Produkte mit zwei Faktoren:

Hier gilt $n=3$ (drei Faktoren zur Auswahl) und $k=2$ (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also

$\displaystyle \binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{6}{2}=3$

Möglichkeiten:

1. $5\cdot7=35$

2. $5\cdot11=55$

3. $7\cdot11=77$

Es gibt nur ein Produkt mit drei Faktoren: $5\cdot7\cdot11=385$.

Insgesamt gibt es also vier Produkte.

Hinweis:

In dieser Lösung wird nicht zwischen Produkten unterschieden, die nur in der Reihenfolge der Faktoren anders sind. Wenn man doch z.B. $5\cdot7$ und $7\cdot5$ unterscheiden möchte, gibt es $12$ verschiedene Produkte:

Sechs Produkte mit zwei Faktoren:

$5\cdot7$, $7\cdot5$, $5\cdot11$, $11\cdot5$, $7\cdot11$ und $11\cdot7$.

Sechs Produkte mit drei Faktoren:

$5\cdot7\cdot11$, $5\cdot11\cdot7$, $7\cdot5\cdot11$, $7\cdot11\cdot5$, $11\cdot5\cdot7$ und $11\cdot7\cdot5$

Das entspricht dem Modell "ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge".

Es gibt $3$ Faktoren, bei einem Produkt mit zwei Faktoren ist also $n=3$ und $k=2$ und es gibt $\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{1!}=\frac{6}{1}=6$ Möglichkeiten.

Bei einem Produkt mit $3$ Faktoren ist $n=k=3$ sind es $\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{6}{1}=6$ Möglichkeiten (oder du nimmst einfach die Anzahl der Permutationen von drei Elementen).

Hier gilt wieder $n=3$ und diesmal $k=3$, da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.

Mit $\displaystyle\binom{3}{3}=1$ folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit $5\cdot7\cdot11=385$ gibt.

$\Rightarrow$Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist $385-35=350$.