Es gibt $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ Summanden.

Jeder Summand hat $5$ Stellen, die jeweils mit unterschiedlichem Wert in die Summe eingehen:

• Die erste Stelle (von vorne) ist die Zehntausenderstelle: Sie geht mit dem Wert $10000$ in die Summe ein.

• Die zweite Stelle ist die Tausenderstelle: Sie geht mit dem Wert $1000$ in die Summe ein.

• Die dritte Stelle ist die Hunderterstelle: Sie geht mit dem Wert $100$ in die Summe ein.

• Die vierte Stelle ist die Zehnerstelle: Sie geht mit dem Wert $10$ in die Summe ein.

• Die fünfte Stelle ist die Einerstelle: Sie geht mit dem Wert $1$ in die Summe ein.

Setzt du eine beliebige Zahl an die Einerstelle, können die restlichen $4$ Zahlen noch auf die vorigen Stellen verteilt werden, also gibt es insgesamt $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ Zahlen mit dieser Zahl an der Einerstelle.

Die Summe der Einerstellen aller Summanden beträgt somit $24\cdot (1+3+5+7+9)=24\cdot 25=600$.

An jeder anderen Stelle ergibt sich analog $600$. Damit ergibt sich die Gesamtsumme aller Summanden als:

$600\cdot 1+600\cdot 10+600\cdot 100+600\cdot 1000+600\cdot 10000=$

$=600\cdot 11111=$

$=6666600$