Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

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Eine Firma für Bohrmaschinen stellt mit $20%$ Ausschuss her. Das heißt, dass jede fünfte Bohrmaschine fehlerhaft hergestellt wird.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig gewählten Bohrmaschinen kein Ausschussstück zu finden ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.

geg:

$n=100$

$p=0{,}2$

$k=0$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\0\end{pmatrix}\cdot0{,}2^0\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{0!\left(100-0\right)!}\cdot 0{,}2^0\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-0}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{100!}\cdot 0{,}2^0\cdot 0{,}8^{100}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8^{100}$
	$≈$	$\displaystyle 2{,}037\cdot10^{-10}\approx2{,}037\cdot10^{-8}\%$

$\Rightarrow\;$ Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Bohrmaschine ein Ausschussstück ist, beträgt $2{,}037\cdot10^{-8}\%$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen zum Ausschuss zählen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt.

geg:

$n=100$

$p=0{,}2$

$k=20$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}100\\20\end{pmatrix}\cdot0{,}2^{20}\cdot\left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	↓	Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an.
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\left(100-20\right)!}\cdot 0{,}2^{20}\cdot \left(1-0{,}2\right)^{100-20}$
	$=$	$\displaystyle \frac{100!}{20!\cdot80!}\cdot0{,}2^{20}\cdot0{,}8^{80}$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}0993\approx9{,}9\%$

$\Rightarrow\;$ Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20 Bohrmaschinen Ausschussstücke sind, beträgt 9,9%

Ein Taschenrechner kann den Befehl $n!$ nur für $n\leq 69$ verarbeiten. Die obige Berechnung kann also nicht mit dem $TR$ erfolgen.

Benutze den Befehl "nCr". In diesem Fall $100nCr20\cdot0{,}2^{20}\cdot0{,}8^{80}\approx 0{,}0993$
Verwende Binomial $PD$ und setze für $x=20$ , $N=100$ und $p=0{,}2$ , also $B(100;0{,}2;20)\approx 0{,}0993$ .
Auch mit einer Binomialverteilungstabelle kann der Wert gefunden werden (siehe den folgenden ausklappbaren Text).