Lösung zu a

Die Zeichnung enthält bereits alle in der Aufgabe zu machenden Schritte.

Lösung zu b

Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AD_n}$ erhältst du, indem du den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ um $A$ drehst, mit dem Drehwinkel $\varphi=60°$(siehe Zeichnung).

Für den Vektor $\overrightarrow{AB_n}$ erhältst du:

$\overrightarrow{AB_n}=\overrightarrow{B_n}-\vec{A}=\begin{pmatrix}x\\-1{,}5x+1{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2\\-1{,}5x+1\end{pmatrix}$

Um dann die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{OD_n}$ (also des Punktes $D_n$) zu erhalten, musst du nach der Drehung den Vektor $\overrightarrow{OA}$ zu $\overrightarrow{AD_n}$ addieren (Vektorkette/Parallelverschiebung).

Es ergibt sich also

und weiter

Damit hat der Punkt $D_n$ die Koordinaten $D_n(1{,}80x-1{,}87|0{,}12x+2{,}73)$.

Lösung zu c

Wir nehmen an, die Koordinaten des Punktes $D_n$ lauten $D_n(x'|y')$, da der Punkt ja ein "eigenes" $x$ bekommen soll.

Außerdem lauten die Koordinaten des Punktes $D_n$ auch

in Abhängigkeit von $x_{B_n}$ (siehe Teilaufgabe (b)).

Daraus ergibt sich nun folgende Gleichung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} (I)&x'&=&1{,}80x-1{,}87 \Rightarrow x = \frac{x'+1{,}87}{1{,}80} \\ (II)& y'&=&0{,}12x+2{,}73\\ \\ (I') \text{ in } (II):& y'&=&0{,}12\cdot\left(\frac{x'+1{,}87}{1{,}80}\right)+2{,}73\\ & y'&=&\left(\frac{0{,}12\cdot x'+0{,}12\cdot1{,}87}{1{,}80}\right)+2{,}73\\ & y'&=&0{,}07x'+2{,}85\\ \\ h:&y&=&0{,}07x+2{,}85 \end{array}$

Lösung zu d

Den Umfang einer Raute berechnest du, indem du die Länge einer Seite bestimmst und dann mit vier multiplizierst.

Daher musst du bei dieser Aufgabe lediglich die Länge des Vektors $\overrightarrow{AB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmen ($\overrightarrow{AB_n}$ selbst wurde in Teilaufgabe (b) schon bestimmt).

Analog würde es über die Koordinaten der Punkte $A$ und $B_n$, also der Länge der Strecke $\overline{AB_n}$ funktionieren.

Lösung zu e

Wenn der Punkt $B_3$ sowohl auf der Geraden $g$ liegen soll (wie jeder Punkt $B_n$ laut Angabe) und zugleich auf der Geraden $h$, dann kann es sich beim Punkt $B_3$ nur um den Schnittpunkt dieser beiden Geraden handeln.

Um das gemeinsame $x_3$ zu berechnen, musst du lediglich die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:

Um nun den Umfang der Raute $AB_3C_3D_3$ in Abhängigkeit von $x$ zu bestimmen, setzt du $x_3=-0{,}86$ in die Gleichung für den Umfang (siehe Teilaufgabe (d)) ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}u(x)&=&\sqrt{52x^2+16x+80)}~\text{LE}\\u(x)&=&\sqrt{52\cdot(-0{,}86)^2+16\cdot(-0{,}86)+80)}~\text{LE}\\u(x)&\approx&10{,}23~\text{LE}\end{array}$

Lösung zu f

Wenn die Diagonale $[B_4D_4]$ parallel zur y-Achse sein soll, heißt das, dass die x-Koordinaten der beiden Punkte $B_4$ und $D_4$ gleich sein müssen.

Du kannst also das gemeinsame $x_4$ berechnen, indem du die x-Koordinaten der Punkte $B_n$ und $D_n$ gleichsetzt:

Setze $x=2{,}34$ in $y_{B_n}=-1{,}5\cdot x+1{,}5$ ein:

$y_{B_n}=-1{,}5\cdot 2{,}34+1{,}5=-2{,}01$

Für $B_4$ ergibt sich also $B_4(2{,}34|-2{,}01)$.

Für die Berechnung des Flächeninhalts der so entstandenen Raute gibt es einige unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten.

(Verwende geschickterweise die Berechnung, die am zeitsparendsten und am wenigsten fehleranfällig ist.)

Wenn man die Raute $AB_4C_4D_4$ betrachtet fällt auf, dass die Diagonalen sich recht leicht berechnen lassen:

• die Diagonale $[AC_4]$ hat die doppelte Länge des Abstandes der x-Koordinaten von $A(-2|0{,}5)$ und $B_4(2{,}34|-2{,}01)$:

• die Diagonale $[B_4D_4]$ hat die Länge des Abstandes der y-Koordinaten von $B_4$ und $D_4$:

Nun kannst du mit der Flächenformel den Flächeninhalt der Raute berechnen:

wobei $e$ und $f$ die Diagonalen der Raute sind: