Die maximale Definitionsmenge und die Gleichung der Tangente einer Funktion in einem vorgegebenen Punkt sind zu bestimmen.
Lösung Teilaufgabe a)
Für die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs Dg der Wurzelfunktion
g:x↦x+1−2 gilt die Bedingung, dass der Term x+1 unter der Wurzel (der "Radikand") nicht negativ wird.
"nicht negativ" ist gleichwertig mit "größer oder gleich Null".
Löse also folgende Ungleichung:
x+1x≥≥0−1∣−1
Der maximale Definitionsbereich Dg kann somit folgendermaßen angegeben werden:
Dg={x∣x≥−1} oder so:Dg=[−1;+∞[
Lösung Teilaufgabe b)
Bestimme die 2. Koordinate des Punktes (8∣g(8)):
g(8)=8+1−2=1.
Die Gleichung der Tangente soll also im Punkt P(8∣1) aufgestellt werden.
Bilde die 1.Ableitung g′ von g:
g(x)g′(x)g′(x)====(x+1)21−221(x+1)−21⋅1−021⋅(x+1)2112x+11∣Benutze die Potenz- und die Kettenregel
Im Punkt P(8∣1) hat die gesuchte Tangente die Steigung
g′(8)=28+11=61
Ein Ansatz für die Gleichung der Tangente lautet dann:
t:y=61x+m
Setze den Punkt (8∣1) ein, um m zu berechnen:
1=68+m⇒m=−31.
Damit lautet die gesuchte Tangente:
t:y=61x−31