Zeige, dass $g$ streng monoton zunehmend

Berechne $g^{\prime }(x)$ mit der Quotientenregel:

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}}\Rightarrow Z(x)>0$ und $N(x)>0\Rightarrow g^{\prime }(x)>0$

$\Rightarrow$ $g$ ist streng monoton zunehmend.

$g$ besitzt die Wertemenge $]0;1[$

Es gilt: $${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{\to 0}{\overbrace{e^x}}}{\underset{\to 0}{\underbrace{e^x}}+1}}=0}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}={\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\stackrel{1}{\cancel{e^x}}}{\cancel{e^x}\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{e^x}})}}=1}}$$

$\Rightarrow W=]0;1[✓$

Gib $g^{\prime }(0)$ an:

$g^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{e^0}{(e^0+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(1+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Zeichne $G_g$ im Bereich $-4\le x\le 4$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass $G_g$ in $W(0|g(0))$ seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein

$g(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow W(0|\frac{1}{2})$

Erstelle eine Wertetabelle:

Gib einen möglichen Funktionsterm für $g^{\ast }$ an

Bekannt: Die Wertemenge von $g^{\ast }$ ist $]-1;1[$ und $W_g=]0;1[$.

Die Wertemenge von $g^{\ast }$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Verschiebe $g$ um $\mathrm{0,5}$ nach unten, also $g_1(x)=g(x)-\mathrm{0,5}$.

Dann ist $W_{g_1}=]-\mathrm{0,5};\mathrm{0,5}[$.

Um auf die gesuchte Wertemenge zu kommen, muss $g_1(x)$ noch mit $2$ multipliziert werden:

$\Rightarrow g^{\ast }(x)=2\cdot g_1(x)=2\cdot (g(x)-\mathrm{0,5})=2\cdot ({\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}-\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{2e^x}{e^x+1}}-1$

Ein möglicher Funktionsterm ist $g^{\ast }(x)={\displaystyle \frac{2e^x}{e^x+1}}-1={\displaystyle \frac{e^x-1}{e^x+1}}$

Bestimme den Wert von $b$ so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert

Das Flächenstück links der y-Achse reicht von $-\ln 3$ bis $0$ und das Flächenstück rechts der y-Achse reicht von $0$ bis $b$.

Löse die Gleichung $${\displaystyle {\int }_{-\ln 3}^{0}g(x)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^{b}g(x)\mathrm{d}x}}$$.

Gesucht ist eine Stammfunktion $G(x)$:

Der Ausdruck $g(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$ hat die Form ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$, wobei $f(x)=e^x+1$ und $f^{\prime }(x)=e^x$ ist. Anwenden der Logarithmus-Regel: Eine Stammfunktion von ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$ ist $\ln (|f(x)|)$.

Einsetzen und Vereinfachen: $G(x)=\ln (|e^x+1|)$

Da $e^x$ immer positiv ist, ist auch $e^x+1$ immer positiv, sodass der Betrag weggelassen werden kann$\Rightarrow$$G(x)=\ln (e^x+1)$.

Berechne das Integral auf der linken Gleichungsseite:

$${\displaystyle {\int }_{-\ln 3}^{0}g(x)\mathrm{d}x={[\ln (e^x+1)]}_{\ln 3}^0=\ln (e^0+1)-\ln (e^{-\ln 3}+1)=\ln 2-\ln ({\displaystyle \frac{1}{3}}+1)=\ln 2-\ln \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}$$

Also muss gelten: $${\displaystyle {\int }_0^{b}g(x)\mathrm{d}x=\ln 2-\ln \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}$$

Berechne das Integral auf der rechten Gleichungsseite:

$$\Rightarrow {\displaystyle {\int }_0^{b}g(x)\mathrm{d}x={[\ln (e^x+1)]}_0^b=\ln (e^b+1)-\ln (e^0+1)=\ln (e^b+1)-\ln 2}$$

Löse die Gleichung $\ln (e^b+1)-\ln 2=\ln 2-\ln \left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)$ nach $b$ auf:

Für $b=\ln 2$ halbiert die y-Achse dieses Flächenstück.

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.