Die maximale Definitionsmenge und die Gleichung der Tangente einer Funktion in einem vorgegebenen Punkt sind zu bestimmen.

Lösung Teilaufgabe a)

Für die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs $D_g$ der Wurzelfunktion

gilt die Bedingung, dass der Term $x+1$ unter der Wurzel (der "Radikand") nicht negativ wird.

"nicht negativ" ist gleichwertig mit "größer oder gleich Null".

Löse also folgende Ungleichung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} x+1&\geq &0&\quad\;|\;-1 \\ x&\geq&-1\end{array}$

Der maximale Definitionsbereich $D_g$ kann somit folgendermaßen angegeben werden:

$D_g=\{{x|x\geq-1}\}\quad$ oder so:$\quad D_g=[-1;+\infty[$

Lösung Teilaufgabe b)

Bestimme die 2. Koordinate des Punktes $(8|g(8))$:

$g(8) = \sqrt {8+1}-2=1$.

Die Gleichung der Tangente soll also im Punkt $P(8|1)$ aufgestellt werden.

Bilde die 1.Ableitung $g'$ von $g$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}g(x)&=&\displaystyle (x+1)^\frac{1}{2}-2&|\,\text{Benutze die Potenz- und die Kettenregel}\\g'(x)&=&\displaystyle \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot \color{red}{1}-0\\&=&\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^{\frac{1}{2}}}\\g'(x)&=&\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\end{array}$

Im Punkt $P(8|1)$ hat die gesuchte Tangente die Steigung

$g'(8)=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{8+1}}=\frac16$

Ein Ansatz für die Gleichung der Tangente lautet dann:

Setze den Punkt $(8|1)$ ein, um $m$ zu berechnen:

$1=\displaystyle \frac86+m\quad\Rightarrow\;m=-\frac13$.

Damit lautet die gesuchte Tangente: