Nachtermin Teil B

Schrägbild des Quaders

In dieser Teilaufgabe ist das Schrägbild des Quaders $ABCDEFGH$ gesucht.

Zunächst musst du wissen, was die Schrägbildachse ist und wie sie verläuft. Strecken entlang der Schrägbildachse bzw. Bildebene werden in wahrer Länge gezeichnet. Im folgenden kannst du dir die einzelnen Schritte anschauen, indem du auf den "weiter"-Button klickst.

Berechnung des Winkels $\sphericalangle EBA$

Den Winkel $\sphericalangle EBA$ kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

In deiner Formelsammlung unter der Überschrift "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" findest du folgende Gleichung.

$\tan\;\varphi\;=\;\frac {\text{y}}{\text{x}}\;=\;\frac{\text{Länge}\;\text{der}\;\text{Gegenkathete}}{\text{Länge}\;\text{der}\;\text{Ankathete}}$

Daraus folgt:

Das Winkelmaß des Winkels $\sphericalangle EBA$ beträgt $60{,}02^\circ$.

Gegeben ist, dass die Punkte $P_n$ auf der Strecke $[\text{BE}]$ liegen. Außerdem soll in der Zeichnung der Winkel $\varphi\;=\sphericalangle BAP_n=\:55^\circ$ sein. Der Punkt $P_n$ liegt in der Fläche $\text{EBA}$ und somit in der Fläche der Vorderseite des Quaders. Nun zeichnest du die Strecke $[BE]$ und die Höhe $[P_1T_1]$ ein.

Gesucht ist das Volumen der Pyramide $ABCDP_n$.

Das Volumen einer Pyramide wird allgemein berechnet durch $\text{V}=\frac13\cdot\text{G}\cdot\text{h}$.

1) Bestimmen der Grundfläche der Pyramide $ABCDP_n$

Die Grundfläche $G$ der Pyramide $ABCDP_n$ ist das Rechteck $ABCD$. Den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnest du durch Länge mal Breite:

$G=A_\text{ABCD}=\overline{AB}\cdot\overline{BC}=7{,}5\;\text{cm}\cdot10\;\text{cm} =75\;\text{cm}^2$

Die Grundfläche der Pyramide $ABCDP_n$ beträgt also $75\;\text{cm}^2$.

2) Bestimmen der Höhe der Pyramide $ABCDP_n$

Die Höhe $h$ der Pyramide $ABCDP_n$ ist die Strecke $[\text{P}_\text{n}\text{T}_\text{n}]$ mit der Länge $\overline{P_nT_n}(\varphi)$. Diese berechnest du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck:

$\sin (\varphi )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\sin (\varphi )=\frac{\overline{P_nT_n}(\varphi )}{\overline{AP_n}(\varphi )}$

$\overline{P_nT_n}(\varphi)=\sin(\varphi)\cdot\overline{AP_n}(\varphi)$

Nun berechnest du ${\overline{AP_n}}(\varphi)$ in Abhängigkeit von $\varphi$ mithilfe des Sinussatzes:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\overline{AP_n}(\varphi)}{\sin\sphericalangle P_nBA} &=& \displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin({180°-(\varphi+\sphericalangle}{{ P}_n}{B}{A}))}\\ \displaystyle\frac{\overline{AP_n}(\varphi)}{\sin\sphericalangle P_nBA} &=& \displaystyle\frac{\overline{AB}}{\underbrace{\sin({\varphi+\sphericalangle}{P_nBA})}_{Supplementbeziehung}}\\ \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{\overline{AB}\cdot{\sin\sphericalangle P_nBA}}{\sin({\varphi+\sphericalangle}{P_nBA})}\\ \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{7{,}5\cdot{\sin 60{,}02°}}{\sin({\varphi+60{,}02°})}\\ \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{6{,}50}{\sin({\varphi+60{,}02°})}\text{cm} \end{array}$

