Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Die vorgelegte Funktion $f$ist eine echt gebrochen rationale Funktion mit dem Nenner $x^2-4$. Die Nullstellen des Nenners sind $x_1=-2\vee x_2=2$. Da der Zähler hier keine Nullstellen hat, liegen Polstellen vor.

Somit lauten die Gleichungen der senkrechten Asymtoten:

$a_{S1}:x=-2$ und $a_{S2}:x=2$.

Der Zählergrad der gebrochen rationalen Funktion ist $1$ und der Nennergrad ist $2.$ Somit ist die $x-$Achse waagerechte Asymptote.

Oder ausführlicher:

$${\displaystyle f(x)=6\cdot \frac{x}{x^2-4}⟺f(x)=6\cdot \frac{x}{x\cdot (x-\frac{4}{x})}⟺f(x)=6\cdot \frac{1}{(x-\frac{4}{x})}\Rightarrow \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0}$$

Das Monotonieverhalten wird mittels des Vorzeichens der 1. Ableitung bestimmt.

$\begin{array}{l}f(x)=6\cdot \frac{x}{x^2-4}\\ \Rightarrow f^{\prime }(x)=6\cdot \frac{x^2-4-x\cdot 2x}{(x^2-4{)}^2}\\ \Rightarrow f^{\prime }(x)=-6\cdot \frac{x^2+4}{(x^2-4{)}^2}\end{array}$

Also gilt $f^{\prime }(x)<0$ für alle $x\in D_f$.

Somit ist f streng monoton fallend in $]-\infty ;-2]$, sowie in $]-2;2[$ und $]2;\infty [$.

Die Punkte $A$und $B$ liegen auf dem Graph von $f.$Die Koordinaten der Punkte sind $A(3|(f3))$ und $B(8|f(8))$.

Es war angegeben: $A(3|\mathrm{3,6})$ und $B(8|\mathrm{0,8})$.

Es werden zwei Varianten der Lösung angegeben.

Variante 1:

Man berechnet die Maßzahl der Fläche zwischen der Strecke $[AB]$ und dem Graph$G_f$ im Intervall [3;8].

Bestimmung der Gleichung der Geraden $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B.$

Eine Geradengleichung hat die Form $y=m\cdot x+b$, wobei $m$ die Steigung der Geraden ist und $b$ der $y-$Achsenabschnitt.

Die Steigung $m$ ermittelt man mit Hilfe des Steigungsdreiecks.

$m={\displaystyle \frac{\frac{18}{5}-\frac{4}{5}}{8-3}}={\displaystyle \frac{-\frac{14}{5}}{5}}=-\frac{14}{25}$

Damit gilt: $g_{AB}:y=-\frac{14}{25}\cdot x+b$

Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden: $${\displaystyle \frac{18}{5}=-\frac{14}{25}\cdot 3+b\Rightarrow b=\frac{90}{25}+\frac{42}{25}=\frac{132}{25}\Rightarrow y=-\frac{14}{25}\cdot x+\frac{132}{25}}$$

$\begin{array}{l}{A}_{\text{Fläche}}={\int }_3^8(-\frac{14}{25}\cdot x+\frac{132}{25}-6\cdot \frac{x}{x^2-4})dx\\ ⟺A_{\text{Fläche}}={\int }_3^8(-\frac{14}{25}\cdot x+\frac{132}{25}-3\cdot \frac{2x}{x^2-4})dx\\ ⟺A_{\text{Fläche}}=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{14}{25}{x}^2)+\frac{132}{25}x-3\cdot \ln |x^2-4|){]}_3^8\\ ⟺A_{\text{Fläche}}=-\frac{7}{25}\cdot 64+\frac{132}{25}\cdot 8-3\cdot \ln 60-[-\frac{7}{25}\cdot 9+\frac{132}{25}\cdot 3-3\cdot \ln 5]\\ ⟺A_{\text{Fläche}}=-\frac{7}{25}\cdot 55+\frac{132}{25}\cdot 5-3(\ln 60-\ln 5)\\ ⟺A_{\text{Fläche}}=-\frac{7}{5}\cdot 11+\frac{132}{5}-3\cdot \ln 12=-\frac{77}{5}+\frac{132}{5}-3\cdot \ln 12\\ A_{\text{Fläche}}=\frac{55}{5}-3\cdot \ln 12=11-3\cdot \ln 12FE\end{array}$

Variante 2:

Man betrachtet die Skizze des Graphen von $f$ mit der Strecke $[AB]$.

Man erkennt, dass die Fläche zwischen der Strecke $[AB]$ und dem Intervall $[3;8]$ ein Viereck ist, das man in ein Rechteck und Dreieck zelegen kann.

Somit ist der Inhalt dieses Vierecks leicht zu berechnen.

Die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und dem intervall $[3;8]$ wird mit Hilfe der logarithmischen Integration berechnet.

