Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Der Punkt $A (- 2 ∣ 0,5)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Eckpunkte $B_n(x|-1{,}5x+1{,}5)$ der Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - 1,5 x + 1,5$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ .

Es gilt: $\sphericalangle B_nAD_n=60^\circ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Rauten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 0,5$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 ~\text{cm};~-4\le x\le 7;~-2\le y\le 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Lösung zu a
Die Zeichnung enthält bereits alle in der Aufgabe zu machenden Schritte.
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Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte $B_{n}$ .
$[$ Ergebnis: $D_n(1{,}80x-1{,}87|0{,}12x+2{,}73)]$

Lösung zu b
Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AD_n}$ erhältst du, indem du den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ um $A$ drehst, mit dem Drehwinkel $\varphi=60°$ (siehe Zeichnung).
Für den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ erhältst du:
$\overrightarrow{AB_n}=\overrightarrow{B_n}-\vec{A}=\begin{pmatrix}x\\-1{,}5x+1{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2\\-1{,}5x+1\end{pmatrix}$
Um dann die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{OD_n}$ (also des Punktes $D_{n}$ ) zu erhalten, musst du nach der Drehung den Vektor $\overrightarrow{OA}$ zu $\overrightarrow{AD_n}$ addieren (Vektorkette/Parallelverschiebung).
Es ergibt sich also
$\displaystyle \overrightarrow{OD_n}=\underbrace{\begin{pmatrix}\cos{60°}& -\sin{60°}\\\sin{60°} & \cos{60°}\end{pmatrix}\cdot\overrightarrow{AB_n}}_{\overrightarrow{AD_n}}+\overrightarrow{OA}$
und weiter
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OD_n}&=&\begin{pmatrix}\frac12& -\frac{\sqrt 3}{2}\\\frac{\sqrt 3}{2} & \frac12\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x+2\\-1{,}5x+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\0{,}5\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}\frac12x+1+\frac{3\sqrt3}{4}x-\frac{\sqrt3}{2}\\ \frac{\sqrt3}{2}x+\sqrt3-\frac34x+\frac12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\0{,}5\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}\frac12x+1+\frac{3\sqrt3}{4}x-\frac{\sqrt3}{2}-2\\ \frac{\sqrt3}{2}x+\sqrt3-\frac34x+\frac12+\frac12\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{OD_n}&=&\begin{pmatrix}1{,}80x-1{,}87\\0{,}12x+2{,}73\end{pmatrix}. \end{array}$
Damit hat der Punkt $D_{n}$ die Koordinaten $D_n(1{,}80x-1{,}87|0{,}12x+2{,}73)$ .
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Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen $h$ der Punkte $D_{n}$ und zeichnen Sie sodann den Trägergraphen $h$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
$[$ Ergebnis: $h : y = 0,07 x + 2,85]$

Lösung zu c
Wir nehmen an, die Koordinaten des Punktes $D_{n}$ lauten $D_{n} (x^{'} ∣ y^{'})$ , da der Punkt ja ein "eigenes" $x$ bekommen soll.
Außerdem lauten die Koordinaten des Punktes $D_{n}$ auch
$\displaystyle D_n(1{,}80x-1{,}87|0{,}12x+2{,}73)$
in Abhängigkeit von $x_{B_n}$ (siehe Teilaufgabe (b)).
Daraus ergibt sich nun folgende Gleichung:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} (I)&x'&=&1{,}80x-1{,}87 \Rightarrow x = \frac{x'+1{,}87}{1{,}80} \\ (II)& y'&=&0{,}12x+2{,}73\\ \\ (I') \text{ in } (II):& y'&=&0{,}12\cdot\left(\frac{x'+1{,}87}{1{,}80}\right)+2{,}73\\ & y'&=&\left(\frac{0{,}12\cdot x'+0{,}12\cdot1{,}87}{1{,}80}\right)+2{,}73\\ & y'&=&0{,}07x'+2{,}85\\ \\ h:&y&=&0{,}07x+2{,}85 \end{array}$
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Zeigen Sie, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt: $u(x)=\sqrt{52x^2+16x+80}~\text{LE}$ .

