Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y=3\cdot\log_3(x+7)-4$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-4\le x\le 9$ ; $-6\le y\le 4$

Die Gleichung der (senkrechten) Asymptoten ist $h : x = - 7$ .
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt:
$y=-3\cdot \log_3(x+6)+2$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-4;9]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)

Spiegelung an der $x$ -Achse:
$f_{gy}(x) = -f_1(x)$
$f_{gy}(x)=-(3\cdot \log_3(x+7)-4)$
$f_{gy}(x)=-3\cdot\log_3(x+7)+4$
Mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$ verschieben:
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x \\ -3\cdot\log_3(x+7)+4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$
$1 : x^{'} = x + 1$
$2:y'=-3\cdot\log_3(x+7)+4-2$
Gleichung $1$ umformen:
$x^{'} = x + 1 ∣ - 1$
$x = x^{'} - 1$
in Gleichung $2$ einsetzen:
$y'=-3\cdot\log_3(x'-1+7)+4-2$
$y'=-3\cdot\log_3(x'+6)+2$
$f_2:y=-3\cdot\log_3(x+6)+2$
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Punkte $A_n(x|-3\cdot \log_3(x+6)+2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ und Punkte $D_n(x|3\cdot \log_3(x+7)-4)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x > - 3,46$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Punkte $B_{n}$ liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu $f_{2}$ , ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Zeichnen Sie das Parallelogramm $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1,5$ und das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

Berechnung der Punkte:
$x = - 1,5$
$A_1(-1{,}5|-3\cdot \log_3(-1{,}5+6)+2)\;\Rightarrow\;A_1(-1{,}5|-2{,}11)$
$D_1(-1{,}5|3\cdot \log_3(-1{,}5+7)-4)\;\Rightarrow\;D_1(-1{,}5|0{,}66)$
Für $B_{1}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\;\Rightarrow\;x=-1{,}5+4=2{,}5$
$B_1(2{,}5|-3\cdot \log_3(2{,}5+6)+2)\;\Rightarrow\;B_1(2{,}5|-3{,}84)$
$\overrightarrow{C_1}=\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{A_1D_1}$
$\overrightarrow{C_1}=\begin{pmatrix}2{,}5\\-3{,}84\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}66\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1{,}5\\-2{,}11\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2{,}5\\-1{,}07\end{pmatrix}$
$C_1(2{,}5|-1{,}07)$
$x = 4$
$A_2(4|-3\cdot \log_3(4+6)+2)\;\Rightarrow\;A_2(4|-4{,}29)$
$D_2(4|3\cdot \log_3(4+7)-4)\;\Rightarrow\;D_2(4|2{,}55)$
Für $B_{2}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\;\Rightarrow\;x=4+4=8$
$B_2(8|-3\cdot \log_3(8+6)+2)\;\Rightarrow\;B_2(8|-5{,}21)$
$\overrightarrow{C_2}=\overrightarrow{B_2}+\overrightarrow{A_2D_2}$
$\overrightarrow{C_2}=\begin{pmatrix}8\\-5{,}21\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}4\\2{,}55\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-4{,}29\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}8\\1{,}63\end{pmatrix}$
$C_2(8|1{,}63)$
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: (3 P)
$A(x)=[12 \cdot \log_3(x^2+13x+42)-24]\;\text{FE}$ .

$A_{\text{Parallelogramm}}=a\cdot h$
$a = D_{yn} - A_{yn}$
$a=3\cdot\log_3(x+7)−4-(−3\cdot\log_3(x+6)+2)$
$a = 3\cdot\log_3(x+7)−4 + 3\cdot\log_3(x+6)-2$
$a = 3\cdot(\log_3(x+7) + \log_3(x+6))-6$
Logarithmusumformung!
$a = 3\cdot\log_3((x+7)\cdot(x+6))-6$
$a = 3\cdot\log_3(x^2+6x+7x+42)-6$
$a = 3\cdot\log_3(x^2+13x+42)-6$
Da das Parallelogramm eine Höhe von $4$ hat, muss der Term noch mit $4$ multipliziert werden.
$A_{\text{Parallelogramm}}(x)=( 3\cdot\log_3(x^2+13x+42)-6)\cdot4$
$A_{\text{Parallelogramm}}(x)=\left[12\cdot\log_3(x^2+13x+42)-24\right]\;\text{FE}$
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Einsetzen der Punkte $A_{yn}$ und $D_{yn}$ in die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms

Im Parallelogramm $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $D_{3}$ auf der $x$ -Achse.

