Definition
Dichtefunktion DefinitionHat eine Zufallsgröße X \text X X den Erwartungswert μ \mu μ , Varianz σ 2 \sigma^2 σ 2 und die Wahrscheinlichkeitsdichte
f ( x ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 \displaystyle f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}\sigma)^2} f ( x ) = σ 2 π 1 e − 2 1 ( σ x − μ ) 2 ,
so heißt sie normalverteilt , mit den Parametern σ \sigma σ und μ \mu μ , kurz auch N ( μ , σ 2 ) \mathcal{N(\mu, \sigma^2)} N ( μ , σ 2 ) -verteilt. Man schreibt X ∼ N ( μ , σ 2 ) \text{X}∼\mathcal{ N(\mu, \sigma^2)} X ∼ N ( μ , σ 2 ) .
Für μ = 0 \mu=0 μ = 0 und σ = 1 \sigma=1 σ = 1 heißt die Zufallsgröße standardnormalverteilt .
Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 σ 2 π ∫ − ∞ x e − 1 2 ( t − μ σ ) 2 d t \displaystyle F(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac12(\frac{t-\mu}\sigma)^2}\text dt F ( x ) = σ 2 π 1 − ∞ ∫ x e − 2 1 ( σ t − μ ) 2 d t Substituiere z = t − μ σ z=\frac{t-\mu}{\sigma} z = σ t − μ .
F ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x − μ σ e − 1 2 z 2 d z = Φ ( x − μ σ ) \displaystyle F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}}e^{-\frac12z^2}\text dz\\\displaystyle=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) F ( x ) = 2 π 1 − ∞ ∫ σ x − μ e − 2 1 z 2 d z = Φ ( σ x − μ ) Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − 1 2 t 2 d t \displaystyle\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt Φ ( x ) = 2 π 1 − ∞ ∫ x e − 2 1 t 2 d t .
Eigenschaften N ( μ , σ 2 ) \mathcal{N(\mu,\sigma^2)} N ( μ , σ 2 )
hat Erwartungswert μ \mu μ .
hat Standardabweichung σ \sigma σ .
ist symmetrisch zur Symmetrieachse y = μ y=\mu y = μ .
ist nie 0 .
Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Für große n n n kann die Binomialverteilung durch die (Standard-)Normalverteilung angenähert (approximiert) werden. Ist X ∼ B ( n ; p ; k ) \text X\sim\text B(n;p;k) X ∼ B ( n ; p ; k ) so gilt:
P ( X ≤ k ) ≈ Φ ( k + 0 , 5 − μ σ ) \displaystyle\text P(\text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) P ( X ≤ k ) ≈ Φ ( σ k + 0 , 5 − μ ) und
P ( l ≤ X ≤ k ) ≈ Φ ( k + 0 , 5 − μ σ ) − Φ ( l − 0 , 5 − μ σ ) \displaystyle\text P(l\leq \text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{l-0{,}5-\mu}{\sigma}\right) P ( l ≤ X ≤ k ) ≈ Φ ( σ k + 0 , 5 − μ ) − Φ ( σ l − 0 , 5 − μ )
BeachteWie bei jeder Binomialverteilung ist
der Erwartungswert μ = n ⋅ p \mu=n\cdot p μ = n ⋅ p
die Standardabweichung σ = σ 2 = Var(x) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) \sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\text{Var(x)}}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} σ = σ 2 = Var(x) = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p )
Nur bei großen Zahlen ist der Fehler durch die Näherung klein.
Achte darauf + 0 , 5 +0{,}5 + 0 , 5 und − 0 , 5 -0{,}5 − 0 , 5 richtig in die Formel einzusetzen.
Anwendung Zufallsgrößen, bei denen die meisten Werte innerhalb eines gewissen Bereichs liegen und wenige Ausreißer nach oben und unten haben, sind meistens annähernd normalverteilt. Wie zum Beispiel bei
Übungsaufgaben: Normalverteilung Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:Aufgaben zur Normalverteilung