An der Skizze liest man ab, dass der Inhalt des Rechteckes $EBDC$ gerade $4FE$ und der Inhalt des Dreiecks $AEB$ gerade $\frac{1}{2}\cdot \frac{14}{5}\cdot 5=7FE$.

Zusammen ist der Inhalt des Viereckes $ABDC$ gerade $11FE.$

Berechnung der Maßzahl der Fläche zwischen $G_f$ und dem Intervall $[3;8]$:

$\begin{array}{l}A={\int }_3^{8}6\cdot \frac{x}{x^2-4}dx=3\cdot {\int }_3^8\frac{2x}{x^2-4}dx=3\cdot \ln |x^2-4|{]}_3^8\\ ⟺A=3\cdot [\ln 60-\ln 5]=3\cdot \ln 12FE\end{array}$

Insgesamt ergibt sich für die Maßzahl der Fläche zwischen der Strecke $[AB]$und $G_f$ der Wert $A_{\text{Fläche}}=11-3\cdot \ln 12\text{FE}$

Meiner Meinung nach liegen die Rechenvorteile der Variante 2 auf der Hand.

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 hat den Funktionsterm $\frac{6\cdot x}{x^2-4}$

Die Funktionenschar $f_{a,b,c}$ hat den Funktionsterm $\begin{array}{l}\frac{ax+b}{x^2+c}\\ \Rightarrow a=6\wedge b=0\wedge c=-4\end{array}$

$f_{0,b,c}(x)=\frac{b}{x^2+c}$

Der Graph von $f_{0,b,c}$ ist symmetrisch zur $y-$Achse, denn der Zähler $Z(x)=b$ ist als Konstante symmetrisch zur $y-$Achse und der Nenner $N(x)=x^2+c$ ist als ganzrationale Funktion mit nur geraden Hochzahlen symmetrisch zur $y-$Achse.

Und somit ist der Quotient aus dem zur $y-$Achse symmetrischen Zähler und Nenner symmetrisch zur $y-$Achse.

Oder $f_{0,bc}(x)=f_{0,b,c}(-x)\forall x\in ℝ⟺\frac{b}{x^2+c}=\frac{b}{(-x{)}^2+c}$ wahr.

Die Funktion schneidet die x-Achse nicht, da der Zähler wegen $b\ne 0$ nicht $0$ werden kann.

Der Graph $f_{\{a,b,c\}}$ hat genau zwei Extrempunkte, wenn $f_{\{a,b,c\}}^{\prime }$ zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat.

Das Vorzeichen von $f_{\{a,b,c\}}^{\prime }$ wird vom Zählerterm von $f_{\{a,b,c\}}^{\prime }\left(x\right)$bestimmt, da der Nennerterm als Quadrat positiv ist.

Da $a\ne 0$ vorausgesetzt ist, wird der Zählerterm durch eine Parabel graphisch dargestellt. Wenn der Zählerterm zwei verschiedene Nullstellen hat, so gibt es genau zwei Extrempunkte.

$\begin{array}{l}a\cdot x^2+2\cdot bx-a\cdot c=0⟺x^2+\frac{2b}{a}\cdot x-c=0\\ ⟺x^2+\frac{2b}{a}\cdot x=c⟺x^2+\frac{2b}{a}\cdot x+(\frac{b}{a}{)}^2=c\\ ⟺(x+\frac{b}{a}{)}^2=c+(\frac{b}{a}{)}^2\end{array}$

Da $c>0$ vorausgesetzt wurde ist die Summe $c+(\frac{b}{a}{)}^2>0$ und es gibt zwei verschiedene Nullstellen von $f_{a,b,c}^{\prime }$:

$x_1=-\frac{b}{a}+\sqrt{(\frac{b}{a}{)}^2+c}$ und $x_2=-\frac{b}{a}-\sqrt{(\frac{b}{a}{)}^2+c}$.

Damit hat $f_{a,b,c}$ genau zwei Extrempunkte.

Ausgehend vom Graphen $G_{h_{}}$ der Funktion $${\displaystyle h(x)=\frac{5}{x^2+4}}$$h soll der Graph $G_p$ der Funktion $${\displaystyle p(x)=\frac{40}{(x-12{)}^2+4}}$$ dargestellt werden.

Der Graph $G_f$ der Funktion $y=f(x-a);a>0$ ergibt sich aus dem Graphen $G_g$ der Funktion $g(x)=f(x-a)$ durch Verschiebung um $a$ in Richtung der positiven $x-$Achse.

Beispiel: Der Graph der Funktion $f_o(x)=x^2$ ist die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_o(0|0)$ und der Graph der Funktion $f_a(x)=(x-a{)}^2$ ist die um $a$ in Richtung der positiven $x-$Achse verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_a(a|0)$.

Ersetzt man in der Funktion $h$ die unabhängige Variable $x$ durch $x-12$, so erhält man $${\displaystyle h_{12}(x)=\frac{5}{(x-12{)}^2+4}}$$.

Der Graph $G_{h_{12}}$ergibt sich aus dem Graphen $G_h$ durch Verschiebung um $12LE$ in Richtung der positiven $x-$Achse.