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ . (3 P)

Das Parallelogramm $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ hat einen Flächeninhalt von $16\;\text{FE}$ .

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_{4}$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösung einer quadratischen Gleichung

Setze $A (x) = 16$ .

$\displaystyle 12\cdot\log_3(x^2+13x+42)-24$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle +24$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 12\cdot\log_3(x^2+13x+42)$	$=$	$\displaystyle 40$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle \log_3(x^2+13x+42)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{40}{12}$	$\displaystyle 3^{()}$
	↓	Kürze $\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$ .
$\displaystyle x^2+13x+42$	$=$	$\displaystyle 3^{\frac{10}{3}}$	$\displaystyle -3^{\frac{10}{3}}$
$\displaystyle x^2+13x+42-3^{\frac{10}{3}}$	$=$	$\displaystyle 0$

Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c=(42-3^{\frac{10}{3}})$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-13\pm\sqrt{13^2-4\cdot 1\cdot(42-3^{\frac{10}{3}})}}{2\cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-13\pm12{,}52}{2}$

Es ist $x_1 =-12{,}76$ und $x_2=-0{,}24$

Da $x > - 3,46$ vorgeben ist, entfällt $x_1\;\Rightarrow\;\mathbb{L}=\{-0{,}24\}$

Der x-Wert für den Punkt $B$ ist um $4$ höher.

$=> x_B=-0{,}24+4=3{,}76$

Einsetzen in $f_{2} (x) :$

\displaystyle −3\log_3(3{,}76+6)+2

=

\displaystyle -4{,}22

$= > B (3,76 ∣ - 4,22)$

Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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Aufgabe B2

Die Diagonalen $[A C]$ und $[B D]$ des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Spitze $S$ und der Höhe $[M S]$ .

Es gilt: $\overline{AC}=11$ cm; $\overline{AM}=4{,}5$ cm; $\overline{BD}=10$ cm; $\overline{MS}=9$ cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega=45°$ .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $M S C$ . [Ergebnis: $\sphericalangle MSC=35{,}84°$ ] (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Skizze erstellen und Maße eintragen
$[A C]$ und $[B D]$ zeichnen. Beachte den Winkel von $45^\circ$ für $[B D]$ und für die Länge gilt:
$10 \text{ cm } \cdot\frac{1}{2} = 5 \text{ cm, da }$ $q=\dfrac{1}{2}$
Als Nächstes zeichnest Du die Strecke $[M S]$ mit $9\;\text{cm}$ senkrecht über dem Punkt $M$ ein.
Jetzt noch alle Punkte verbinden und Du hast den 1. Teil fast geschafft.
Für die Berechnung des Winkels nimmst du den Tangens: siehe hier
$\tan (\alpha) = \dfrac{6{,}5}{9}\\[2ex] \alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{6{,}5}{9}\right)= 35{,}83^\circ$
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Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[C S] .$ Die Winkel $P_{n} M S$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in ]0°;90°]$ . Die Punkte $P_{n}$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte von Dreiecken $B D P_{n}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[M P_{1}]$ sowie das Dreieck $B D P_{1}$ für $\varphi=30°$ in das Schrägbild zu 2a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[M P_{n}]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}27}{\sin(\varphi+35{,}84°)}$ cm. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
$\text{ gegeben: }\\[3pt] \overline{MS}= \text{ 9 cm }\\[3pt] \sphericalangle MSC= \text{ 35{,}84° }\\[3pt] \text{ zu zeigen: }\\[3pt] \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{5{,}27}{\sin(φ+35{,}84°)}\\[5pt] \text{Sinussatz:}\\[3pt] \dfrac{\overline{MP_n}}{\sin(\sphericalangle MSC)} = \dfrac{\overline{MS}}{\sin(\sphericalangle SPM)}\text{ }\\[5pt] \dfrac{\overline{MP_n}}{\sin(35{,}84°)} = \dfrac{\text{9 cm}}{\sin(180°-(φ+35{,}84°))} \qquad \vert \cdot \sin(35{,}84°)\\[5pt] \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{\text{9 cm}\cdot {\sin(35{,}84°)}}{\sin(180°-(φ+35{,}84°))}\\[5pt] \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{5{,}27}{\sin(180°-(φ+35{,}84°))}\\[5pt] \text{ Supplementärwinkel: }{\sin(180°-(φ+35{,}84°))}={\sin(φ+35{,}84°)}\\[5pt]\\ \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{5{,}27}{\sin(φ+35{,}84°)}\\[5pt]$
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Das Dreieck $B D P_{2}$ ist gleichseitig.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (3 P)

Die Pyramiden $B D S P_{n}$ haben die Grundfläche $B D S$ und die Spitzen $P_{n}$ . Die Höhenfußpunkte $F_{n}$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M S]$ .

