Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 hat den Funktionsterm $\frac{6\cdot x}{x^2-4}$

Die Funktionenschar $f_{a,b,c}$ hat den Funktionsterm $\frac{ax+b}{x^2+c}\\\Rightarrow a=6\land b=0\land c=-4$

$f_{0,b,c}(x)=\frac{b}{x^2+c}$

Der Graph von $f_{0,b,c}$ ist symmetrisch zur $y-$Achse, denn der Zähler $Z(x)=b$ ist als Konstante symmetrisch zur $y-$Achse und der Nenner $N(x)=x^2+c$ ist als ganzrationale Funktion mit nur geraden Hochzahlen symmetrisch zur $y-$Achse.

Und somit ist der Quotient aus dem zur $y-$Achse symmetrischen Zähler und Nenner symmetrisch zur $y-$Achse.

Oder $f_{0,bc}(x)=f_{0,b,c}(-x)\thinspace \forall x\in \mathbb{R}\iff \frac{b}{x^2+c}=\frac{b}{(-x)^2+c}$ wahr.

Die Funktion schneidet die x-Achse nicht, da der Zähler wegen $b\neq 0$ nicht $0$ werden kann.

Der Graph $f_{\left\{a,b,c\right\}}$ hat genau zwei Extrempunkte, wenn $f'_{\left\{a,b,c\right\}}$ zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat.

Das Vorzeichen von $f'_{\left\{a,b,c\right\}}$ wird vom Zählerterm von $f'_{\left\{a,b,c\right\}}\left(x\right)\$bestimmt, da der Nennerterm als Quadrat positiv ist.

Da $a\ne0$ vorausgesetzt ist, wird der Zählerterm durch eine Parabel graphisch dargestellt. Wenn der Zählerterm zwei verschiedene Nullstellen hat, so gibt es genau zwei Extrempunkte.

$a\cdot x^2+2\cdot bx-a\cdot c=0\iff x^2+\frac{2b}{a}\cdot x-c=0\\\iff x^2+\frac{2b}{a}\cdot x=c\iff x^2+\frac{2b}{a}\cdot x+(\frac{b}{a})^2=c\\\iff (x+\frac{b}{a})^2=c+(\frac{b}{a})^2$

Da $c>0$ vorausgesetzt wurde ist die Summe $c+(\frac{b}{a})^2>0$ und es gibt zwei verschiedene Nullstellen von $f'_{a,b,c}$:

$x_1=-\frac{b}{a}+\sqrt{(\frac{b}{a})^2+c}$ und $x_2=-\frac{b}{a}-\sqrt{(\frac{b}{a})^2+c}$.

Damit hat $f_{a,b,c}$ genau zwei Extrempunkte.