Multipliziert man $h_1(x)$ mit dem Faktor $8$, so werden alle Funktionswerte um den Faktor $8$ vergrößert. Man erhält den Graphen $G_p$

$8\cdot h_1(x)=8\cdot \frac{5}{(x-12{)}^2+4}=\frac{40}{(x-12{)}^2+4}=p(x)$

Der Graph $G_h$ ist achsensymmetrisch bzgl. der $y-$Achse, weil sowohl Zählerterm als auch Nennerterm von $h$ gerade sind.

Es gilt: $h(x)=h(-x)\forall x\in ℝ.$

Also ist der Graph $G_h$ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=0$.

Weil man $x$ durch $x-12$ ersetzt hat, ist der Graph $G_p$ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=12.$

Die Leistung der PV-Anlage wird modellhaft durch die Funktion $p^{}$ beschrieben.

$p(x)={\displaystyle \frac{40}{(x-12{)}^2+4}}$

Für welches $x$ gilt: $p(x)<4$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{40}{(x-12{)}^2+4}}<4⟺{\displaystyle \frac{10}{(x-12{)}^2+4}}<1⟺10<(x-12{)}^2+4\\ ⟺6<(x-12{)}^2⟺\sqrt{6}<|x-12|\end{array}$

Diese Ungleichung bedeutet, welche Werte von $x$ haben von $12$ einen Abstand, der größer als $\sqrt{6}$ ist?

Da in der Aufgabe nach einer Uhrzeit am Nachmittag gefragt ist, gilt:

$\begin{array}{l}\sqrt{6}<x-12⟺x>12+\sqrt{6}⟺x>12+\mathrm{2,449}\\ \Rightarrow x>14\end{array}$Uhr $27$Minuten

Die Funktion $p$ ist im Intervall $[4;12]$ monoton steigend, denn

$${\displaystyle p^{\prime }(x)=40\cdot \frac{-2\cdot (x-12)}{[(x-12{)}^2+4){]}^2}=-80\cdot \frac{x-12}{[(x-12{)}^2+4{]}^2}>0}$$.

Da der Nennerterm von $p^{\prime }(x)$ als Quadrat positiv ist und der Zählerterm $-80\cdot (x-12)$ im Intervall $[4;12]$ auch positiv ist, wächst $p$ im Intervall $[4;12]$.

Der Wendepunkt ist ein (möglicher) Extrempunkt der 1. Ableitung, also der Veränderung (hier: Ansteigen) der Leistung.

Bis zur Wendestelle $x_w$ wird das Ansteigen der Leistung immer stärker und nach der Wendestelle wird das Ansteigen schwächer. An der Wendestelle hat das Ansteigen der Leistung seinen Maximalwert erreicht. Um $12$Uhr hat das Ansteigen den Wert Null.

Die in $\left[\mathrm{4,20}\right]$ definierte Funktion $x\to E\left(x\right)$ gibt die eingespeiste elektrische Energie an und es gilt $E^{\prime }\left(x\right)=p\left(x\right).$ Somit ist $E$ Stammfunktion von $p.$

Und mittels ${\int }_{10}^{14}p(x)dx$ berechnet sich die eingespeiste Energie von $10:00$ Uhr bis $14:00$ Uhr.

${\int }_{10}^{14}p(x)dx$ lässt sich näherungsweise über den Inhalt der dem Graph von $p(x)$ einbeschriebenen Treppenfigur $U$ bzw. umbeschriebenen Treppenfigur $O$berechnen.

Da der Graph von $p(x)$ symmetrisch bzgl. der $y-$Achse ist, genügt es, den Inhalt der Treppenfiguren im Intervall $[10;12]$ zu berechnen. Den dann berechneten Wert des Flächeninhaltes multipliziert man mit $2.$

Man unterteilt das Intervall $[\mathrm{10,12}]$ in zwei Teilintervalle der Länge $\mathrm{\Delta }x=1$.

Es gilt: $p(10)=\frac{40}{(10-12{)}^2+4}=5;p(11)=\frac{40}{(11-12{)}^2+4}=8;p(12)=10$

Dann erhält man für die Fläche der einbeschriebenen Treppenfigur

$U=5\cdot 1+8\cdot 1=13\text{FE}$

Und für die Fläche der umbeschriebenen Treppenfigur:

$O=8\cdot 1+10\cdot 1=18\text{FE}$

Bildet man den Mittelwert von $U$ und $O$, so erhält man:$\frac{U+O}{2}=\frac{31}{2}\text{FE}$

Somit kann man den Wert des Flächeninhaltes unter dem Graph von $p(x)$ im Intervall $[10;14]$ näherungsweise mit $31\text{FE}$ angeben.

Damit werden in der Zeit von $10:00$ Uhr bis $14:00$ Uhr etwa $31\text{kWh}$ eingespeist.

Der Hauseigentümer erhält als Vergütung $\mathrm{3,10}$ Euro.