Produkte mit zwei Faktoren:

Hier gilt $n=3$ (drei Faktoren zur Auswahl) und $k=2$ (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also

$${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{6}{2}=3}$$

Möglichkeiten:

1. $5\cdot 7=35$

2. $5\cdot 11=55$

3. $7\cdot 11=77$

Es gibt nur ein Produkt mit drei Faktoren: $5\cdot 7\cdot 11=385$.

Insgesamt gibt es also vier Produkte.

Hinweis:

In dieser Lösung wird nicht zwischen Produkten unterschieden, die nur in der Reihenfolge der Faktoren anders sind. Wenn man doch z.B. $5\cdot 7$ und $7\cdot 5$ unterscheiden möchte, gibt es $12$ verschiedene Produkte:

Sechs Produkte mit zwei Faktoren:

$5\cdot 7$, $7\cdot 5$, $5\cdot 11$, $11\cdot 5$, $7\cdot 11$ und $11\cdot 7$.

Sechs Produkte mit drei Faktoren:

$5\cdot 7\cdot 11$, $5\cdot 11\cdot 7$, $7\cdot 5\cdot 11$, $7\cdot 11\cdot 5$, $11\cdot 5\cdot 7$ und $11\cdot 7\cdot 5$

Das entspricht dem Modell "ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge".

Es gibt $3$ Faktoren, bei einem Produkt mit zwei Faktoren ist also $n=3$ und $k=2$ und es gibt $${\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{1!}=\frac{6}{1}=6}$$ Möglichkeiten.

Bei einem Produkt mit $3$ Faktoren ist $n=k=3$ sind es $${\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{0!}=\frac{6}{1}=6}$$ Möglichkeiten (oder du nimmst einfach die Anzahl der Permutationen von drei Elementen).

Hier gilt wieder $n=3$ und diesmal $k=3$, da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.

Mit $${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right)=1}$$ folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit $5\cdot 7\cdot 11=385$ gibt.

$\Rightarrow$Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist $385-35=350$.