Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Der Punkt $A (- 2 | 0,5)$ ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Eckpunkte $B_{n} (x | - 1,5 x + 1,5)$ der Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - 1,5 x + 1,5$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .

Es gilt: $∢ B_{n} A D_{n} = 60^{\circ}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Rauten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 0,5$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 2$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm; - 4 \leq x \leq 7; - 2 \leq y \leq 5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Lösung zu a
Die Zeichnung enthält bereits alle in der Aufgabe zu machenden Schritte.
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Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte $B_{n}$ .
$[$ Ergebnis: $D_{n} (1,80 x - 1,87 | 0,12 x + 2,73)]$

Lösung zu b
Die Koordinaten des Vektors $\vec{A D_{n}}$ erhältst du, indem du den Vektor $\vec{A B_{n}}$ um $A$ drehst, mit dem Drehwinkel $φ = 60 °$ (siehe Zeichnung).
Für den Vektor $\vec{A B_{n}}$ erhältst du:
$\vec{A B_{n}} = \vec{B_{n}} - \vec{A} = (\begin{array}{c} x \\ - 1,5 x + 1,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 0,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} x + 2 \\ - 1,5 x + 1 \end{array})$
Um dann die Koordinaten des Vektors $\vec{O D_{n}}$ (also des Punktes $D_{n}$ ) zu erhalten, musst du nach der Drehung den Vektor $\vec{O A}$ zu $\vec{A D_{n}}$ addieren (Vektorkette/Parallelverschiebung).
Es ergibt sich also
$\vec{O D_{n}} = \underset{\vec{A D_{n}}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{cc} \cos 60 ° & - \sin 60 ° \\ \sin 60 ° & \cos 60 ° \end{array}) \cdot \vec{A B_{n}}}} + \vec{O A}$
und weiter
$\begin{array}{rcl} \vec{O D_{n}} & = & (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x + 2 \\ - 1,5 x + 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 0,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{1}{2} x + 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{4} x - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x + \sqrt{3} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 0,5 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} \frac{1}{2} x + 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{4} x - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} x + \sqrt{3} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{array}) \\ \vec{O D_{n}} & = & (\begin{array}{c} 1,80 x - 1,87 \\ 0,12 x + 2,73 \end{array}) . \end{array}$
Damit hat der Punkt $D_{n}$ die Koordinaten $D_{n} (1,80 x - 1,87 | 0,12 x + 2,73)$ .
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Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen $h$ der Punkte $D_{n}$ und zeichnen Sie sodann den Trägergraphen $h$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
$[$ Ergebnis: $h : y = 0,07 x + 2,85]$

Lösung zu c
Wir nehmen an, die Koordinaten des Punktes $D_{n}$ lauten $D_{n} (x^{'} | y^{'})$ , da der Punkt ja ein "eigenes" $x$ bekommen soll.
Außerdem lauten die Koordinaten des Punktes $D_{n}$ auch
$D_{n} (1,80 x - 1,87 | 0,12 x + 2,73)$
in Abhängigkeit von $x_{B_{n}}$ (siehe Teilaufgabe (b)).
Daraus ergibt sich nun folgende Gleichung:
$\begin{array}{rrcl} (I) & x^{'} & = & 1,80 x - 1,87 \Rightarrow x = \frac{x^{'} + 1,87}{1,80} \\ (I I) & y^{'} & = & 0,12 x + 2,73 \\ (I^{'}) in (I I) : & y^{'} & = & 0,12 \cdot (\frac{x^{'} + 1,87}{1,80}) + 2,73 \\ y^{'} & = & (\frac{0,12 \cdot x^{'} + 0,12 \cdot 1,87}{1,80}) + 2,73 \\ y^{'} & = & 0,07 x^{'} + 2,85 \\ h : & y & = & 0,07 x + 2,85 \end{array}$
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Zeigen Sie, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ gilt: $u (x) = \sqrt{52 x^{2} + 16 x + 80} LE$ .

