Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Zeigen Sie, dass $f$ genau zwei Nullstellen besitzt. (2P)

Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_f$. (4P)

(zur Kontrolle: $f^{\prime }(x)=(x^2-2x-1)\cdot e^{-x}$)

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x$. (4P)

Die in $ℝ$ definierte Funktion $F$ ist diejenige Stammfunktion von $f$, deren Graph durch den Punkt $T(-1|2)$ verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $F$ im Punkt $T$ einen Tiefpunkt besitzt. (2P)

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von $F$. Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass $F(1)\approx \mathrm{3,5}$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=2}$$ gilt. (3P)

Deuten Sie die Aussage $F(\mathrm{2,5})-F(0)\approx 0$ in Bezug auf $G_f$ geometrisch. (2P)

Betrachtet wird nun die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen

$h_k:x\mapsto (1-k{x}^2)\cdot e^{-x}$ mit $k\in ℝ$. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Für $k=1$ ergibt sich die bisher betrachtete Funktion $f$.

Geben Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Nullstellen von $h_k$ an. (2P)

Für einen bestimmten Wert von $k$ besitzt $G_k$ zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, die voneinander den Abstand $4$ haben. Berechnen Sie diesen Wert. (3P)

Beurteilen Sie, ob es einen Wert von $k$ gibt, sodass $G_k$ und $G_f$ bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander liegen. (2P)

Zeigen Sie, dass $g$ streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge $]0;1[$ besitzt. (5P)

(zur Kontrolle: $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}}$)

Geben Sie $g^{\prime }(0)$ an und zeichnen Sie $G_g$ im Bereich $-4\le x\le 4$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass $G_g$ in $W(0|g(0))$ seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3P)

Der Graph der Funktion $g$* geht aus $G_g$ durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von $g$* ist $]-1;1[$. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für $g$*an. (2P)

Es wird das Flächenstück zwischen $G_g$ und der x-Achse im Bereich $-ln3\le x\le b$ mit $b\in {ℝ}^{+}$ betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von $b$ so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert. (6P)