Die maximale Definitionsmenge und die Gleichung der Tangente einer Funktion in einem vorgegebenen Punkt sind zu bestimmen.

Lösung Teilaufgabe a)

Für die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs $D_{g}D\_g$ der Wurzelfunktion

gilt die Bedingung, dass der Term $x+1x+1$ unter der Wurzel (der "Radikand") nicht negativ wird.

"nicht negativ" ist gleichwertig mit "größer oder gleich Null".

Löse also folgende Ungleichung:

Der maximale Definitionsbereich $D_{g}D\_g$ kann somit folgendermaßen angegeben werden:

$D_g=\{x\mathrm{\mid }x\ge -1\}D\_g=\backslash \{\{x|x\backslash geq-1\}\backslash \}\backslash quad$ oder so:$D_g=[-1;+\mathrm{\infty }[\backslash quad\; D\_g=[-1;+\backslash infty[$

Lösung Teilaufgabe b)

Bestimme die 2. Koordinate des Punktes $(8\mathrm{\mid }g(8))(8|g(8))$:

$g(8)=\sqrt{8+1}-2=1g(8)\; =\; \backslash sqrt\; \{8+1\}-2=1$.

Die Gleichung der Tangente soll also im Punkt $P(8\mathrm{\mid }1)P(8|1)$ aufgestellt werden.

Bilde die 1.Ableitung $g^{\mathrm{\prime }}g\text{'}$ von $gg$:

Im Punkt $P(8\mathrm{\mid }1)P(8|1)$ hat die gesuchte Tangente die Steigung

$g^{\mathrm{\prime }}(8)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{8+1}}=\frac{1}{6}}g\text{'}(8)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash sqrt\{8+1\}\}=\backslash frac16$

Ein Ansatz für die Gleichung der Tangente lautet dann:

Setze den Punkt $(8\mathrm{\mid }1)(8|1)$ ein, um $mm$ zu berechnen:

$1={\displaystyle \frac{8}{6}+m\Rightarrow m=-\frac{1}{3}}1=\backslash displaystyle\; \backslash frac86+m\backslash quad\backslash Rightarrow\backslash ;m=-\backslash frac13$.

Damit lautet die gesuchte Tangente: