Lösung

Es werden mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen

Es ist $n=200$ und $p=0{,}15$.

Binomialverteilung:

$P(X\geq25)=1-P(X\leq24)=1-F(200;0{,}15;24)=1-0{,}1368=0{,}8632$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen werden, beträgt rund $86{,}3\;\%$.

Lösung

Die fünfte Familie ist die erste, die einen Bollerwagen ausleiht

Die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Bollerwagen auszuleihen ist $1-0{,}15=0{,}85$.

A : "Die 5. Familie ist die erste, die einen Bollerwagen ausleiht“

Es wird also 4-mal kein Bollerwagen ausgeliehen $(p=0{,}85)$ und 1-mal ein Bollerwagen $(p=0{,}15)$ ausgeliehen $\;\Rightarrow\; P(A)=0{,}85^4\cdot0{,}15=0{,}0783$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht, beträgt rund $7{,}8\;\%$.

Lösung

Bereich um den Erwartungswert, in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75$% liegen

Es ist $\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}15=30$.

Weiterhin ist $\sigma=\sqrt{200\cdot0{,}15\cdot(1-0{,}15)}\approx5{,}05$.

Für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert gilt:

$[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]$

Für eine Wahrscheinlichkeit von $75\;\%$ ist $c=1{,}15$.

$\Rightarrow\;[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]=[30-1{,}15\cdot 5{,}05;30+1{,}15\cdot 5{,}05]=[24{,}2;35{,}8]$

Gerundet erhält man das Intervall $[24;36]$.

Überprüfung für das Intervall $[24;36]$: $P(24\leq X\leq36)=F(200;0{,}15;36)-F(200;0{,}15;23)=0{,}8987-0{,}0959=0{,}8028>0{,}75$

Überprüfung für das Intervall $[25;35]$:

$P(25\leq X\leq35)=F(200;0{,}15;35)-F(200;0{,}15;24)=0{,}8613-0{,}1368=0{,}7245<0{,}75$

Damit ist das Intervall $[24;36]$ das gesuchte Intervall.