Teil 2 Analysis I - lernen mit Serlo!

Die folgende Abbildung zeigt den Querschnitt eines Springbrunnens. Dieser hat eine kreisförmige Grundfläche mit einem Durchmesser von 4 m. Die Oberflächenlinie der im Querschnitt dargestellten Auffangwanne wird durch den Graphen $G_{g}$ einer ganzrationalen Funktion g vierten Grades mit der Definitionsmenge $D_{g} = [- 2,2]$ beschrieben. Der Graph $G_{g}$ in einem kartesischen Koordinatensystem ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Koordinaten x und y stellen Längenangaben in der Einheit Meter dar. Bei den folgenden Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. Entnehmen Sie dazu geeignete Werte aus der Zeichnung.
[Mögliches Ergebnis: $g (x) = - \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{2}$ ]

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Der Graph $G_{g}$ hat drei Nullstellen, nämlich $x_{1} = - 2; x_{2} = 0; x_{3} = 2.$ Wobei die Nullstelle $x_{2} = 0$ eine sogenannte doppelte Nullstelle ist, denn der Graph $G_{g}$ berührt dort die x-Achse. g ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, wie in Aufgabentext beschrieben.
Man macht den Ansatz: $g (x) = x^{2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) \cdot a = x^{2} \cdot (x^{2} - 4) \cdot a$
Damit hat man alle ganz rationalen Funktionen 4. Grades mit den genannten Nullstellen.
Bestimmung des Parameters a:
Man liest aus der Zeichnung ab:
$g (1) = \frac{1}{4} \Rightarrow 1^{2} \cdot (1^{2} - 4) \cdot a = \frac{1}{4} \Rightarrow - 3 a = \frac{1}{4} \Rightarrow a = - \frac{1}{12}$
Also: $g (x) = - \frac{1}{12} \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 4) = - \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{2}$
Die Wasserfontänen treten – wie in obiger Abbildung gestrichelt dargestellt – aus einer in der Mitte befindlichen Säule aus und beschreiben Parabelbahnen. Ihr Verlauf ist abhängig vom Wasserdruck. Im Folgenden wird nur die rechte Wasserfontäne betrachtet. Alle möglichen Wasserstrahlen lassen sich durch die Graphen der Funktionen
$p_{a} (x) = - a x^{2} + 5 x + 0,75$ und $a \in ℝ^{+}$ darstellen.
1.) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der Strahl im Punkt A $(1 | 0,25)$ auf die Auffangwanne trifft.
2.) Berechnen Sie, bis zu welcher maximalen Höhe $h_{m a x}$ die Auffangwanne gefüllt werden kann, bevor sie überläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwerte
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1) Der Graph von $p_{a} (x) = - a \cdot x^{2} + 5 x + \frac{3}{4}$ soll durch den Punkt $A (1 | \frac{1}{4})$ gehen.
$p_{a} (1) = - a \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} ⟺ - a + 5 + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} ⟺ a = \frac{11}{2}$
2) Um die maximale Höhe $h_{m a x}$ zu bestimmen, muss man zuerst die Extremstellen von $g$ ermitteln.
$g (x) = - \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} x^{2} \Rightarrow g^{'} (x) = - \frac{4}{12} x^{3} + \frac{2}{3} x$
$g^{'} (x) = 0 ⟺ \frac{1}{3} x \cdot (- x^{2} + 2) = 0 ⟺ x_{1} = 0 \lor x_{2} = \sqrt{2} \lor x_{3} = - \sqrt{2}$
Wir ermitteln durch Einsetzen die Funktionswerte von $g$ an den möglichen Extremstellen:
$g (0) = 0$
$g (\sqrt{2}) = - \frac{1}{12} \cdot (\sqrt{2})^{4} + \frac{1}{3} \cdot 2 ⟺ g (\sqrt{2}) = - \frac{4}{12} + \frac{2}{3} ⟺ g (\sqrt{2}) = \frac{1}{3}$
Damit ist auch wegen der Symmetrie von $g$ die maximale Höhe $h_{\max} = \frac{1}{3} m .$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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