Produkte mit zwei Faktoren:

Hier gilt $n=3n=3$ (drei Faktoren zur Auswahl) und $k=2k=2$ (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also

${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{6}{2}=3}\backslash displaystyle\; \backslash binom\{3\}\{2\}=\backslash frac\{3!\}\{2!(3-2)!\}=\backslash frac\{6\}\{2\}=3$

Möglichkeiten:

1. $5\cdot 7=355\backslash cdot7=35$

2. $5\cdot 11=555\backslash cdot11=55$

3. $7\cdot 11=777\backslash cdot11=77$

Es gibt nur ein Produkt mit drei Faktoren: $5\cdot 7\cdot 11=3855\backslash cdot7\backslash cdot11=385$.

Insgesamt gibt es also vier Produkte.

Hinweis:

In dieser Lösung wird nicht zwischen Produkten unterschieden, die nur in der Reihenfolge der Faktoren anders sind. Wenn man doch z.B. $5\cdot 75\backslash cdot7$ und $7\cdot 57\backslash cdot5$ unterscheiden möchte, gibt es $1212$ verschiedene Produkte:

Sechs Produkte mit zwei Faktoren:

$5\cdot 75\backslash cdot7$, $7\cdot 57\backslash cdot5$, $5\cdot 115\backslash cdot11$, $11\cdot 511\backslash cdot5$, $7\cdot 117\backslash cdot11$ und $11\cdot 711\backslash cdot7$.

Sechs Produkte mit drei Faktoren:

$5\cdot 7\cdot 115\backslash cdot7\backslash cdot11$, $5\cdot 11\cdot 75\backslash cdot11\backslash cdot7$, $7\cdot 5\cdot 117\backslash cdot5\backslash cdot11$, $7\cdot 11\cdot 57\backslash cdot11\backslash cdot5$, $11\cdot 5\cdot 711\backslash cdot5\backslash cdot7$ und $11\cdot 7\cdot 511\backslash cdot7\backslash cdot5$

Das entspricht dem Modell "ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge".

Es gibt $33$ Faktoren, bei einem Produkt mit zwei Faktoren ist also $n=3n=3$ und $k=2k=2$ und es gibt ${\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{1!}=\frac{6}{1}=6}\backslash displaystyle\backslash frac\{n!\}\{(n-k)!\}=\backslash frac\{3!\}\{1!\}=\backslash frac\{6\}\{1\}=6$ Möglichkeiten.

Bei einem Produkt mit $33$ Faktoren ist $n=k=3n=k=3$ sind es ${\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{6}{1}=6}\backslash displaystyle\backslash frac\{n!\}\{(n-k)!\}=\backslash frac\{3!\}\{0!\}=\backslash frac\{6\}\{1\}=6$ Möglichkeiten (oder du nimmst einfach die Anzahl der Permutationen von drei Elementen).

Hier gilt wieder $n=3n=3$ und diesmal $k=3k=3$, da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.

Mit ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right)=1}\backslash displaystyle\backslash binom\{3\}\{3\}=1$ folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit $5\cdot 7\cdot 11=3855\backslash cdot7\backslash cdot11=385$ gibt.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist $385-35=350385-35=350$.