Zeigen Sie, dass $gg$ streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge $]0;1[]0;1[$ besitzt. (5P)

(zur Kontrolle: $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{e^x\}\{(e^x+1)^2\}$)

Geben Sie $g^{\mathrm{\prime }}(0)g\text{'}(0)$ an und zeichnen Sie $G_{g}G\_g$ im Bereich $-4\le x\le 4-4\backslash leq\; x\backslash leq\; 4$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass $G_{g}G\_g$ in $W(0\mathrm{\mid }g(0))W(0|g(0))$ seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3P)

Der Graph der Funktion $gg\backslash$* geht aus $G_{g}G\_g$ durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von $gg$* ist $]-1;1[]-1;1[$. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für $gg$*an. (2P)

Es wird das Flächenstück zwischen $G_{g}G\_g$ und der x-Achse im Bereich $-ln3\le x\le b-ln3\backslash leq\; x\backslash leq\; b$ mit $b\in {\mathbb{R}}^{+}b\backslash in\; \backslash mathbb\{R^+\}$ betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von $bb$ so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert. (6P)