f}$ an der Stelle $x = 1.$
  Der Berührpunkt $B$ hat die Koordinaten $B(1|(f(1))=B(1|-\frac{2}{\sqrt{e}^3})$ .
  Eine Tangente $t$ ist eine Gerade. Die Geradengleichnung hat die Form $t : y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der $y$ -Achsenabschnitt ist.
  Es gilt: $m=f'(1)=(8\cdot1-2\cdot1^3)\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot1^2-1}=6\cdot e^-\frac{3}{2}=\frac{6}{\sqrt{e}^3}.$
  Somit gilt für die Tangentengleichung: $t:y=\frac{6}{\sqrt{e}^3}\cdot x+b$ .
  Um $b$ zu bestimmen, nutzt man aus, dass der Berührpunkt $B$ Element der Tangente ist. Die Koordinaten von $B$ müssen die Tangentengleichung erfüllen.
  $B \in t:-\frac{2}{\sqrt{e}^3}=\frac{6}{\sqrt{e}^3}\cdot 1+b\Rightarrow b=-\frac{8}{\sqrt{e}^3}\Rightarrow t:y=\frac{6}{\sqrt{}e^3}\cdot x-\frac{8}{\sqrt{e}^3}$
  Damit haben wir die gesuchte Tangentengleichung berechnet. $t:y=\frac{1}{\sqrt{e}^3}\cdot (6x-8)$
4. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f für $-3\leq x \leq 3$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
  Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 2 cm
  
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  Die Nullstellen von der Funktion $f$ werden durch den Faktor $2 x^{2} - 4$ bestimmt, da die e-Funktion nicht Null werden kann.
  Somit:
  $f(x)=0 \iff 2x^2-4=0 \iff x^2-2=0 \iff x_{N1}=-\sqrt{2} \lor x_{N2}=\sqrt{2}$
  Mit Beachtung der Extrema, der Grenzwerte und Symmetrie ergibt sich:
5. Der Graph der Ableitungsfunktion von f und die x-Achse schließen im I. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems im Bereich $0 \leq x \leq 2$ ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet.
  
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  Die 1. Ableitung $f'\left(x\right)=\left(8x-2x^3\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x^2-1}$ hat die Nullstellen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 2$ .
  Somit gilt für die Maßzahl der vom Graph $G_{f^{'}}$ und der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche $A$ :
  $\int_0^2f'(x()dx=f(x)\big|_0^2=f(2)-f(0)=4e^{-3}+4e^{-1}=$
  $\displaystyle \frac{4}{e^3}\cdot (1+e^2)FE \approx 1{,}67 \text{\,FE}$
6. Der Graph $G_{f}$ und die Koordinatenachsen schließen im IV. Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Schätzen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks geeignet ab.
  
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  Die Tangente aus c) und die Koordinatenachsen beschreiben ein rechtwinkliges Dreieck. Das Flächenstück, das im IV. Quadranten vom Graph $G_{f}$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, kann recht gut durch dieses Dreieck angenähert beschrieben werden.
  Die Fläche des Dreiecks lässt sich mit Hilfe der Achsenabschnitte der Tangente berechnen.
  $x$ -Achsenabschnitt: Nullstelle der Tangente:
  $t:y=\frac{1}{\sqrt{e^3}}\cdot (6x-8); y=0\iff 6x-8=0\iff x_t=\frac{4}{3}$
  $y$ -Achsenabschnitt: $y_t=-\frac{8}{\sqrt{e^3}}$ .
  Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks:
  $A=\dfrac{\frac{4}{3}\cdot\frac{8}{\sqrt{e^3}}}{2}=\frac{4\cdot8}{2\cdot 3 \,\sqrt{e^3}}=\frac{16}{3\sqrt{e^3}}\,\text{FE}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die folgende Abbildung zeigt den Querschnitt eines Springbrunnens. Dieser hat eine kreisförmige Grundfläche mit einem Durchmesser von 4 m. Die Oberflächenlinie der im Querschnitt dargestellten Auffangwanne wird durch den Graphen $G_{g}$ einer ganzrationalen Funktion g vierten Grades mit der Definitionsmenge $D_g=[-2{,}2]$ beschrieben. Der Graph $G_{g}$ in einem kartesischen Koordinatensystem ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Koordinaten x und y stellen Längenangaben in der Einheit Meter dar. Bei den folgenden Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. Entnehmen Sie dazu geeignete Werte aus der Zeichnung.
  [Mögliches Ergebnis: $g(x)=-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{3}x^2$ ]
  
