Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4$ ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 4; 9]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 4 \leq x \leq 9$ ; $- 6 \leq y \leq 4$

Die Gleichung der (senkrechten) Asymptoten ist $h : x = - 7$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt:
$y = - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 4; 9]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)

Spiegelung an der $x$ -Achse:
$f_{g y} (x) = - f_{1} (x)$
$f_{g y} (x) = - (3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4)$
$f_{g y} (x) = - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4$
Mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$ verschieben:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$
$1 : x^{'} = x + 1$
$2 : y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4 - 2$
Gleichung $1$ umformen:
$x^{'} = x + 1 | - 1$
$x = x^{'} - 1$
in Gleichung $2$ einsetzen:
$y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x^{'} - 1 + 7) + 4 - 2$
$y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x^{'} + 6) + 2$
$f_{2} : y = - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Punkte $A_{n} (x | - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ und Punkte $D_{n} (x | 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x > - 3,46$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Punkte $B_{n}$ liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu $f_{2}$ , ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Zeichnen Sie das Parallelogramm $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1,5$ und das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

Berechnung der Punkte:
$x = - 1,5$
$A_{1} (- 1,5 | - 3 \cdot \log_{3} (- 1,5 + 6) + 2) \Rightarrow A_{1} (- 1,5 | - 2,11)$
$D_{1} (- 1,5 | 3 \cdot \log_{3} (- 1,5 + 7) - 4) \Rightarrow D_{1} (- 1,5 | 0,66)$
Für $B_{1}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\Rightarrow x = - 1,5 + 4 = 2,5$
$B_{1} (2,5 | - 3 \cdot \log_{3} (2,5 + 6) + 2) \Rightarrow B_{1} (2,5 | - 3,84)$
$\vec{C_{1}} = \vec{B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$
$\vec{C_{1}} = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 3,84 \end{array}) + ((\begin{array}{c} - 1,5 \\ 0,66 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1,5 \\ - 2,11 \end{array})) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 1,07 \end{array})$
$C_{1} (2,5 | - 1,07)$
$x = 4$
$A_{2} (4 | - 3 \cdot \log_{3} (4 + 6) + 2) \Rightarrow A_{2} (4 | - 4,29)$
$D_{2} (4 | 3 \cdot \log_{3} (4 + 7) - 4) \Rightarrow D_{2} (4 | 2,55)$
Für $B_{2}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\Rightarrow x = 4 + 4 = 8$
$B_{2} (8 | - 3 \cdot \log_{3} (8 + 6) + 2) \Rightarrow B_{2} (8 | - 5,21)$
$\vec{C_{2}} = \vec{B_{2}} + \vec{A_{2} D_{2}}$
$\vec{C_{2}} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5,21 \end{array}) + ((\begin{array}{c} 4 \\ 2,55 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 4,29 \end{array})) = (\begin{array}{c} 8 \\ 1,63 \end{array})$
$C_{2} (8 | 1,63)$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: (3 P)
$A (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$ .

$A_{Parallelogramm} = a \cdot h$
$a = D_{y n} - A_{y n}$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4 - (- 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2)$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4 + 3 \cdot \log_{3} (x + 6) - 2$
$a = 3 \cdot (\log_{3} (x + 7) + \log_{3} (x + 6)) - 6$
Logarithmusumformung!
$a = 3 \cdot \log_{3} ((x + 7) \cdot (x + 6)) - 6$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 6 x + 7 x + 42) - 6$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 6$
Da das Parallelogramm eine Höhe von $4$ hat, muss der Term noch mit $4$ multipliziert werden.
$A_{Parallelogramm} (x) = (3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 6) \cdot 4$
$A_{Parallelogramm} (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Einsetzen der Punkte $A_{y n}$ und $D_{y n}$ in die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms
Im Parallelogramm $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $D_{3}$ auf der $x$ -Achse.
Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ . (3 P)
FE

$f_{1} (x_{D_{3}})$ $=$ $0$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7) - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$ $=$ $4$ $: 3$
$\log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$ $=$ $\frac{4}{3}$
$x_{D_{3}} + 7$ $=$ $3^{(\frac{4}{3})}$ $- 7$
$x_{D_{3}}$ $=$ $3^{(\frac{4}{3})} - 7$
$D_{3} (3^{(\frac{4}{3})} - 7 | 0) \Rightarrow D_{3} (- 2,67 | 0)$
Berechnung des Flächeninhaltes $A$ :
Setze $x = - 2,67$ in $A (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$ ein.
$A_{A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}} = [12 \cdot \log_{3} ((- 2,67)^{2} + 13 \cdot (- 2,67) + 42) - 24] = 5,15 FE$
Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Da $D_{3}$ auf der x-Achse liegt, muss gelten: $f_{1} (x_{D_{3}}) = 0$ . Damit ergibt sich der x-Wert des Punktes von $D_{3}$ .
Das Parallelogramm $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ hat einen Flächeninhalt von $16 FE$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_{4}$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösung einer quadratischen Gleichung
Setze $A (x) = 16$ .
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24$ $=$ $16$ $+ 24$
↓
Löse nach $x$ auf.
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$ $=$ $40$ $: 12$
$\log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$ $=$ $\frac{40}{12}$ $3^{()}$
↓
Kürze $\frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ .
$x^{2} + 13 x + 42$ $=$ $3^{\frac{10}{3}}$ $- 3^{\frac{10}{3}}$
$x^{2} + 13 x + 42 - 3^{\frac{10}{3}}$ $=$ $0$
Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c = (42 - 3^{\frac{10}{3}})$ ein.
$=$ $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (42 - 3^{\frac{10}{3}})}}{2 \cdot 1}$
↓
Berechne die Wurzel.
$=$ $\frac{- 13 \pm 12,52}{2}$
Es ist $x_{1} = - 12,76$ und $x_{2} = - 0,24$
Da $x > - 3,46$ vorgeben ist, entfällt $x_{1} \Rightarrow 𝕃 = {- 0,24}$
Der x-Wert für den Punkt $B$ ist um $4$ höher.
$= > x_{B} = - 0,24 + 4 = 3,76$
Einsetzen in $f_{2} (x) :$
$- 3 \log_{3} (3,76 + 6) + 2$ $=$ $- 4,22$
$= > B (3,76 | - 4,22)$
Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$f_{1} (x_{D_{3}})$	$=$	$0$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7) - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$	$=$	$4$	$: 3$
$\log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$	$=$	$\frac{4}{3}$
$x_{D_{3}} + 7$	$=$	$3^{(\frac{4}{3})}$	$- 7$
$x_{D_{3}}$	$=$	$3^{(\frac{4}{3})} - 7$

$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24$	$=$	$16$	$+ 24$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$	$=$	$40$	$: 12$
$\log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$	$=$	$\frac{40}{12}$	$3^{()}$
	↓	Kürze $\frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ .
$x^{2} + 13 x + 42$	$=$	$3^{\frac{10}{3}}$	$- 3^{\frac{10}{3}}$
$x^{2} + 13 x + 42 - 3^{\frac{10}{3}}$	$=$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c = (42 - 3^{\frac{10}{3}})$ ein.
	$=$	$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (42 - 3^{\frac{10}{3}})}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 13 \pm 12,52}{2}$

Aufgabe B1

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?