Die Gleichung der (senkrechten) Asymptoten ist $h: x=-7$.

Spiegelung an der $x$-Achse:

$f_{gy}(x) = -f_1(x)$

$f_{gy}(x)=-(3\cdot \log_3(x+7)-4)$

$f_{gy}(x)=-3\cdot\log_3(x+7)+4$

Mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$ verschieben:

$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x \\ -3\cdot\log_3(x+7)+4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$

$1: x'=x+1$

$2:y'=-3\cdot\log_3(x+7)+4-2$

Gleichung $1$ umformen:

$x'=x+1 |-1$

$x=x'-1$

in Gleichung $2$ einsetzen:

$y'=-3\cdot\log_3(x'-1+7)+4-2$

$y'=-3\cdot\log_3(x'+6)+2$

$f_2:y=-3\cdot\log_3(x+6)+2$

Berechnung der Punkte:

$x=-1{,}5$

$A_1(-1{,}5|-3\cdot \log_3(-1{,}5+6)+2)\;\Rightarrow\;A_1(-1{,}5|-2{,}11)$

$D_1(-1{,}5|3\cdot \log_3(-1{,}5+7)-4)\;\Rightarrow\;D_1(-1{,}5|0{,}66)$

Für $B_1$ ist die Abszisse um $4$ größer$\;\Rightarrow\;x=-1{,}5+4=2{,}5$

$B_1(2{,}5|-3\cdot \log_3(2{,}5+6)+2)\;\Rightarrow\;B_1(2{,}5|-3{,}84)$

$\overrightarrow{C_1}=\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{A_1D_1}$

$\overrightarrow{C_1}=\begin{pmatrix}2{,}5\\-3{,}84\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}66\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1{,}5\\-2{,}11\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2{,}5\\-1{,}07\end{pmatrix}$

$C_1(2{,}5|-1{,}07)$

$x=4$

$A_2(4|-3\cdot \log_3(4+6)+2)\;\Rightarrow\;A_2(4|-4{,}29)$

$D_2(4|3\cdot \log_3(4+7)-4)\;\Rightarrow\;D_2(4|2{,}55)$

Für $B_2$ ist die Abszisse um $4$ größer$\;\Rightarrow\;x=4+4=8$

$B_2(8|-3\cdot \log_3(8+6)+2)\;\Rightarrow\;B_2(8|-5{,}21)$

$\overrightarrow{C_2}=\overrightarrow{B_2}+\overrightarrow{A_2D_2}$

$\overrightarrow{C_2}=\begin{pmatrix}8\\-5{,}21\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}4\\2{,}55\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-4{,}29\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}8\\1{,}63\end{pmatrix}$

$C_2(8|1{,}63)$

$A_{\text{Parallelogramm}}=a\cdot h$

$a = D_{yn} - A_{yn}$

$a=3\cdot\log_3​(x+7)−4-(−3\cdot\log_3​(x+6)+2)$

$a = 3\cdot\log_3​(x+7)−4 + 3\cdot\log_3​(x+6)-2$

$a = 3\cdot(\log_3​(x+7) + \log_3​(x+6))-6$

Logarithmusumformung!

$a = 3\cdot\log_3​((x+7)\cdot(x+6))-6$

$a = 3\cdot\log_3​(x^2+6x+7x+42)-6$

$a = 3\cdot\log_3​(x^2+13x+42)-6$

Da das Parallelogramm eine Höhe von $4$ hat, muss der Term noch mit $4$ multipliziert werden.

$A_{\text{Parallelogramm}}(x)=( 3\cdot\log_3​(x^2+13x+42)-6)\cdot4$

$A_{\text{Parallelogramm}}(x)=\left[12\cdot\log_3​(x^2+13x+42)-24\right]\;\text{FE}$

$D_3\left(3^{\left(\frac{4}{3}\right)}-7|0\right)\Rightarrow\;D_3(-2{,}67|0)$

Berechnung des Flächeninhaltes $A$:

Setze $x=-2{,}67$ in $A(x)=\left[12\cdot\log_3​(x^2+13x+42)-24\right]\;\text{FE}$ ein.

$A_{{A_3B_3C_3D_3}}=\left[12\cdot\log_3​((-2{,}67)^2+13\cdot (-2{,}67)+42)-24\right]= 5{,}15 \;\text{FE}$

Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Setze $A(x)= 16$.

Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Es ist $x_1 =-12{,}76$ und $x_2=-0{,}24$

Da $x>-3{,}46$ vorgeben ist, entfällt $x_1\;\Rightarrow\;\mathbb{L}=\{-0{,}24\}$

Der x-Wert für den Punkt $B$ ist um $4$ höher.

$=> x_B=-0{,}24+4=3{,}76$

Einsetzen in $f_2(x):$

$=> B(3{,}76|-4{,}22)$

Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.