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Der Graph $G_g$ hat drei Nullstellen, nämlich $x_1=-2; x_2=0;x_3=2.$ Wobei die Nullstelle $x_2=0$ eine sogenannte doppelte Nullstelle ist, denn der Graph $G_g$ berührt dort die x-Achse. g ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, wie in Aufgabentext beschrieben.

Man macht den Ansatz: $g(x)=x^2\cdot(x+2)\cdot(x-2)\cdot a=x^2\cdot(x^2-4)\cdot a$

Damit hat man alle ganz rationalen Funktionen 4. Grades mit den genannten Nullstellen.

Bestimmung des Parameters a:

Man liest aus der Zeichnung ab:

Also: $g(x)=-\frac{1}{12}\cdot x^2\cdot (x^2-4)=-\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{3}x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwerte

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1) Der Graph von $p_a(x)=-a\cdot x^2+5x+\frac{3}{4}$ soll durch den Punkt $A(1|\frac{1}{4})$ gehen.

$p_a(1)=-a\cdot 1^2+5\cdot 1+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\iff -a+5+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\iff a=\frac{11}{2}$

2) Um die maximale Höhe $h_{max}$ zu bestimmen, muss man zuerst die Extremstellen von $g$ ermitteln.

$g(x)=-\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{3}x^2\Rightarrow g'(x)=-\frac{4}{12}x^3+\frac{2}{3}x$

$g'(x)=0\iff \frac{1}{3}x\cdot (-x^2+2)=0\iff x_1=0\lor x_2=\sqrt{2}\lor x_3=-\sqrt{2}$

Wir ermitteln durch Einsetzen die Funktionswerte von $g$ an den möglichen Extremstellen:

$g(0)=0$

$g(\sqrt{2})=-\frac{1}{12}\cdot (\sqrt{2})^4+\frac{1}{3}\cdot 2\iff g(\sqrt{2})=-\frac{4}{12}+\frac{2}{3}\iff g(\sqrt{2})=\frac{1}{3}$

Damit ist auch wegen der Symmetrie von $g$ die maximale Höhe $h_{\max}=\frac{1}{3}m.$