Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Der Funktionsterm der vorgelegten Funktion $ff$ ist ein Produkt aus den beiden Faktoren $1-x^{2}1-x^2$ und $e^{-x}e^\{-x\}$. Nur der erste Faktor kann den Wert $00$ annehmen.

Also : $f(x)=0\iff 1-x^2=0\iff x_1=-1\vee x_2=1f(x)=0\backslash Leftrightarrow1-x^2=0\backslash Leftrightarrow\; x\_1=-1\backslash vee\; x\_2=1$

$f(x)=(1-x^2)\cdot e^{-x}f(x)=(1-x^2)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Nach der Produktregel ist

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x\cdot e^{-x}-(1-x^2)\cdot e^{-x}=(x^2-2x-1)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=-2x\backslash cdot\; e^\{-x\}-(1-x^2)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash \backslash =(x^2-2x-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Die Nullstellen werden jetzt durch quadratische Ergänzung bestimmt:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺x^2-2x-1=0⟺x^2-2x+1=1+1⟺(x-1{)}^2=2⟺x_{E_1}=1-\sqrt{2}\vee x_{E_2}=1+\sqrt{2}f\text{'}(x)=0\backslash iff\; x^2-2x-1=0\backslash iff\; x^2-2x+1=1+1\backslash \backslash \backslash iff\; (x-1)^2=2\backslash iff\; x\_\{E\_1\}=1-\backslash sqrt\{2\}\backslash lor\; x\_\{E\_2\}=1+\backslash sqrt\{2\}$

Das Integral ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx\backslash int\_\{-1\}^4f(x)dx$ soll aus dem Graphen in 1a näherungsweise bestimmt werden.

${\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx\approx \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}FE\backslash int\_\{-1\}^4f(x)dx=\backslash int\_\{-1\}^1f(x)dx+\backslash int\_1^4f(x)dx\backslash approx\backslash frac\{3\}\{2\}-1=\backslash frac\{1\}\{2\}\; FE$

Für jede Stammfunktion $FF\backslash$von $ff$ gilt: $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)=f(x)$.

Da die Funktion $ff$ an der Stelle $x_1=-1x\_1=-1$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von $--$ nach $++$ hat, fällt die Funktion $FF$ für und wächst für $x>-1.x>-1.$ Somit hat $FF$ an der Stelle $x_1=-1x\_1=-1$ einen Tiefpunkt.

Der Graph von $FF$ hat in $T(-1\mathrm{\mid }2)T(-1|2)$ wegen 1d einen Tiefpunkt. Analog folgert man, dass $FF$ in $H(1\mathrm{\mid }\mathrm{3,5})H(1|3\{,\}5)$ einen Hochpunkt hat. Das Grenzverhalten von $FF$ ist angegeben. Somit schmiegt sich der Graph von $FF$ an die Asymptote $a(x)=2a(x)=2$ an.

Wenn $F(\mathrm{2,5})-F(0)\approx 0\Rightarrow {\int }_0^{\mathrm{2,5}}f(x)dx\approx 0F(2\{,\}5)-F(0)\backslash approx0\backslash Rightarrow\; \backslash int\_0^\{2\{,\}5\}\; f(x)dx\backslash approx\; 0$, so ist die Fläche unter dem Graph von $ff$ und der $xx$-Achse im Intervall $[0;1][0;1]$etwa gleich groß zur Fläche zwischen der $x-x-$Achse und dem unterhalb der $x-x-$Achse gelegenen Graph von $ff$ im Intervall $[1;\mathrm{2,5}][1;2\{,\}5]$.

Die Nullstellen der Funktionenschar $h_{k}h\_k$ werden von dem Faktor $1-k\cdot x^{2}1-k\backslash cdot\; x^2$ bestimmt.

$1-k\cdot x^2=0\iff 1=k\cdot x^2\iff x=\pm \sqrt{\frac{1}{k}}1-k\backslash cdot\; x^2=0\backslash Leftrightarrow1=k\backslash cdot\; x^2\backslash Leftrightarrow\; x=\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{k\; \}\}$

Somit gibt es zwei Nullstellen, falls $k>0k>0$ ist,

und es gibt keine Nullstelle, falls $k\le 0k\backslash le\; 0$ ist.

Die Nullstellen lauten: $x_1=-\frac{1}{\sqrt{k}}x\_1=-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{k\}\}$ und $x_2=\frac{1}{\sqrt{k}}\mathrm{.}x\_2=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{k\}\}.$

Der Abstand der Nullstellen ist: $\frac{1}{\sqrt{k}}-(-\frac{1}{\sqrt{k}})=\frac{2}{\sqrt{k}}\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{k\}\}-(-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{k\}\})=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{k\}\}$.

Da der Abstand der Nullstellen genau $44$ sein soll, muss gelten:

$4=\frac{2}{\sqrt{k}}⟺\sqrt{k}=\frac{1}{2}4=\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{k\}\}\backslash iff\; \backslash sqrt\{k\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

Also ist $k=\frac{1}{4},k=\backslash frac\{1\}\{4\},$ da $k>0k>0$ sein muss.

Es gibt kein $kk$, sodass $G_{k}G\_k\backslash$und $G_{f}G\_f$ symmetrisch bezüglich der $x-x-$Achse liegen.

Denn dann müsste insbesondere auch gelten: $f\left(0\right)=-h_k\left(0\right)\mathrm{.}f\backslash left(0\backslash right)=-h\_k\backslash left(0\backslash right).$

Es gilt aber : $f(0)=(1-0)\cdot e^{-0}⟺f(0)=1\cdot e^0=1f(0)=(1-0)\backslash cdot\; e^\{-0\}\backslash iff\; f(0)=1\backslash cdot\; e^0=1$

und $h_k(0)=(1-0)\cdot e^{-0}⟺h_k(0)=1\mathrm{\ne }-1h\_k(0)=(1-0)\backslash cdot\; e^\{-0\}\backslash iff\; h\_k(0)=1\backslash neq-1$