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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier  zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x(1x2)exf:x\mapsto(1-x^2)\cdot e^{-x}. Die Abbildung zeigt den Graphen GfG_f von f.

    Funktion
    1. Zeigen Sie, dass ff genau zwei Nullstellen besitzt. (2P)

    2. Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von GfG_f. (4P)

      (zur Kontrolle: f(x)=(x22x1)exf'(x)=(x^2-2x-1)\cdot e^{-x})

    3. Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral 14f(x)dx\int_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x. (4P)

    4. Die in R\mathbb{R} definierte Funktion FF ist diejenige Stammfunktion von ff, deren Graph durch den Punkt T(12)T(-1|2) verläuft.

      Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von FF im Punkt TT einen Tiefpunkt besitzt. (2P)

    5. Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von FF. Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass F(1)3,5F(1)\approx3{,}5 und limxF(x)=2\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}F(x)=2 gilt. (3P)

    6. Deuten Sie die Aussage F(2,5)F(0)0F(2{,}5)-F(0)\approx0 in Bezug auf GfG_f geometrisch. (2P)

    7. Betrachtet wird nun die Schar der in R \mathbb{R} definierten Funktionen

      hk:x(1kx2)exh_k:x\mapsto(1-kx^2)\cdot e^{-x} mit kRk\in\mathbb{R}. Der Graph von hkh_k wird mit GkG_k bezeichnet. Für k=1k=1 ergibt sich die bisher betrachtete Funktion ff.

      Geben Sie in Abhängigkeit von kk die Anzahl der Nullstellen von hkh_k an. (2P)

    8. Für einen bestimmten Wert von kk besitzt GkG_k zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, die voneinander den Abstand 44 haben. Berechnen Sie diesen Wert. (3P)


    9. Beurteilen Sie, ob es einen Wert von kk gibt, sodass GkG_k und GfG_f bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander liegen. (2P)

  2. 2

    Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion g:xexex+1g:x\mapsto\dfrac{e^x}{e^x+1}. Ihr Graph wird mit GgG_g bezeichnet.

    1. Zeigen Sie, dass gg streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge ]0;1[]0;1[ besitzt. (5P)

      (zur Kontrolle: g(x)=ex(ex+1)2g'(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2})

    2. Geben Sie g(0)g'(0) an und zeichnen Sie GgG_g im Bereich 4x4 -4\leq x\leq 4 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass GgG_g in W(0g(0))W(0|g(0)) seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3P)

    3. Der Graph der Funktion g g\ * geht aus GgG_g durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von gg* ist ]1;1[]-1;1[. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für gg*an. (2P)

    4. Es wird das Flächenstück zwischen GgG_g und der x-Achse im Bereich ln3xb-ln3\leq x\leq b mit bR+b\in \mathbb{R^+} betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von bb so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert. (6P)


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