Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Die maximale Definitionsmenge und die Gleichung der Tangente einer Funktion in einem vorgegebenen Punkt sind zu bestimmen.

Lösung Teilaufgabe a)

Für die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs $D_g$ der Wurzelfunktion

gilt die Bedingung, dass der Term $x+1$ unter der Wurzel (der "Radikand") nicht negativ wird.

"nicht negativ" ist gleichwertig mit "größer oder gleich Null".

Löse also folgende Ungleichung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} x+1&\geq &0&\quad\;|\;-1 \\ x&\geq&-1\end{array}$

Der maximale Definitionsbereich $D_g$ kann somit folgendermaßen angegeben werden:

$D_g=\{{x|x\geq-1}\}\quad$ oder so:$\quad D_g=[-1;+\infty[$

Lösung Teilaufgabe b)

Bestimme die 2. Koordinate des Punktes $(8|g(8))$:

$g(8) = \sqrt {8+1}-2=1$.

Die Gleichung der Tangente soll also im Punkt $P(8|1)$ aufgestellt werden.

Bilde die 1.Ableitung $g'$ von $g$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}g(x)&=&\displaystyle (x+1)^\frac{1}{2}-2&|\,\text{Benutze die Potenz- und die Kettenregel}\\g'(x)&=&\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot \color{red}{1}-0\\&=&\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^{\frac{1}{2}}}\\g'(x)&=&\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\end{array}$

Im Punkt $P(8|1)$ hat die gesuchte Tangente die Steigung

$g'(8)=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{8+1}}=\frac16$

Ein Ansatz für die Gleichung der Tangente lautet dann:

Setze den Punkt $(8|1)$ ein, um $m$ zu berechnen:

$1=\displaystyle \frac86+m\quad\Rightarrow\;m=-\frac13$.

Damit lautet die gesuchte Tangente:

Im Zusammenhang mit einer gegebenen gebrochen-rationalen Funktion ist ein Flächenstück zu berechnen.

Lösung Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sind die beiden Funktionen

$f:x\mapsto1-\frac{1}{x^2}$ und

$g:x\mapsto-3$

zu schneiden.

Setze die beiden Funktionsterme gleich und löse die Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle1-\frac{1}{x^2}&=&-3&|\;\cdot x^2\\x^2-1&=&-3x^2&|\;+3x^2+1\\4x^2&=&1&|\;:4\\x^2&=&\displaystyle \frac{1}{4}&|\;\sqrt{}\\x_1&=&\displaystyle +\frac12\\x_2&=&-\displaystyle \frac12 \end{array}$

Einer der beiden Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$ ist der Punkt $S(0{,}5|-3)$.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Teilaufgabe verlangt eine Flächenberechnung.

Schraffiere zunächst die zu berechnende Fläche in einer Skizze.

Achtung:

Gemeint ist eine Fläche, deren Rand allein aus Teilen des Graphen von $f$, aus Teilen der x-Achse und Teilen des Graphen von $g$ besteht.

Die Fläche $A'$ ist deshalb nicht die richtige Fläche, da ihr Rand einen Teil der y-Achse enthält.

Dennoch ist $A'$ hilfreich zur Berechnung der Fläche $A$, da - wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur y-Achse - gilt: $A=2\cdot A'$.

So berechnest du die Fläche $A'$:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}A'&=&\text{Rechteck}_{ABCD}+\color{red}{|}\displaystyle \int_{0{,}5}^1f(x)\mathrm{dx}\,\color{red}{|}\\&=&\quad0{,}5\cdot 3 \quad\quad +|\,\displaystyle\int_{0{,}5}^1(1-\frac{1}{x^2})\mathrm{dx}\,|\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}A'&=&\quad\quad1{,}5\quad\quad+|\,\big[x\color{red}{+x^{-1}}\big]_{0{,}5}^1\,|\\&=&\quad\quad1{,}5\quad+|(1+1)-(0{,}5+\color{red}{2})|\\&=&\quad\quad1{,}5\quad+\;\color{red}{0{,}5}\\A'&=&\quad\quad2\end{array}$

Damit gilt für die gesuchte Fläche der Teilaufgabe:

$A=4$

Aus gegebenen Graphen sind charakteristische Eigenschaften der zugehörigen Funktionen zu erschließen bzw. im Rahmen der Zeichengenauigkeit vernünftig abzuschätzen.

Lösung Teilaufgabe a)

Infrage kommt nur der Graph I.

Begründung:

Der Graph der Funktion $f$ hat für die (geschätzten) Werte $x_1=-2$ und $x_2=+2$ lokale Extrema.

Die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$ muss deshalb (etwa) für diese Werte Nullstellen haben.

Damit scheidet Graph II aus.

Dem Graphen von $f$ entnimmt man für $x=0$ eine (Wende-)Tangente mit einer geschätzten Steigung von etwa $-1$.

Damit scheidet der Graph III aus. Denn für diesen Graph gilt $f'(0)\approx-2$. Der Graph I dagegen passt mit $\approx-0{,}9$ gut.

Lösung Teilaufgabe b)

Die Lösung der Aufgabe verlangt die Vertrautheit mit dem Zusammenhang einer Funktion und einer ihrer Stammfunktionen und Kenntnis eines Monotoniekriteriums.

Ergebnis:

Jede Stammfunkktion $F$ ist im Intervall $[1;3]$ monoton fallend.

Begründung:

Für jede Stammfunktion $F$ ist $f$ die zugehörige Ableitungsfunktion.

Da $f$ im Intervall $[1;3]$ negativ ist, ist nach dem Monotoniekriterium differenzierbarer Funktionen $F$ monoton fallend.