Daraufhin setzt du $\overline{AP_n}(\varphi)$ in die Gleichung für $\overline{{P_nT}_n}(\varphi)$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{P_nT_n}(\varphi)&=&\sin(\varphi)\cdot{\overline{AP_n}}(\varphi)\\ &=&\displaystyle\sin(\varphi)\cdot\frac{6{,}50}{\sin({\varphi+60{,}02°})}\\ \overline{P_nT_n}(\varphi)&=&\displaystyle\frac{6{,}50\cdot\sin(\varphi)}{\sin({\varphi+60{,}02°})}\text{cm} \end{array}$

3) Einsetzen in die Volumenformel

Damit erhältst du für das Volumen $V(\varphi)$ der Pyramide $ABCDP_n$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} V(\varphi) &=& \displaystyle\frac13\cdot A_{ABCD}\cdot\overline{P_nT_n}(\varphi)\\ V(\varphi) &=& \displaystyle\left[\frac{1}{3}\cdot 75\cdot \frac {6{,}50\cdot\sin(\varphi)} {\sin({\varphi+60{,}02°})} \right]\text{cm}^\text{3}\\ V(\varphi)&=& \displaystyle\left[\frac{162{,}5\cdot\sin(\varphi)}{\sin({\varphi+60{,}02°})} \right]\text{cm}^\text{3} \end{array}$

Der Quader $ABCDEFGH$ besitzt das Volumen

Da die Strecke $\overline{AD}=10 \text{ cm}$ lang ist, muss auch $\overline{AP_2}=10 \text{ cm}$ sein.

Du setzt einfach in die Gleichung von B2.3 ein:

Da $\varphi \in ]0°;90°]$, muss der gesuchte Winkel $\varphi=79{,}44°$sein.

Setze nun $\varphi=79{,}44°$in die Volumenformel der Pyramide aus Aufgabe B2.3 ein:

Nun musst du nur noch den prozentualen Anteil der Volumens der "kleinen" Pyramide am Volumen des "großen" Quaders angeben:

Wenn die Länge der Strecke $[P_3T_3]$ minimal sein soll, muss es sich bei $[P_3T_3]$ um das Lot von $A$ auf die Strecke $[BE]$ handeln.

Da der Winkel $\sphericalangle EBA$ das Maß $60{,}02$° besitzt und es sich beim Dreieck $ABP_3$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, muss für $\sphericalangle BAP_3=\varphi_3$ gelten:

Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich dann für die Länge $\overline{AP_3}$:

Zunächst überlegst du, wann die Pyramide $ABCDP_n$ das maximale Volumen besitzt:

Eine Veränderung von $\varphi$ ändert nur $P_n$ und damit nur die Höhe der Pyramide, die Grundfläche bleibt dabei immer gleich.

Daher kannst du sagen, die Pyramide $ABCDP_n$ hat ihr maximales Volumen bei $\varphi =90°$.

In diesem Fall ist $\overline{P_nT_n}=\overline{AE}$, und damit gilt

Probiere es selbst am Applet aus!

Lösung zu a

Die Zeichnung enthält bereits alle in der Aufgabe zu machenden Schritte.

Lösung zu b

Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AD_n}$ erhältst du, indem du den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ um $A$ drehst, mit dem Drehwinkel $\varphi=60°$(siehe Zeichnung).

Für den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ erhältst du:

$\overrightarrow{AB_n}=\overrightarrow{B_n}-\vec{A}=\begin{pmatrix}x\\-1{,}5x+1{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2\\-1{,}5x+1\end{pmatrix}$

Um dann die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{OD_n}$ (also des Punktes $D_n$) zu erhalten, musst du nach der Drehung den Vektor $\overrightarrow{OA}$ zu $\overrightarrow{AD_n}$ addieren (Vektorkette/Parallelverschiebung).

Es ergibt sich also

und weiter

Damit hat der Punkt $D_n$ die Koordinaten $D_n(1{,}80x-1{,}87|0{,}12x+2{,}73)$.

