Flächenberechnung in der analytischen Geometrie

Mit Determinanten lassen sich Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen gut ausrechnen.

Mit a11a12a21a22=det(a11a12a21a22)\begin{vmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{vmatrix}=\det\begin{pmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{pmatrix} wird hier die Determinante bezeichnet.

Inhalt eines Dreiecks ABC

Im Zweidimensionalen

Fläche F=12det(ABAC)F = \frac{1}{2}\left|\mathrm{det}\begin{pmatrix}\overrightarrow{{{AB}}}&\overrightarrow{{AC}}\end{pmatrix}\right|

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

Seien dazu die Punkte A,BA, B und CC in der Ebene gegeben.

Seien AB=(x1x2)\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\end{pmatrix} und AC=(y1y2)\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\end{pmatrix}, dann ist AABC=12det(ABAC)=12det(x1x2y1y2)=12x1y2x2y1{A}_{ABC}=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{x}_2\\{y}_1&{y}_2\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|x_1y_2-x_2y_1\right|

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Im Dreidimensionalen

                               Fläche F=12AB×ACF=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|

Die Fläche des aufgespannten Dreiecks lässt sich als halbe Fläche eines Parallelogramms (unten) berechnen.

AB=(x1x2x3),AC=(y1y2y3)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}

AABC=12AB×AC=12(x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1)=12(x2y3x3y2)2+(x3y1x1y3)2+(x1y2x2y1)2{A}_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\frac12\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}

Inhalt eines Parallelogramms

Im Zweidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten A,B,CA,B,C und deren Verbindungsvektoren AB,AC\overrightarrow{{AB}}, \overrightarrow{{AC}}.

Fläche F=det(ABAC)F =\left|\det\begin{pmatrix}\overrightarrow{{AB}}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag der Determinante der aufspannenden Vektoren berechnen.

Seien dazu die Punkte AA, BB und CC in der Ebene gegeben.

Seien AB=(x1x2)\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\end{pmatrix} und AC=(y1y2)\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\end{pmatrix}, dann ist AABC=det(ABAC)=det(x1x2y1y2)=x1y2x2y1{A}_{ABC}=\left|\det \begin{pmatrix}\overrightarrow{AB}&\overrightarrow{AC}\end{pmatrix}\right|=\left|\det\begin{pmatrix}{x}_1&{x}_2\\{y}_1&{y}_2\end{pmatrix}\right|=\left|x_1y_2-x_2y_1\right|

Die Reihenfolge der Vektoren ist egal, solange der Ausdruck in Betragsstrichen steht.

Im Dreidimensionalen

Inhalt eines Parallelogramms, welches von den Punkten A,B,CA, B, C und ihren Verbindungsvektoren AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC} im 3-Dimensionalen aufgespannt wird.

Fläche F=AB×ACF=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|

Herleitung:

Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms lässt sich mit dem Betrag des Vektorprodukts der aufspannenden Vektoren berechnen.

AB=(x1x2x3),AC=(y1y2y3)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}

AABC=AB×AC=(x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1)=(x2y3x3y2)2+(x3y1x1y3)2+(x1y2x2y1)2{A}_{ABC}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}


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