Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Mit einem Lasermessgerät soll ein Verkehrsschild angepeilt werden. Diese Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt $P(104|-42|10)$ beschrieben, seine Richtung durch den Vektor $\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der $x_2x_3$ -Ebene liegt und den Mittelpunkt $M(0|0|20)$ sowie den Radius $3$ hat.
Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild trifft. (5P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Geraden Ebenen
Der Laserstrahl wird durch die Gerade $g$ mit der Gleichung:
$g;\vec{x}=\begin{pmatrix}104\\-42\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-13\\5\\1\end{pmatrix}$ beschrieben.
Diese Gerade durchstößt die $x_2-x_3-$ Ebene im Punkt $L$ .
$e_{x_1-x_3}:x_1=0\iff\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\circ\vec{x}=0$
$e_{x_2-x_3}\cap g:104-13\lambda=0\iff \lambda=0\\\Rightarrow L(0|-2|18)$ .
Liegt der Punkt $L$ innerhalb des Kreises um den Mittelpunkt $M$ mit der Radius $r=3$ ?
Abstand $d(L,M)=\Big\vert\begin{pmatrix}0\\-2\\18\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\20\end{pmatrix}\Big\vert=\Big\vert\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\end{pmatrix}\Big\vert\\=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}<3$ .
Der Laserstrahl trifft das Verkehrsschild.

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