Lösung zu c

Wir nehmen an, die Koordinaten des Punktes $D_n$ lauten $D_n(x'|y')$, da der Punkt ja ein "eigenes" $x$ bekommen soll.

Außerdem lauten die Koordinaten des Punktes $D_n$ auch

in Abhängigkeit von $x_{B_n}$ (siehe Teilaufgabe (b)).

Daraus ergibt sich nun folgende Gleichung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} (I)&x'&=&1{,}80x-1{,}87 \Rightarrow x = \frac{x'+1{,}87}{1{,}80} \\ (II)& y'&=&0{,}12x+2{,}73\\ \\ (I') \text{ in } (II):& y'&=&0{,}12\cdot\left(\frac{x'+1{,}87}{1{,}80}\right)+2{,}73\\ & y'&=&\left(\frac{0{,}12\cdot x'+0{,}12\cdot1{,}87}{1{,}80}\right)+2{,}73\\ & y'&=&0{,}07x'+2{,}85\\ \\ h:&y&=&0{,}07x+2{,}85 \end{array}$

Lösung zu d

Den Umfang einer Raute berechnest du, indem du die Länge einer Seite bestimmst und dann mit vier multiplizierst.

Daher musst du bei dieser Aufgabe lediglich die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmen ($\overrightarrow{AB_n}$ selbst wurde in Teilaufgabe (b) schon bestimmt).

Analog würde es über die Koordinaten der Punkte $A$ und $B_n$, also der Länge der Strecke $\overline{AB_n}$ funktionieren.

Lösung zu e

Wenn der Punkt $B_3$ sowohl auf der Geraden $g$ liegen soll (wie jeder Punkt $B_n$ laut Angabe) und zugleich auf der Geraden $h$, dann kann es sich beim Punkt $B_3$ nur um den Schnittpunkt dieser beiden Geraden handeln.

Um das gemeinsame $x_3$ zu berechnen, musst du lediglich die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:

Um nun den Umfang der Raute $AB_3C_3D_3$ in Abhängigkeit von $x$ zu bestimmen, setzt du $x_3=-0{,}86$ in die Gleichung für den Umfang (siehe Teilaufgabe (d)) ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}u(x)&=&\sqrt{52x^2+16x+80)}~\text{LE}\\u(x)&=&\sqrt{52\cdot(-0{,}86)^2+16\cdot(-0{,}86)+80)}~\text{LE}\\u(x)&\approx&10{,}23~\text{LE}\end{array}$

Lösung zu f

Wenn die Diagonale $[B_4D_4]$ parallel zur y-Achse sein soll, heißt das, dass die x-Koordinaten der beiden Punkte $B_4$ und $D_4$ gleich sein müssen.

Du kannst also das gemeinsame $x_4$ berechnen, indem du die x-Koordinaten der Punkte $B_n$ und $D_n$ gleichsetzt:

Setze $x=2{,}34$ in $y_{B_n}=-1{,}5\cdot x+1{,}5$ ein:

$y_{B_n}=-1{,}5\cdot 2{,}34+1{,}5=-2{,}01$

Für $B_4$ ergibt sich also $B_4(2{,}34|-2{,}01)$.

Für die Berechnung des Flächeninhalts der so entstandenen Raute gibt es einige unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten.

(Verwende geschickterweise die Berechnung, die am zeitsparendsten und am wenigsten fehleranfällig ist.)

Wenn man die Raute $AB_4C_4D_4$ betrachtet fällt auf, dass die Diagonalen sich recht leicht berechnen lassen:

• die Diagonale $[AC_4]$ hat die doppelte Länge des Abstandes der x-Koordinaten von $A(-2|0{,}5)$ und $B_4(2{,}34|-2{,}01)$:

• die Diagonale $[B_4D_4]$ hat die Länge des Abstandes der y-Koordinaten von $B_4$ und $D_4$:

Nun kannst du mit der Flächenformel den Flächeninhalt der Raute berechnen:

wobei $e$ und $f$ die Diagonalen der Raute sind: