Der Automat druckt Anstecker mit 5 verschiedenen Motiven.

Bei jedem Knopfdruck wird eines der $5$ verschiedenen Motiven ausgedruckt.

Wenn dreimal der Knopf betätigt wird, gibt es also insgesamt $5^3$ Möglichkeiten.

Hinweis: Vergleiche dieses Experiment mit dem $3-$maligen Werfen eines Laplace-Würfels. Hier gilt $\left|\Omega\right|=6^3$.

Ereignis $A:$ Nicht alle drei Anstecker dürfen das gleiche Motiv haben. Dies ist gleichwertig mit 'Nicht' alle drei Anstecker haben das gleiche Motiv.

Gegenereignis $\overline{A}$: Alle drei Anstecker haben das gleiche Motiv.

Dafür gibt es $|\overline{A}|=5$ Möglichkeiten.

Somit gilt $P(\overline{A})=\dfrac{5}{5^3}\Rightarrow P(A)=1-\dfrac{5}{5^3}=1-\dfrac{1}{5^2}=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$

Der Knopf wird $3-$mal betätigt.

Der Automat wählt aus $n$ verschiedenen Motiven genau eines aus.

Für die Ergebnismenge $\Omega$ gilt: $|\Omega|=n^3$.

Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

$B$: 'drei verschiedene Elemente befinden sich auf den drei Ansteckern' gefragt.

Für den ersten Ausdruck gibt es $n$ Möglichkeiten.

Für den zweiten Ausdruck gibt es $n-1$ Möglichkeiten

Für den dritten Ausdruck gibt es $n-2$ Möglichkeiten.

Also gilt für das Ereignis $B:$$|B|=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)$

Somit $P(B)=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)}{n^3}=\dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}$

In Aufgabenteil $4b$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

$B$ : 'es befinden sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern' begründet worden: $P(B)=\dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}$

Nun soll ein Wert für die Anzahl $n$ bestimmt werden, sodass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ größer als $90 \%$ ist.

Also $P(B)>0{,}9\iff \dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}>0{,}9\\\iff (n-1)\cdot(n-2)>0{,}9\cdot n^2\\\iff n^2-3\cdot n+2>0{,}9\cdot n^2\\\iff 0{,}1\cdot n^2-3\cdot n+2>0\\\iff n^2-30\cdot n+20>0$

Für welche natürliche Zahl $n$ wird $n^2-30\cdot n+20>0$?

$n^2-30\cdot n+\qquad>-20\\\iff n^2-30\cdot n+(\frac{30}{2})^2>-20+15^2\\\iff (n-15)^2>-20+225\iff (n-15)^2>205\\\iff n-15>\sqrt{205}\\\iff n-15>14{,}3\\\iff n>29{,}3\\\iff n\geq30\quad\text{ wegen } n\in \mathbb{N}$

Probe: $\dfrac{29\cdot28}{30^2}=0{,}9022..$