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Höhen- und Kathetensatz

Der Höhensatz und Kathetensatz des Euklid beschreiben Größenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck.

Die Sätze bilden mit dem Satz des Pythagoras die Satzgruppe des Pythagoras.

Höhensatz

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6704_JjTSXS14CZ.xml

Durch die Höhe hh wird die Hypotenuse in die Abschnitte pp und qq geteilt.

Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe hh gleich dem Produkt der Abschnitte der Hypotenuse pp und qq ist. 

Formel:  h2=pqh^2=p\cdot q

Alternative Darstellung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6781_0reao4vq7o.xml

Höhensatz: Beispiel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit p=4cmp=4\, \mathrm{cm} und q=3cmq=3\, \mathrm{cm}. Bestimme die Höhe hh.

Benutze dazu die Formel: h2=pqh^2=p\cdot q

Allgemein

Beispiel

h2=pqh^2=p\cdot q

Setze für pp und qq ein.

h2=4cm3cmh^2=4\, \mathrm{cm}\cdot 3\, \mathrm{cm}

Rechne.

h2=12 cm2h^2=12\ \mathrm{cm}^2

Ziehe die Wurzel.

h=12cm2=23cmh=\sqrt{12\, \mathrm{cm}^2}=2\sqrt3\, \mathrm{cm}

Runde (falls verlangt).

h3,46cmh\approx3{,}46\, \mathrm{cm}

Kathetensatz

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6708_9E4b7nnhrU.xml

Der Kathetensatz besagt, dass jeweils das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des anliegenden Achsenabschnitts der Hypotenuse und der Hypotenuse selbst ist.

Formel: 

  • a2=pca^2=p\cdot c

  • b2=qcb^2=q\cdot c

Kathetensatz: Beispiel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit p=2cmp=2\,\mathrm{cm} und c=5cmc=5\,\mathrm{cm}. Bestimme die Katheten aa und bb.

Allgemein

Beispiel

Berechne die an pp anliegende Kathete aa mit der Formel a2=pca^2=p\cdot c.

a2=pca^2=p\cdot c

Setze für pp und cc ein.

a2=2cm5cm=10cm2a^2=2\,\mathrm{cm}\cdot 5\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}^2

Ziehe die Wurzel.

a=10cm23,16cma=\sqrt{10\,\mathrm{cm}^2}\approx3{,}16\,\mathrm{cm}

Berechne qq aus cc und pp durch Subtraktion.

q=cpq=c-p

Setze für cc und pp ein und rechne.

q=5cm2cm=3cmq=5\,\mathrm{cm}-2\,\mathrm{cm}=3\,\mathrm{cm}

Berechne die an qq anliegende Kathete bb mit der Formel b2=qcb^2=q\cdot c.

b2=qcb^2=q\cdot c

Setze für qq und cc ein.

b2=3cm5cm=15cm2b^2=3\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}^2

Ziehe die Wurzel.

b=15cm23,87cmb=\sqrt{15\,\mathrm{cm}^2}\approx3{,}87\,\mathrm{cm}

Lösung:

a3,16cma\approx 3{,}16\,\mathrm{cm} und

b3,87cmb\approx 3{,}87\,\mathrm{cm}.

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