Zeichnen Sie die Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild zu $2 a)$ ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .

[Zwischenergebnis: $\overline{F_nP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84°)}$ ] cm (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Einzeichnen der Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild

Die Pyramiden $B D S P_{n}$ haben die Grundfläche $B D S$ (grün) und die Spitzen $P_{n}$ .

Zur Veranschaulichung wird die eingezeichnete Pyramide farblich gekennzeichnet.

Berechnung des Volumens $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ , dabei ist $G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{MS}$ und die Pyramidenhöhe $h=\overline{F_nP_n}$ .

Also ist $V_{BDSP_n}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{MS} \cdot \overline{F_nP_n}$ .

Im rechtwinkligen Dreieck $M P_{N} F_{N}$ gilt:

$\sin\varphi=\dfrac{\overline{F_nP_n}}{\overline{MP_n}}\;\Rightarrow\;\overline{F_nP_n}=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi$

Mit dem Ergebnis $\overline{MP_n}(\varphi)$ aus Aufgabe b) (B 2.2) folgt dann:

$\overline{F_nP_n}(\varphi)=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi=\dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}\;\text{cm}$

Damit kann dann das Pyramidenvolumen berechnet werden.

$\displaystyle V_{BDSP_n}(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{MS} \cdot \overline{F_nP_n}$
	↓	Setze $\overline{BD}=10\;\text{cm}$ , $\overline{MS}=9\;\text{cm}$ und $\overline{F_nP_n}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot9 \cdot \dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}\;\text{cm}^3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{79{,}05\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}\;\text{cm}^3 \hspace{15 mm}\varphi\in ]0^\circ;90^\circ]$

Das Pyramidenvolumen ist:

\displaystyle V_{BDSP_n}(\varphi)=\dfrac{79{,}05\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}\;\text{cm}^3

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Die Pyramiden $A B D S$ und $B D S P_{3}$ haben das gleiche Volumen.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Die Pyramiden $A B D S$ und $B D S P_{3}$ haben das gleiche Volumen.

$V_{ABDS }=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$ .

Die Grundfläche ist das Dreieck $A B D$ .

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{AM}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4{,}5=22{,}5\;\text{cm}^2$

Die Höhe der Pyramide $A B D S$ ist $\overline{MS}=9\;\text{cm}$ .

$\Rightarrow\; V_{ABDS }=\dfrac{1}{3}\cdot 22{,}5 \cdot 9=67{,}5\;\text{cm}^3$

Entsprechend wird das Volumen der Pyramide $B D S P_{3}$ berechnet.

Die Grundfläche ist das Dreieck $B D S$ .

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{MS}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 9=45\;\text{cm}^2$

Die Höhe der Pyramide $B D S P_{3}$ ist $\overline{F_3P_3}$ .

$\Rightarrow\; V_{BDSP_3}=\dfrac{1}{3}\cdot 45 \cdot \overline{F_3P_3}\;\text{cm}^3$

Setze $V_{ABDS }=V_{BDSP_3 }$ , um $\overline{F_3P_3}$ zu berechnen:

$\displaystyle 67{,}5$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 45 \cdot \overline{F_3P_3}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 67{,}5$	$=$	$\displaystyle 45 \cdot \overline{F_3P_3}$	$\displaystyle :45$
$\displaystyle \dfrac{67{,}5}{45}$	$=$	$\displaystyle \overline{F_3P_3}$
$\displaystyle 4{,}5$	$=$	$\displaystyle \overline{F_3P_3}$

Die Höhe der Pyramide $B D S P_{3}$ muss $4{,}5 \;\text{cm}$ betragen, damit die Pyramiden das gleiche Volumen haben.

Setze $\overline{F_3P_3}=4{,}5$ (für $\overline{F_3P_3}$ siehe Aufgabe d) (B 2.4))

Es ist $\varphi \in ]0^\circ; 90^\circ]$ .

$\displaystyle \dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$	$\displaystyle \cdot \sin(\varphi+35{,}84^\circ)$
	↓	Bringe den Nenner auf die andere Seite.
$\displaystyle 5{,}27\cdot \sin\varphi$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot \sin(\varphi+35{,}84^\circ)$
	↓	Verwende das Additionstheorem für den Sinus.
$\displaystyle 5{,}27\cdot \sin\varphi$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot(\sin\varphi\cdot \cos 35{,}84^\circ+\sin35{,}84^\circ\cdot \cos\varphi)$
	↓	Ersetze $\cos\varphi$ durch $\dfrac{\sin\varphi }{\tan\varphi}.$
$\displaystyle 5{,}27\cdot \sin\varphi$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot\left(\sin\varphi\cdot \cos 35{,}84^\circ+\sin35{,}84^\circ\cdot \dfrac{\sin\varphi }{\tan\varphi}\right)$
	↓	Klammere $\sin\varphi$ aus.
$\displaystyle 5{,}27\cdot \sin\varphi$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot\sin\varphi\cdot\left( \cos 35{,}84^\circ+\dfrac{\sin35{,}84^\circ}{\tan\varphi}\right)$	$\displaystyle :\sin\varphi$
	↓	Wegen $\varphi \in ]0^\circ; 90^\circ]$ ist $\sin\varphi\neq 0$ .
$\displaystyle 5{,}27$	$=$	$\displaystyle 4{,}5\cdot\left( \cos 35{,}84^\circ+\dfrac{\sin35{,}84^\circ}{\tan\varphi}\right)$	$\displaystyle :4{,}5$
$\displaystyle \dfrac{5{,}27}{4{,}5}$	$=$	$\displaystyle \cos 35{,}84^\circ+\dfrac{\sin35{,}84^\circ}{\tan\varphi}$	$\displaystyle -\cos 35{,}84^\circ$
$\displaystyle \dfrac{5{,}27}{4{,}5}-\cos 35{,}84^\circ$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sin35{,}84^\circ}{\tan\varphi}$
	↓	Bilde den Kehrwert.
$\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{5{,}27}{4{,}5}-\cos 35{,}84^\circ}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\tan\varphi}{\sin35{,}84^\circ}$	$\displaystyle \cdot \sin35{,}84^\circ$
	↓	Löse nach $\tan\varphi$ auf.
$\displaystyle \dfrac{\sin35{,}84^\circ}{\dfrac{5{,}27}{4{,}5}-\cos 35{,}84^\circ}$	$=$	$\displaystyle \tan\varphi$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 1{,}6244$	$\approx ≈$	$\displaystyle \tan\varphi$

Den Winkel $\varphi$ berechnet man mit der Umkehrfunktion:

$\varphi=\tan^{-1}(1{,}6244)=58{,}38^\circ$

$\mathbb{L}=\{58{,}38^\circ\}$

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$\displaystyle f_1\left(x_{D_3}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 3\cdot\log_3\left(x_{D_3}+7\right)-4\$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 3\cdot\log_3\left(x_{D_3}+7\right)$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \log_3\left(x_{D_3}+7\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
$\displaystyle x_{D_3}+7$	$=$	$\displaystyle 3^{\left(\frac{4}{3}\right)}$	$\displaystyle -7$
$\displaystyle x_{D_3}$	$=$	$\displaystyle 3^{\left(\frac{4}{3}\right)}-7$

$\displaystyle \dfrac{10}{2}\sqrt{3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5{,}27}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}$	$\displaystyle \cdot \sin(\varphi+35{,}84^\circ)$
	↓	Löse nach $\sin(\varphi+35{,}84^\circ)$ auf.
$\displaystyle \dfrac{10}{2}\sqrt{3}\cdot \sin(\varphi+35{,}84^\circ)$	$=$	$\displaystyle 5{,}27$	$\displaystyle : (5\cdot\sqrt{3})$
$\displaystyle \sin(\varphi+35{,}84^\circ)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5{,}27}{5\cdot\sqrt{3}}$

$\displaystyle \varphi+35{,}84^\circ$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\dfrac{5{,}27}{5\cdot\sqrt{3}}\right)$	$\displaystyle -35{,}84^\circ$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\dfrac{5{,}27}{5\cdot\sqrt{3}}\right)-35{,}84^\circ$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 37{,}48^\circ-35{,}84^\circ$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 1{,}64^\circ$

Teil B

Aufgabe B1

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Aufgabe B2

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Einzeichnen der Höhe [F1P1][F_1P_1][F1​P1​] in das Schrägbild

Berechnung des Volumens V VVder Pyramiden BDSPnBDSP_nBDSPn​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ

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Einzeichnen der Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild

Berechnung des Volumens $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$