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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion g:xx+12g: x \mapsto \sqrt{x+1}-2 mit maximaler Definitionsmenge DD.

    a)

    (1 BE)

    Geben Sie DD an.

    b)

    (4 BE)

    Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von gg im Punkt (8g(8))(8|g(8)).

  2. 2
    Abb. 1

    Gegeben ist die in R{0}\mathrm{R}\setminus\{0\} definierte Funktion f:x11x2  f:x\mapsto 1-\displaystyle \frac{1}{x^2}\;, die die Nullstellen x1=1x_1=-1 und x2=1x_2=1 hat.

    Abbildung 1 zeigt den Graphen von ff, der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

    Weiterhin ist die Gerade gg mit der Gleichung y=3y=-3 gegeben.

    a)

    (1 BE)

    Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen gg den Graphen von ff schneidet, die x-Koordinate 12\frac12 hat.

    b)

    (4 BE)

    Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von ff, die x-Achse und die Gerade gg einschließen.

  3. 3
    Abb. 2

    Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion ff.

    a)

    (3 BE)

    Einer der folgenden Graphen I, II, und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von ff. Geben Sie diesen Graphen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

    Abb.3

    b)

    (2 BE)

    Die Funktion FF ist eine Stammfunktion von ff. Geben Sie das Monotonieverhalten von FF im Intervall [1;3][1;3] an. Begründen Sie Ihre Angabe.

  4. 4

    Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen pk:xkx24x3p_k:x\mapsto kx^2-4x-3 mit kR{0}k\in\mathrm{R}\setminus{\{0\}}, deren Graphen Parabeln sind.

    1. Bestimmen Sie den Wert von kk so, dass der Punkt (23)(2|-3) auf der zugehörigen Parabel liegt.

    2. Ermitteln Sie diejenigen Werte von kk, für die die jeweils zugehörige Funktion pkp_k keine Nullstelle besitzt.


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