Mit Determinanten lassen sich Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen gut ausrechnen.
Mit wird hier die Determinante bezeichnet.
Inhalt eines Dreiecks ABC
Im Zweidimensionalen
Fläche
![Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7175_sJk8fsSkQY.xml](https://assets.serlo.org/legacy/7176_viDu80YG6v.png)
Herleitung:
Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.
Seien dazu die Punkte und in der Ebene gegeben.
Seien und , dann
ist:
Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.
Im Dreidimensionalen
Fläche
![Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7291_Fauk6FBOR3.xml](https://assets.serlo.org/legacy/7292_eQt2ouBXnV.png)
Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.
Inhalt eines Parallelogramms
Im Zweidimensionalen
Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten und deren Verbindungsvektoren .
Fläche
![Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5553_Lw8wToEYIX.xml](https://assets.serlo.org/legacy/5554_mA1dNxpDal.png)
Herleitung:
Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag der Determinante der aufspannenden Vektoren berechnen.
Seien dazu die Punkte , und in der Ebene gegeben.
Seien und , dann ist
Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.
Im Dreidimensionalen
Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten und ihren Verbindungsvektoren und im 3-Dimensionalen aufgespannt wird.
Fläche
![Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7293_oBCs9F4kRc.xml](https://assets.serlo.org/legacy/7294_DJF7b4vll0.png)
Herleitung:
Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren berechnen.