Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Beim Reaktorunglück von Tschernobyl wurde eine Menge von etwa $400\ g$ radioaktiven Jod 131 freigesetzt.

Dieses Jod 131 hat eine sogenannte Halbwertszeit von 8,0 Tagen, d.h. in jeweils 8,0 Tagen halbiert sich die Menge des noch vorhandenen radioaktiven Materials Jod 131.

Allg. Formel: $M\left(0\right)\cdot b^t=M\left(t\right)$

Anfangswert a = $400g$ $=M\left(0\right)$

Zeit $\left[t\right]$ in Tagen

$M\left(t\right)\;in\;g$

$M\left(8\right)=200g$

Wie kann man die Menge $\mathrm M=\mathrm M\left(\mathrm t\right)$ des radioaktiven Jods 131 als Funktion der Zeit $t$ angeben?

Welcher Prozentsatz der ursprünglich vorhandenen Menge ${\mathrm M}_0=400\mathrm g$ war nach einem Tag bzw. nach 30 Tagen noch vorhanden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
$M\left(1\right)=400g\cdot 0{,}917^1 = 366{,}8g$
Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
$\frac{366{,}8}{400}=0{,}917=91{,}7\%$
$M\left(30\right)=400g\cdot0{,}917^{30} \approx29{,}73$
Das entspricht einem Anteil der ursprünglichen Menge von:
$\frac{29{,}73}{400}\approx0{,}074=7{,}4\%$
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Wie lange musste man etwa warten, bis von den 400g Jod 131 nur noch 1 Milligramm vorhanden war?

$\displaystyle 400g\ \cdot b^8$	$=$	$\displaystyle 200g$	$\displaystyle \colon 400g$
$\displaystyle b^8$	$=$	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \sqrt[8]{}$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt[8]{\frac12}$
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 0{,}917$

$\displaystyle \frac{1}{1000}g$	$=$	$\displaystyle 400 g \cdot 0{,}917^t$	$\displaystyle \colon 400 g$
$\displaystyle \frac{1}{400000} g$	$=$	$\displaystyle 0{,}917^t$	$\displaystyle \log_{0{,}917}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log _{0{,}917}\left(\frac{1}{400000}\right)$	$=$	$\displaystyle t$
$\displaystyle 148{,}87$	$=$	$\displaystyle t$

Gesucht ist der Abnahmefaktor b

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