Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_k:x\mapsto kx^2-4x-3$ mit $k\in\mathrm{R}\setminus{\{0\}}$ , deren Graphen Parabeln sind.

Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass der Punkt $(2|-3)$ auf der zugehörigen Parabel liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenschar

In der Aufgabe sind Lagebeziehungen bei einer Funktionenschar zu untersuchen.

Gegeben ist die Funktionenschar

\displaystyle p_k:x\mapsto kx^2-4x-3

und der Punkt $P(2|-3)$ .

Setze die Koordinaten von $P$ in die Funktionsgleichung der Schar ein und löse nach $k$ auf.

$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle k⋅22−4⋅2−3$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle 4k−11$	$\displaystyle +11$
$\displaystyle 4k$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 2$

Der Punkt $P(2∣−3)$ liegt auf der Parabel $p_k$ :

$p_2:\;x\mapsto 2x^2-4x-3$

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Ermitteln Sie diejenigen Werte von $k$ , für die die jeweils zugehörige Funktion $p_k$ keine Nullstelle besitzt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenschar

Dass eine Funktion der Schar keine Nullstelle hat, bedeutet, dass die Gleichung $p_k(x)=0$ keine Lösung hat.

Somit darf die quadratische Gleichung

\displaystyle p_k:x\mapsto kx^2-4x-3

keine Lösung haben.

Also muss deren Diskriminante negativ sein.

$\displaystyle 16+12k$	$<$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -16$
$\displaystyle 12k$	$<$	$\displaystyle -16$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle k$	$<$	$\displaystyle -\frac{3}{4}$

Für alle Funktionen der Schar $p_k$ mit $k<-\frac43$ haben die Graphen keine Nullstelle.

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