Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1 und 2

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist symmetrisch.

Aus der angegebenen Tabelle liest man ab:

$P(X\leq 0)=P(X=0)=0{,}05\\\Rightarrow P(X=5)=0{,}05$

$P(X\leq 1)=0{,}2\Rightarrow P(X=1)=P(X\leq 1)-P(X\leq 0)\\\iff P(X=1)=0{,}2-0{,}05=0{,}15\\\Rightarrow P(X=4)=0{,}15$

$P(X\leq 2)=0{,}5\Rightarrow P(X=2)=P(X\leq 2)-P(X\leq 1)\\\iff P(X=2)=0{,}5-0{,}2=0{,}3\\\Rightarrow P(X=3)=0{,}3$

Damit folgt:

$P(X\leq 3)=P(X\leq 2)+P(X= 3)=0{,}5+0{,}3=0{,}8$

$P(X\leq 4)=P(X\leq 3)+P(X=4)=0{,}8+0{,}15=0{,}95$

$P(X\leq 5)=P(X\leq 4)+P(X=5)=0{,}95+0{,}05=1$

Also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccc} k&|0&|1&|2&|3&|4&|5&|\\\hline P(X\leq k)&|0{,}05&|0{,}2&|0{,}5&|0{,}8&|0{,}95&|1&|\\\hline \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist $\underline{nicht}$ binomialverteilt.

Denn sonst müsste gelten:

$B(5,p,0)=B(5,p,5)\iff \binom{5}{0}\cdot p^0\cdot q^5=\binom{5}{5}\cdot p^5\cdot q^0\\\iff q^5=p^5\Rightarrow p=q=\frac{1}{2}$

Aber: $(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}\ne\frac{5}{100}$