Analysis I - lernen mit Serlo!

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto\sqrt{3x+9}$ mit maximaler Definitionsmenge D.

Bestimmen Sie $D$ und geben Sie die Nullstelle von $g$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$f\left(x\right)=\sqrt{3x+9}$

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist in $\mathbb{R}$ nicht definiert. Um die Definitionsmenge der Wurzelfunktion zu ermitteln, setze den Term unter der Wurzel gleich null bzw. berechne, wann er größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 3x+9$	$≥$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$≥$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -3$
	↓	Der Definitionsbereich beinhaltet alle Zahlen, die größer oder gleich -3 sind.

$\mathbb{D}=\lbrack-3;\infty\lbrack$

Nullstellen bestimmen

$\displaystyle \sqrt{3x+9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Wurzel wird für Null wenn unter der Wurzel Null steht.
$\displaystyle 3x+9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$N(-3|0)$

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Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(0|3)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentengleichung aufstellen

Tangentengleichung aufstellen

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x+9}$
	↓	Wende zum Ableiten die Kettenregel an.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot\sqrt{3x+9}}\cdot3$
	↓	Setze für $x$ Null ein, um die Steigung an der Stelle Null zu berechnen.
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot\sqrt{3\cdot0+9}}\cdot3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}\cdot3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Setze die Steigung in die Geradengleichung von g ein.

$g:y=mx+t\;\;;\;P\left(0\vert3\right)$

Um die Tangentengleichung aufzustellen, bestimme zuerst die Steigung $m$ an der Stelle $0$ mit der ersten Ableitung

$g:y=\frac{1}{2}x+t$

Um t herauszufinden, setze den Punkt $P(0|3)$ in g ein.

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot0+t$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle t$

$g:y=\frac{1}{2}x+3$

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