Schrägbild des Quaders

In dieser Teilaufgabe ist das Schrägbild des Quaders $ABCDEFGH$ gesucht.

Zunächst musst du wissen, was die Schrägbildachse ist und wie sie verläuft. Strecken entlang der Schrägbildachse bzw. Bildebene werden in wahrer Länge gezeichnet. Im folgenden kannst du dir die einzelnen Schritte anschauen, indem du auf den "weiter"-Button klickst.

Berechnung des Winkels $\sphericalangle EBA$

Den Winkel $\sphericalangle EBA$ kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

In deiner Formelsammlung unter der Überschrift "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" findest du folgende Gleichung.

$\tan \phi =\frac{\text{y}}{\text{x}}=\frac{\text{Länge}\text{der}\text{Gegenkathete}}{\text{Länge}\text{der}\text{Ankathete}}$

Daraus folgt:

Das Winkelmaß des Winkels $\sphericalangle EBA$ beträgt ${\mathrm{60,02}}^{\circ }$.

Gegeben ist, dass die Punkte $P_n$ auf der Strecke $[\text{BE}]$ liegen. Außerdem soll in der Zeichnung der Winkel $\phi =\sphericalangle BA{P}_n={55}^{\circ }$ sein. Der Punkt $P_n$ liegt in der Fläche $\text{EBA}$ und somit in der Fläche der Vorderseite des Quaders. Nun zeichnest du die Strecke $[BE]$ und die Höhe $[P_1{T}_1]$ ein.

Gesucht ist das Volumen der Pyramide $ABCD{P}_n$.

Das Volumen einer Pyramide wird allgemein berechnet durch $\text{V}=\frac{1}{3}\cdot \text{G}\cdot \text{h}$.

1) Bestimmen der Grundfläche der Pyramide $ABCD{P}_n$

Die Grundfläche $G$ der Pyramide $ABCD{P}_n$ ist das Rechteck $ABCD$. Den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnest du durch Länge mal Breite:

$G=A_{\text{ABCD}}=\overline{AB}\cdot \overline{BC}=\mathrm{7,5}\text{cm}\cdot 10\text{cm}=75{\text{cm}}^2$

Die Grundfläche der Pyramide $ABCD{P}_n$ beträgt also $75{\text{cm}}^2$.

2) Bestimmen der Höhe der Pyramide $ABCD{P}_n$

Die Höhe $h$ der Pyramide $ABCD{P}_n$ ist die Strecke $[{\text{P}}_{\text{n}}{\text{T}}_{\text{n}}]$ mit der Länge $\overline{P_n{T}_n}(\phi )$. Diese berechnest du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck:

$\sin (\phi )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin (\phi )=\frac{\overline{P_n{T}_n}(\phi )}{\overline{A{P}_n}(\phi )}$

$\overline{P_n{T}_n}(\phi )=\sin (\phi )\cdot \overline{A{P}_n}(\phi )$

Nun berechnest du $\overline{A{P}_n}(\phi )$ in Abhängigkeit von $\phi$ mithilfe des Sinussatzes:

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\overline{A{P}_n}(\phi )}{\sin \sphericalangle P_{n}BA}}& =& {\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\sin (180°-(\phi +\sphericalangle P_{n}BA))}}\\ {\displaystyle \frac{\overline{A{P}_n}(\phi )}{\sin \sphericalangle P_{n}BA}}& =& {\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\underset{Supplementbeziehung}{\underbrace{\sin (\phi +\sphericalangle P_{n}BA)}}}}\\ {\displaystyle \overline{A{P}_n}(\phi )}& =& {\displaystyle \frac{\overline{AB}\cdot \sin \sphericalangle P_{n}BA}{\sin (\phi +\sphericalangle P_{n}BA)}}\\ {\displaystyle \overline{A{P}_n}(\phi )}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}\cdot \sin \mathrm{60,02}°}{\sin (\phi +\mathrm{60,02}°)}}\\ {\displaystyle \overline{A{P}_n}(\phi )}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{6,50}}{\sin (\phi +\mathrm{60,02}°)}\text{cm}}\end{array}$$

Daraufhin setzt du $\overline{A{P}_n}(\phi )$ in die Gleichung für $\overline{{P_{n}T}_n}(\phi )$ ein:

$$\begin{array}{rcl}\overline{P_n{T}_n}(\phi )& =& \sin (\phi )\cdot \overline{A{P}_n}(\phi )\\ & =& {\displaystyle \sin (\phi )\cdot \frac{\mathrm{6,50}}{\sin (\phi +\mathrm{60,02}°)}}\\ \overline{P_n{T}_n}(\phi )& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{6,50}\cdot \sin (\phi )}{\sin (\phi +\mathrm{60,02}°)}\text{cm}}\end{array}$$

3) Einsetzen in die Volumenformel

Damit erhältst du für das Volumen $V(\phi )$ der Pyramide $ABCD{P}_n$:

$$\begin{array}{rcl}V(\phi )& =& {\displaystyle \frac{1}{3}\cdot A_{ABCD}\cdot \overline{P_n{T}_n}(\phi )}\\ V(\phi )& =& {\displaystyle [\frac{1}{3}\cdot 75\cdot \frac{\mathrm{6,50}\cdot \sin (\phi )}{\sin (\phi +\mathrm{60,02}°)}]{\text{cm}}^{\text{3}}}\\ V(\phi )& =& {\displaystyle \left[\frac{\mathrm{162,5}\cdot \sin (\phi )}{\sin (\phi +\mathrm{60,02}°)}\right]{\text{cm}}^{\text{3}}}\end{array}$$

Der Quader $ABCDEFGH$ besitzt das Volumen

Da die Strecke $\overline{AD}=10\text{ cm}$ lang ist, muss auch $\overline{A{P}_2}=10\text{ cm}$ sein.

Du setzt einfach in die Gleichung von B2.3 ein:

Da $\phi \in ]0°;90°]$, muss der gesuchte Winkel $\phi =\mathrm{79,44}°$sein.

Setze nun $\phi =\mathrm{79,44}°$in die Volumenformel der Pyramide aus Aufgabe B2.3 ein:

Nun musst du nur noch den prozentualen Anteil der Volumens der "kleinen" Pyramide am Volumen des "großen" Quaders angeben:

Wenn die Länge der Strecke $[P_3{T}_3]$ minimal sein soll, muss es sich bei $[P_3{T}_3]$ um das Lot von $A$ auf die Strecke $[BE]$ handeln.

Da der Winkel $\sphericalangle EBA$ das Maß $\mathrm{60,02}$° besitzt und es sich beim Dreieck $AB{P}_3$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, muss für $\sphericalangle BA{P}_3={\phi }_3$ gelten:

Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich dann für die Länge $\overline{A{P}_3}$:

Zunächst überlegst du, wann die Pyramide $ABCD{P}_n$ das maximale Volumen besitzt:

Eine Veränderung von $\phi$ ändert nur $P_n$ und damit nur die Höhe der Pyramide, die Grundfläche bleibt dabei immer gleich.

Daher kannst du sagen, die Pyramide $ABCD{P}_n$ hat ihr maximales Volumen bei $\phi =90°$.

In diesem Fall ist $\overline{P_n{T}_n}=\overline{AE}$, und damit gilt

Probiere es selbst am Applet aus!