Bei der Definitionsmenge musst du dir immer überlegen, wann die Funktion definiert ist und wann nicht. In diesem Fall musst du dir überlegen, wann eine Wurzel definiert ist: der Radikant darf nicht negativ werden!

Setze dafür den Term unter der Wurzel größer gleich Null.

$f(x)=\sqrt{1-\ln(x)}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rll}1-\ln(x)&\geq 0\quad &|+\ln(x)\\1&\geq \ln(x)\quad &|e^{()}\\e^1&\geq e^{\ln(x)}\\e&\geq x \end{array}$

Alternativ könntest du dir auch direkt bei der zweiten Ungleichung überlegen, für welchen Wert von $x$ der $\ln(x)$ gleich $1$ wird.

Beachte aber trotzdem, für welche $x$ der $\ln(x)$ definiert ist. Er ist nur für $x>0$ definiert, deshalb ist die Lösung:

$D=\;]0;e]$

$f(x)=2$

Setze die Funktion einfach gleich $2$ und löse nach $x$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrll}\sqrt{1-\ln(x)}&=&2\quad&|^2\\1-\ln(x)&=&4\quad &|+\ln(x) \; |-4\\-3&=&\ln(x)\quad &|e^{()}\\e^{-3}&=&x\end{array}$

Da dieser Teil ohne Taschenrechner bearbeitet werden kann, rechnest du mit dem exakten Ergebnis $e^{-3}$ weiter.

Mach die Probe, indem du das gefundene $x$ in die Funktion einsetzt.

$f(e^{-3})=\sqrt{1-\ln(e^{-3})}$ $f(e^{-3})=\sqrt{1-(-3))}$ $f(e^{-3})=\sqrt{4}$

$f(e^{-3})=2$

Super, das ist das richtige Ergebnis.