Normalverteilung

Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Stochastik und Statistik.

Definition

Dichtefunktion

Hat eine Zufallsgröße $\text X$ den Erwartungswert $\mu$ , Varianz $\sigma^2$ und die Wahrscheinlichkeitsdichte

$\displaystyle f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}\sigma)^2}$ ,

so heißt sie normalverteilt, mit den Parametern $\sigma$ und $\mu$ , kurz auch $\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}$ -verteilt. Man schreibt $\text{X}∼\mathcal{ N(\mu, \sigma^2)}$ .

Für $\mu=0$ und $\sigma=1$ heißt die Zufallsgröße standardnormalverteilt.

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Im Graphen rechts ist die Funktion der Standardnormalverteilung abgebildet. Er heißt allgemein Gaußsche Glockenfunktion.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch

\displaystyle F(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac12(\frac{t-\mu}\sigma)^2}\text dt

Substituiere $z=\frac{t-\mu}{\sigma}$ .

\displaystyle F(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac12(\frac{t-\mu}\sigma)^2}\text dt

\displaystyle F(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac12(\frac{t-\mu}\sigma)^2}\text dt

$\Phi$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Die Werte der Standardnormalverteilung lassen sich im Tafelwerk der Stochastik nachlesen.

Eigenschaften

$\mathcal{N(\mu,\sigma^2)}$

hat Erwartungswert $\mu$ .
hat Standardabweichung $\sigma$ .
ist symmetrisch zur Symmetrieachse $y=\mu$ .
ist nie 0.

Für $\Phi(x)$ :

$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$

Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Für große $n$ kann die Binomialverteilung durch die (Standard-)Normalverteilung angenähert (approximiert) werden. Ist $\text X\sim\text B(n;p;k)$ so gilt:

$\displaystyle\text P(\text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$ und

$\displaystyle\text P(l\leq \text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{l-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$

Beachte

Wie bei jeder Binomialverteilung ist
der Erwartungswert $\mu=n\cdot p$
die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\text{Var(x)}}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
Nur bei großen Zahlen ist der Fehler durch die Näherung klein.
Achte darauf $+0{,}5$ und $-0{,}5$ richtig in die Formel einzusetzen.

Anwendung

Zufallsgrößen, bei denen die meisten Werte innerhalb eines gewissen Bereichs liegen und wenige Ausreißer nach oben und unten haben, sind meistens annähernd normalverteilt. Wie zum Beispiel bei

der Größe von Menschen
dem Gewicht von Kaffeepackungen
Messfehlern von Experimenten

Übungsaufgaben: Normalverteilung

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Normalverteilung

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