11Implikation (in Arbeit)

Sind $A$ und $B$ Aussagen, so definiert man die Implikation $A\Rightarrow B$ durch $\neg A \vee B$.

Die Idee dabei ist so: die Implikation soll bedeuten, dass aus der Aussage $A$ die Aussage $B$ folgt, d.h. wenn $A$ wahr ist, soll auch $B$ wahr sein. Ist $A$ falsch, gibt es keine Bedingung an $B$.

Das bedeutet, dass die Wahrheitswerttabelle von $A\Rightarrow B$ so aussieht:

Die ersten beiden Zeilen sagen "Wenn $A$ wahr ist, ist auch $B$ wahr und nicht etwa falsch". Die unteren beiden Zeilen sagen "Wenn $A$ falsch ist, kann $B$ wahr oder falsch sein, beides ist OK".

Was hat das denn nun mit $\neg A \vee B$ zu tun?

Eine Möglichkeit ist es, eine Wahrheitswerttabelle dazu aufzustellen und zu sehen, dass die Aussageverknüpfungen wirklich äquivalent sind. Eine andere ist die Benutzung der de Morganschen Regeln und der Distributivgesetze.

Einfache Beispiele

$(A\Rightarrow w)\Leftrightarrow w$

$(w\Rightarrow A)\Leftrightarrow A$

$(A\Rightarrow f)\Leftrightarrow \neg A$

$(f\Rightarrow A)\Leftrightarrow w$

Zusammenhang mit der Äquivalenz

Die Idee ist, dass zwei Aussageverknüpfungen äquivalent sind, wenn jeweils eine aus der anderen folgt:

$(A\Leftrightarrow B) \Leftrightarrow \Big( (A\Rightarrow B) \wedge (B\Rightarrow A)\Big)$