Lösung zu d
Den Umfang einer Raute berechnest du, indem du die Länge einer Seite bestimmst und dann mit vier multiplizierst.
Daher musst du bei dieser Aufgabe lediglich die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmen ( $\overrightarrow{AB_n}$ selbst wurde in Teilaufgabe (b) schon bestimmt).
$\displaystyle \overrightarrow{AB_n}=\begin{pmatrix}x+2\\-1{,}5x+1\end{pmatrix}$
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} u(x)&=&4\cdot \sqrt{(x+2)^2+(-1{,}5x+1)^2}~\text{LE}\\ &=&4\cdot \sqrt{x^2+4x+4+2{,}25x^2-3x+1}~\text{LE}\\ &=&4\cdot \sqrt{3{,}25x^2+x+5}~\text{LE}\\ &=&\sqrt{16\cdot(3{,}25x^2+x+5)}~\text{LE}\\ u(x)&=&\sqrt{52x^2+16x+80)}~\text{LE} \end{array}$
Analog würde es über die Koordinaten der Punkte $A$ und $B_{n}$ , also der Länge der Strecke $\overline{AB_n}$ funktionieren.
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Der Punkt $B_{3}$ der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf dem Trägergraphen $h$ der Punkte $D_{n}$ .
Berechnen Sie den Umfang der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Lösung zu e
Wenn der Punkt $B_{3}$ sowohl auf der Geraden $g$ liegen soll (wie jeder Punkt $B_{n}$ laut Angabe) und zugleich auf der Geraden $h$ , dann kann es sich beim Punkt $B_{3}$ nur um den Schnittpunkt dieser beiden Geraden handeln.
Um das gemeinsame $x_{3}$ zu berechnen, musst du lediglich die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} y_g&=&y_h\\ -1{,}5x+1{,}5&=&0{,}07x+2{,}85\\ -1{,}5x-0{,}07x&=&2{,}85-1{,}5\\ -1{,}57x&=&1{,}35\\ x_3&\approx&-0{,}86 \end{array}$
Um nun den Umfang der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ in Abhängigkeit von $x$ zu bestimmen, setzt du $x_3=-0{,}86$ in die Gleichung für den Umfang (siehe Teilaufgabe (d)) ein:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}u(x)&=&\sqrt{52x^2+16x+80)}~\text{LE}\\u(x)&=&\sqrt{52\cdot(-0{,}86)^2+16\cdot(-0{,}86)+80)}~\text{LE}\\u(x)&\approx&10{,}23~\text{LE}\end{array}$
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Die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ der Raute $A B_{4} C_{4} D_{4}$ ist parallel zur $y$ -Achse.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ und geben Sie den Flächeninhalt der Raute $A B_{4} C_{4} D_{4}$ an.
Lösung zu f
Wenn die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ parallel zur y-Achse sein soll, heißt das, dass die x-Koordinaten der beiden Punkte $B_{4}$ und $D_{4}$ gleich sein müssen.
Du kannst also das gemeinsame $x_{4}$ berechnen, indem du die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ gleichsetzt:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} x&=&1{,}80x-1{,}87\\ -0{,}80x&=&-1{,}87\\ x&\approx&2{,}34 \end{array}$
Setze $x = 2,34$ in $y_{B_n}=-1{,}5\cdot x+1{,}5$ ein:
$y_{B_n}=-1{,}5\cdot 2{,}34+1{,}5=-2{,}01$
Für $B_{4}$ ergibt sich also $B_4(2{,}34|-2{,}01)$ .
Für die Berechnung des Flächeninhalts der so entstandenen Raute gibt es einige unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten.
(Verwende geschickterweise die Berechnung, die am zeitsparendsten und am wenigsten fehleranfällig ist.)
Wenn man die Raute $A B_{4} C_{4} D_{4}$ betrachtet fällt auf, dass die Diagonalen sich recht leicht berechnen lassen:
die Diagonale $[A C_{4}]$ hat die doppelte Länge des Abstandes der x-Koordinaten von $A (- 2 ∣ 0,5)$ und $B_4(2{,}34|-2{,}01)$ :
$\displaystyle \overline{AC_4}= 2\cdot (x_{B_4}-x_A)$
die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ hat die Länge des Abstandes der y-Koordinaten von $B_{4}$ und $D_{4}$ :
$\displaystyle \overline{B_4D_4}=(y_{D_4}-y_{B_4})=2\cdot (y_A-y_{B_4})$
Nun kannst du mit der Flächenformel den Flächeninhalt der Raute berechnen:
$\displaystyle A_{Raute}=\frac12 \cdot e\cdot f$
wobei $e$ und $f$ die Diagonalen der Raute sind:
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_{AB_4C_4D_4}&=&\frac12 \cdot 2\cdot (x_{B_4}-x_A)\cdot 2\cdot (y_A-y_{B_4})\\ &=&\frac12 \cdot 2\cdot (2{,}34+2)\cdot 2\cdot (0{,}5+2{,}01)\\ &\approx&21{,}79~\text{FE} \end{array}$
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Lösung zu a

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Lösung zu b

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Lösung zu c

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Lösung zu d

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Lösung zu e

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Lösung zu f

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