Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Der Funktionsterm der vorgelegten Funktion $f$ ist ein Produkt aus den beiden Faktoren $1-x^2$ und $e^{-x}$. Nur der erste Faktor kann den Wert $0$ annehmen.

Also : $f(x)=0\Leftrightarrow1-x^2=0\Leftrightarrow x_1=-1\vee x_2=1$

$f(x)=(1-x^2)\cdot e^{-x}$

Nach der Produktregel ist

$f'(x)=-2x\cdot e^{-x}-(1-x^2)\cdot e^{-x}\\=(x^2-2x-1)\cdot e^{-x}$

Die Nullstellen werden jetzt durch quadratische Ergänzung bestimmt:

$f'(x)=0\iff x^2-2x-1=0\iff x^2-2x+1=1+1\\\iff (x-1)^2=2\iff x_{E_1}=1-\sqrt{2}\lor x_{E_2}=1+\sqrt{2}$

Das Integral $\int_{-1}^4f(x)dx$ soll aus dem Graphen in 1a näherungsweise bestimmt werden.

$\int_{-1}^4f(x)dx=\int_{-1}^1f(x)dx+\int_1^4f(x)dx\approx\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} FE$

Für jede Stammfunktion $F\$von $f$ gilt: $F'(x)=f(x)$.

Da die Funktion $f$ an der Stelle $x_1=-1$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ hat, fällt die Funktion $F$ für $x<-1$ und wächst für $x>-1.$ Somit hat $F$ an der Stelle $x_1=-1$ einen Tiefpunkt.

Der Graph von $F$ hat in $T(-1|2)$ wegen 1d einen Tiefpunkt. Analog folgert man, dass $F$ in $H(1|3{,}5)$ einen Hochpunkt hat. Das Grenzverhalten von $F$ ist angegeben. Somit schmiegt sich der Graph von $F$ an die Asymptote $a(x)=2$ an.

Wenn $F(2{,}5)-F(0)\approx0\Rightarrow \int_0^{2{,}5} f(x)dx\approx 0$, so ist die Fläche unter dem Graph von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;1]$etwa gleich groß zur Fläche zwischen der $x-$Achse und dem unterhalb der $x-$Achse gelegenen Graph von $f$ im Intervall $[1;2{,}5]$.

Die Nullstellen der Funktionenschar $h_k$ werden von dem Faktor $1-k\cdot x^2$ bestimmt.

$1-k\cdot x^2=0\Leftrightarrow1=k\cdot x^2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{k }}$

Somit gibt es zwei Nullstellen, falls $k>0$ ist,

und es gibt keine Nullstelle, falls $k\le 0$ ist.

Die Nullstellen lauten: $x_1=-\frac{1}{\sqrt{k}}$ und $x_2=\frac{1}{\sqrt{k}}.$

Der Abstand der Nullstellen ist: $\frac{1}{\sqrt{k}}-(-\frac{1}{\sqrt{k}})=\frac{2}{\sqrt{k}}$.

Da der Abstand der Nullstellen genau $4$ sein soll, muss gelten:

$4=\frac{2}{\sqrt{k}}\iff \sqrt{k}=\frac{1}{2}$.

Also ist $k=\frac{1}{4},$ da $k>0$ sein muss.

Es gibt kein $k$, sodass $G_k\$und $G_f$ symmetrisch bezüglich der $x-$Achse liegen.

Denn dann müsste insbesondere auch gelten: $f\left(0\right)=-h_k\left(0\right).$

Es gilt aber : $f(0)=(1-0)\cdot e^{-0}\iff f(0)=1\cdot e^0=1$

und $h_k(0)=(1-0)\cdot e^{-0}\iff h_k(0)=1\neq-1$