Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 hat den Funktionsterm $\frac{6\cdot x}{x^2-4}$

Die Funktionenschar $f_{a,b,c}$ hat den Funktionsterm $\begin{array}{l}\frac{ax+b}{x^2+c}\\ \Rightarrow a=6\wedge b=0\wedge c=-4\end{array}$

$f_{0,b,c}(x)=\frac{b}{x^2+c}$

Der Graph von $f_{0,b,c}$ ist symmetrisch zur $y-$Achse, denn der Zähler $Z(x)=b$ ist als Konstante symmetrisch zur $y-$Achse und der Nenner $N(x)=x^2+c$ ist als ganzrationale Funktion mit nur geraden Hochzahlen symmetrisch zur $y-$Achse.

Und somit ist der Quotient aus dem zur $y-$Achse symmetrischen Zähler und Nenner symmetrisch zur $y-$Achse.

Oder $f_{0,bc}(x)=f_{0,b,c}(-x)\forall x\in ℝ⟺\frac{b}{x^2+c}=\frac{b}{(-x{)}^2+c}$ wahr.

Die Funktion schneidet die x-Achse nicht, da der Zähler wegen $b\ne 0$ nicht $0$ werden kann.

Der Graph $f_{\{a,b,c\}}$ hat genau zwei Extrempunkte, wenn $f_{\{a,b,c\}}^{\prime }$ zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat.

Das Vorzeichen von $f_{\{a,b,c\}}^{\prime }$ wird vom Zählerterm von $f_{\{a,b,c\}}^{\prime }\left(x\right)$bestimmt, da der Nennerterm als Quadrat positiv ist.

Da $a\ne 0$ vorausgesetzt ist, wird der Zählerterm durch eine Parabel graphisch dargestellt. Wenn der Zählerterm zwei verschiedene Nullstellen hat, so gibt es genau zwei Extrempunkte.

$\begin{array}{l}a\cdot x^2+2\cdot bx-a\cdot c=0⟺x^2+\frac{2b}{a}\cdot x-c=0\\ ⟺x^2+\frac{2b}{a}\cdot x=c⟺x^2+\frac{2b}{a}\cdot x+(\frac{b}{a}{)}^2=c\\ ⟺(x+\frac{b}{a}{)}^2=c+(\frac{b}{a}{)}^2\end{array}$

Da $c>0$ vorausgesetzt wurde ist die Summe $c+(\frac{b}{a}{)}^2>0$ und es gibt zwei verschiedene Nullstellen von $f_{a,b,c}^{\prime }$:

$x_1=-\frac{b}{a}+\sqrt{(\frac{b}{a}{)}^2+c}$ und $x_2=-\frac{b}{a}-\sqrt{(\frac{b}{a}{)}^2+c}$.

Damit hat $f_{a,b,c}$ genau zwei Extrempunkte.