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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier  zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R}\{2;2-2;2} definierte Funktion f:x6xx24f:x\mapsto\dfrac{6x}{x^2-4}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

    1. Geben Sie die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten von GfG_f an. Begründen Sie, dass GfG_f die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. (3P)

    2. Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von f f\ in den drei Teilintervallen

      ];2,[]−∞ −;2, [ , ]2;2[]-2;2[ und ]2;[]2;- \infty[ der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an GfG_f im Punkt (0f(0))(0|f(0)). (5P)

      (zur Kontrolle: f(x)=6(x2+4)(x24)2f'(x)=-\dfrac{6\cdot(x^2+4)}{(x^2-4)^2} )

      Die Punkte A(33,6)A(3|3{,}6) und B(80,8)B(8|0{,}8) liegen auf GfG_f; zwischen diesen beiden Punkten verläuft GfG_f unterhalb der Strecke [AB][AB].

    3. Skizzieren Sie GfG_f im Bereich 10x10-10 \leq x \leq10 unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem. (4P)

    4. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von GfG_f und der Strecke [AB][AB] eingeschlossen wird. (5P)

  2. 2

    Betrachtet wird die Schar der Funktionen fa,b,c:xax+bx2+cf_{a,b,c}:x \mapsto \dfrac{ax+b}{x^2+c} mit a,b,cRa,b,c \in \mathbb{R} und maximaler Definitionsmenge Da,b,cD_{a,b,c}.

    1. Die Funktion ff aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von a,ba, b und cc an. (1P)

    2. Begründen Sie: Wenn a=0a=0 und b0b \neq0 gilt, dann ist der Graph von fa,b,cf_{a,b,c} symmetrisch bezüglich der y-Achse und schneidet die x-Achse nicht. (2P)

    3. Geben Sie für a,ba, b und c c alle Werte an, sodass sowohl Da,b,c=RD_{a,b,c}= \mathbb{R} gilt als auch, dass der Graph von fa,b,cf_{a,b,c} symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der x-Achse ist. (3P)

    4. Für die erste Ableitung von fa,b,cf_{a,b,c} gilt: fa,b,c(x)=ax2+2bxac(x2+c)2f'_{a,b,c}(x)=-\dfrac{ax^2+2bx-ac}{(x^2+c)^2} .

      Zeigen Sie: Wenn a0a\neq0 und c>0c \gt0 gilt, dann besitzt der Graph von fa,b,cf_{a,b,c} genau zwei Extrempunkte. (4P)

  3. 3

    Betrachtet wird die in R \mathbb{R} definierte Funktion p:x40(x12)2+4p:x \mapsto\dfrac{40}{(x-12)^2+4}; die Abbildung zeigt den Graphen GpG_p von p.

    Funktion
    1. Beschreiben Sie, wie Gp G_p aus dem Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion h:x5x2+4h:x\mapsto\dfrac{5}{x^2+4} schrittweise hervorgeht, und begründen Sie damit, dass GpG_p bezüglich der Gerade mit der Gleichung x=12x=12 symmetrisch ist. (4P)

    2. Eine auf einem Hausdach installierte Photovoltaikanlage wandelt Lichtenergie in elektrische Energie um. Für 4x204 \leq x \leq20 beschreibt die Funktion p modellhaft die zeitliche Entwicklung der Leistung der Anlage an einem bestimmten Tag. Dabei ist xx die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden und p(x)p(x) die Leistung in kW (Kilowatt).

      Bestimmen Sie rechnerisch die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als 4040 % ihres Tageshöchstwerts von 1010kW beträgt. (4P)

    3. Die Funktion pp besitzt im Intervall [4;12][4;12] eine Wendestelle. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an. (2P)

    4. Die von der Anlage produzierte elektrische Energie wird vollständig in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von 1010 Cent pro Kilowattstunde (kWh). Die in [4;20][4;20] definierte Funktion xE(x)x\mapsto E(x) gibt die elektrische Energie in kWh an, die die Anlage am betrachteten Tag von 4:004:00 Uhr bis xx Stunden nach Mitternacht in das Stromnetz einspeist.

      Es gilt E(x)=p(x)E'(x)=p(x) für x[4;20]x \in[4;20].

      Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Vergütung, die der Hauseigentümer für die von 10:0010:00 Uhr bis 14:0014:00 Uhr in das Stromnetz eingespeiste elektrische Energie erhält. (3P)


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