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Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=3log3(x+7)4y=3\cdot\log_3(x+7)-4 (G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Geben Sie die Gleichung der Asymptote hh des Graphen zu f1f_1 an.

    Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x[4;9]x\in[-4;9] in ein Koordinatensystem. (2 P)

    Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 4x9-4\le x\le 9; 6y4-6\le y\le 4

  2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(12)\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix} auf den Graphen der Funktion f2f_2 abgebildet.

    Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion f2f_2 gilt:

    y=3log3(x+6)+2y=-3\cdot \log_3(x+6)+2 (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[4;9]x\in[-4;9] in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)

  3. Punkte An(x3log3(x+6)+2)A_n(x|-3\cdot \log_3(x+6)+2) auf dem Graphen zu f2f_2 und Punkte Dn(x3log3(x+7)4)D_n(x|3\cdot \log_3(x+7)-4) auf dem Graphen zu f1f_1 haben dieselbe Abszisse xx. Sie sind für x>3,46x>-3{,}46 zusammen mit Punkten BnB_n und CnC_n Eckpunkte von Parallelogrammen AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n. Die Punkte BnB_n liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu f2f_2, ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse xx der Punkte AnA_n.

    Zeichnen Sie das Parallelogramm A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 für x=1,5x=-1{,}5 und das Parallelogramm A2B2C2D2A_2B_2C_2D_2 für x=4x=4 in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

  4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt AA der Parallelogramme AnBnCnDnA_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: (3 P)

    A(x)=[12log3(x2+13x+42)24]  FEA(x)=[12 \cdot \log_3(x^2+13x+42)-24]\;\text{FE}.

  5. Im Parallelogramm A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3 liegt der Punkt D3D_3 auf der xx-Achse.

    Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms A3B3C3D3A_3B_3C_3D_3. (3 P)

    FE
  6. Das Parallelogramm A4B4C4D4A_4B_4C_4D_4 hat einen Flächeninhalt von 16  FE16\;\text{FE}.

    Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes B4B_4. (4 P)