Lösung zu d
Den Umfang einer Raute berechnest du, indem du die Länge einer Seite bestimmst und dann mit vier multiplizierst.
Daher musst du bei dieser Aufgabe lediglich die Länge des Vektors $\vec{A B_{n}}$ in Abhängigkeit von $x$ bestimmen ( $\vec{A B_{n}}$ selbst wurde in Teilaufgabe (b) schon bestimmt).
$\vec{A B_{n}} = (\begin{array}{c} x + 2 \\ - 1,5 x + 1 \end{array})$
$\begin{array}{rcl} u (x) & = & 4 \cdot \sqrt{(x + 2)^{2} + (- 1,5 x + 1)^{2}} LE \\ = & 4 \cdot \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 + 2,25 x^{2} - 3 x + 1} LE \\ = & 4 \cdot \sqrt{3,25 x^{2} + x + 5} LE \\ = & \sqrt{16 \cdot (3,25 x^{2} + x + 5)} LE \\ u (x) & = & \sqrt{52 x^{2} + 16 x + 80)} LE \end{array}$
Analog würde es über die Koordinaten der Punkte $A$ und $B_{n}$ , also der Länge der Strecke $A B_{n}$ funktionieren.
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Der Punkt $B_{3}$ der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf dem Trägergraphen $h$ der Punkte $D_{n}$ .
Berechnen Sie den Umfang der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Lösung zu e
Wenn der Punkt $B_{3}$ sowohl auf der Geraden $g$ liegen soll (wie jeder Punkt $B_{n}$ laut Angabe) und zugleich auf der Geraden $h$ , dann kann es sich beim Punkt $B_{3}$ nur um den Schnittpunkt dieser beiden Geraden handeln.
Um das gemeinsame $x_{3}$ zu berechnen, musst du lediglich die beiden Geradengleichungen gleichsetzen:
$\begin{array}{rcl} y_{g} & = & y_{h} \\ - 1,5 x + 1,5 & = & 0,07 x + 2,85 \\ - 1,5 x - 0,07 x & = & 2,85 - 1,5 \\ - 1,57 x & = & 1,35 \\ x_{3} & \approx & - 0,86 \end{array}$
Um nun den Umfang der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ in Abhängigkeit von $x$ zu bestimmen, setzt du $x_{3} = - 0,86$ in die Gleichung für den Umfang (siehe Teilaufgabe (d)) ein:
$\begin{array}{rcl} u (x) & = & \sqrt{52 x^{2} + 16 x + 80)} LE \\ u (x) & = & \sqrt{52 \cdot (- 0,86)^{2} + 16 \cdot (- 0,86) + 80)} LE \\ u (x) & \approx & 10,23 LE \end{array}$
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Die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ der Raute $A B_{4} C_{4} D_{4}$ ist parallel zur $y$ -Achse.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ und geben Sie den Flächeninhalt der Raute $A B_{4} C_{4} D_{4}$ an.
Lösung zu f
Wenn die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ parallel zur y-Achse sein soll, heißt das, dass die x-Koordinaten der beiden Punkte $B_{4}$ und $D_{4}$ gleich sein müssen.
Du kannst also das gemeinsame $x_{4}$ berechnen, indem du die x-Koordinaten der Punkte $B_{n}$ und $D_{n}$ gleichsetzt:
$\begin{array}{rcl} x & = & 1,80 x - 1,87 \\ - 0,80 x & = & - 1,87 \\ x & \approx & 2,34 \end{array}$
Setze $x = 2,34$ in $y_{B_{n}} = - 1,5 \cdot x + 1,5$ ein:
$y_{B_{n}} = - 1,5 \cdot 2,34 + 1,5 = - 2,01$
Für $B_{4}$ ergibt sich also $B_{4} (2,34 | - 2,01)$ .
Für die Berechnung des Flächeninhalts der so entstandenen Raute gibt es einige unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten.
(Verwende geschickterweise die Berechnung, die am zeitsparendsten und am wenigsten fehleranfällig ist.)
Wenn man die Raute $A B_{4} C_{4} D_{4}$ betrachtet fällt auf, dass die Diagonalen sich recht leicht berechnen lassen:
die Diagonale $[A C_{4}]$ hat die doppelte Länge des Abstandes der x-Koordinaten von $A (- 2 | 0,5)$ und $B_{4} (2,34 | - 2,01)$ :
$A C_{4} = 2 \cdot (x_{B_{4}} - x_{A})$
die Diagonale $[B_{4} D_{4}]$ hat die Länge des Abstandes der y-Koordinaten von $B_{4}$ und $D_{4}$ :
$B_{4} D_{4} = (y_{D_{4}} - y_{B_{4}}) = 2 \cdot (y_{A} - y_{B_{4}})$
Nun kannst du mit der Flächenformel den Flächeninhalt der Raute berechnen:
$A_{R a u t e} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
wobei $e$ und $f$ die Diagonalen der Raute sind:
$\begin{array}{rcl} A_{A B_{4} C_{4} D_{4}} & = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (x_{B_{4}} - x_{A}) \cdot 2 \cdot (y_{A} - y_{B_{4}}) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2,34 + 2) \cdot 2 \cdot (0,5 + 2,01) \\ \approx & 21,79 FE \end{array}$
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Lösung zu a

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Lösung zu b

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Lösung zu c

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Lösung zu d

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Lösung zu e

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Lösung zu f

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