Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $g : x \mapsto \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ . Ihr Graph wird mit $G_{g}$ bezeichnet.

Zeigen Sie, dass $g$ streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge $] 0; 1 [$ besitzt. (5P)
(zur Kontrolle: $g^{'} (x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}$ )
Geben Sie $g^{'} (0)$ an und zeichnen Sie $G_{g}$ im Bereich $- 4 \leq x \leq 4$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass $G_{g}$ in $W (0 | g (0))$ seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3P)
Der Graph der Funktion $g$ * geht aus $G_{g}$ durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von $g$ * ist $] - 1; 1 [$ . Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für $g$ *an. (2P)
Es wird das Flächenstück zwischen $G_{g}$ und der x-Achse im Bereich $- l n 3 \leq x \leq b$ mit $b \in ℝ^{+}$ betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von $b$ so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert. (6P)