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  Der Graph $G_{g}$ hat drei Nullstellen, nämlich $x_{1} = - 2; x_{2} = 0; x_{3} = 2.$ Wobei die Nullstelle $x_{2} = 0$ eine sogenannte doppelte Nullstelle ist, denn der Graph $G_{g}$ berührt dort die x-Achse. g ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, wie in Aufgabentext beschrieben.
  Man macht den Ansatz: $g(x)=x^2\cdot(x+2)\cdot(x-2)\cdot a=x^2\cdot(x^2-4)\cdot a$
  Damit hat man alle ganz rationalen Funktionen 4. Grades mit den genannten Nullstellen.
  Bestimmung des Parameters a:
  Man liest aus der Zeichnung ab:
  $\displaystyle g(1)=\frac{1}{4}\Rightarrow 1^2\cdot (1^2-4)\cdot a=\frac{1}{4}\Rightarrow -3a=\frac{1}{4}\Rightarrow a=-\frac{1}{12}$
  Also: $g(x)=-\frac{1}{12}\cdot x^2\cdot (x^2-4)=-\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{3}x^2$
2. Die Wasserfontänen treten – wie in obiger Abbildung gestrichelt dargestellt – aus einer in der Mitte befindlichen Säule aus und beschreiben Parabelbahnen. Ihr Verlauf ist abhängig vom Wasserdruck. Im Folgenden wird nur die rechte Wasserfontäne betrachtet. Alle möglichen Wasserstrahlen lassen sich durch die Graphen der Funktionen
  $p_a(x)=-ax^2+5x+0{,}75$ und $a \in\mathbb{R}^+$ darstellen.
  1.) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der Strahl im Punkt A $(1 ∣ 0,25)$ auf die Auffangwanne trifft.
  2.) Berechnen Sie, bis zu welcher maximalen Höhe $h_{max}$ die Auffangwanne gefüllt werden kann, bevor sie überläuft.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwerte
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  1) Der Graph von $p_a(x)=-a\cdot x^2+5x+\frac{3}{4}$ soll durch den Punkt $A(1|\frac{1}{4})$ gehen.
  $p_a(1)=-a\cdot 1^2+5\cdot 1+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\iff -a+5+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\iff a=\frac{11}{2}$
  2) Um die maximale Höhe $h_{max}$ zu bestimmen, muss man zuerst die Extremstellen von $g$ ermitteln.
  $g(x)=-\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{3}x^2\Rightarrow g'(x)=-\frac{4}{12}x^3+\frac{2}{3}x$
  $g'(x)=0\iff \frac{1}{3}x\cdot (-x^2+2)=0\iff x_1=0\lor x_2=\sqrt{2}\lor x_3=-\sqrt{2}$
  Wir ermitteln durch Einsetzen die Funktionswerte von $g$ an den möglichen Extremstellen:
  $g (0) = 0$
  $g(\sqrt{2})=-\frac{1}{12}\cdot (\sqrt{2})^4+\frac{1}{3}\cdot 2\iff g(\sqrt{2})=-\frac{4}{12}+\frac{2}{3}\iff g(\sqrt{2})=\frac{1}{3}$
  Damit ist auch wegen der Symmetrie von $g$ die maximale Höhe $h_{\max}=\frac{1}{3}m.$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Analysis I

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