Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B2

Die Diagonalen $[A C]$ und $[B D]$ des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Spitze $S$ und der Höhe $[M S]$ .

Es gilt: $A C = 11$ cm; $A M = 4,5$ cm; $B D = 10$ cm; $M S = 9$ cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ und $ω = 45 °$ .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $M S C$ . [Ergebnis: $∢ M S C = 35,84 °$ ] (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Skizze erstellen und Maße eintragen
$[A C]$ und $[B D]$ zeichnen. Beachte den Winkel von $45^{\circ}$ für $[B D]$ und für die Länge gilt:
$10 cm \cdot \frac{1}{2} = 5 cm, da$ $q = \frac{1}{2}$
Als Nächstes zeichnest Du die Strecke $[M S]$ mit $9 cm$ senkrecht über dem Punkt $M$ ein.
Jetzt noch alle Punkte verbinden und Du hast den 1. Teil fast geschafft.
Für die Berechnung des Winkels nimmst du den Tangens: siehe hier
$\begin{array}{l} \tan (α) = \frac{6,5}{9} \\ α = \tan^{- 1} (\frac{6,5}{9}) = {35,83}^{\circ} \end{array}$
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Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[C S] .$ Die Winkel $P_{n} M S$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0 °; 90 °]$ . Die Punkte $P_{n}$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte von Dreiecken $B D P_{n}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[M P_{1}]$ sowie das Dreieck $B D P_{1}$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild zu 2a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[M P_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + 35,84 °)}$ cm. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
$\begin{array}{l} gegeben: \\ M S = 9 cm \\ ∢ M S C = 35,84° \\ zu zeigen: \\ M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + 35,84 °)} \\ Sinussatz: \\ \frac{M P_{n}}{\sin (∢ M S C)} = \frac{M S}{\sin (∢ S P M)} \\ \frac{M P_{n}}{\sin (35,84 °)} = \frac{9 cm}{\sin (180 ° - (φ + 35,84 °))} | \cdot \sin (35,84 °) \\ M P_{n} (φ) = \frac{9 cm \cdot \sin (35,84 °)}{\sin (180 ° - (φ + 35,84 °))} \\ M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (180 ° - (φ + 35,84 °))} \\ Supplementärwinkel: \sin (180 ° - (φ + 35,84 °)) = \sin (φ + 35,84 °) \\ M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + 35,84 °)} \end{array}$
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Das Dreieck $B D P_{2}$ ist gleichseitig.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3 P)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck gleichseitig
Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck $B D P_{2}$ gilt:
$h = \frac{B D}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{10}{2} \sqrt{3} cm$
Aus b) (B 2.2) gilt:
$M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$
mit $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$
Setze $h = M P_{n}$ :
$\frac{10}{2} \sqrt{3}$ $=$ $\frac{5,27}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$ $\cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
↓
Löse nach $\sin (φ + {35,84}^{\circ})$ auf.
$\frac{10}{2} \sqrt{3} \cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$ $=$ $5,27$ $: (5 \cdot \sqrt{3})$
$\sin (φ + {35,84}^{\circ})$ $=$ $\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}$
Berechne den Winkel mit der Umkehrfunktion:
$φ + {35,84}^{\circ}$ $=$ $\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}})$ $- {35,84}^{\circ}$
$φ$ $=$ $\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}) - {35,84}^{\circ}$
$φ$ $=$ ${37,48}^{\circ} - {35,84}^{\circ}$
$φ$ $=$ ${1,64}^{\circ}$
$𝕃 = {{1,64}^{\circ}}$
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Die Pyramiden $B D S P_{n}$ haben die Grundfläche $B D S$ und die Spitzen $P_{n}$ . Die Höhenfußpunkte $F_{n}$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M S]$ .

Zeichnen Sie die Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild zu $2 a)$ ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .

[Zwischenergebnis: $F_{n} P_{n} (φ) = \frac{5,27 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 35,84 °)}$ ] cm (3 P)

Die Pyramiden $A B D S$ und $B D S P_{3}$ haben das gleiche Volumen.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3 P)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$V_{B D S P_{n}} (φ)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot B D \cdot M S \cdot F_{n} P_{n}$
	↓	Setze $B D = 10 cm$ , $M S = 9 cm$ und $F_{n} P_{n}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 \cdot \frac{5,27 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})} {cm}^{3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{79,05 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})} {cm}^{3} φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$

$67,5$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 45 \cdot F_{3} P_{3}$
	↓	Vereinfache.
$67,5$	$=$	$45 \cdot F_{3} P_{3}$	$: 45$
$\frac{67,5}{45}$	$=$	$F_{3} P_{3}$
$4,5$	$=$	$F_{3} P_{3}$

$\frac{5,27 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$	$=$	$4,5$	$\cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
	↓	Bringe den Nenner auf die andere Seite.
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
	↓	Verwende das Additionstheorem für den Sinus.
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot (\sin φ \cdot \cos {35,84}^{\circ} + \sin {35,84}^{\circ} \cdot \cos φ)$
	↓	Ersetze $\cos φ$ durch $\frac{\sin φ}{\tan φ} .$
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot (\sin φ \cdot \cos {35,84}^{\circ} + \sin {35,84}^{\circ} \cdot \frac{\sin φ}{\tan φ})$
	↓	Klammere $\sin φ$ aus.
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot \sin φ \cdot (\cos {35,84}^{\circ} + \frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ})$	$: \sin φ$
	↓	Wegen $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$ ist $\sin φ \neq 0$ .
$5,27$	$=$	$4,5 \cdot (\cos {35,84}^{\circ} + \frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ})$	$: 4,5$
$\frac{5,27}{4,5}$	$=$	$\cos {35,84}^{\circ} + \frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ}$	$- \cos {35,84}^{\circ}$
$\frac{5,27}{4,5} - \cos {35,84}^{\circ}$	$=$	$\frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ}$
	↓	Bilde den Kehrwert.
$\frac{1}{\frac{5,27}{4,5} - \cos {35,84}^{\circ}}$	$=$	$\frac{\tan φ}{\sin {35,84}^{\circ}}$	$\cdot \sin {35,84}^{\circ}$
	↓	Löse nach $\tan φ$ auf.
$\frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\frac{5,27}{4,5} - \cos {35,84}^{\circ}}$	$=$	$\tan φ$
	↓	Vereinfache.
$1,6244$	$\approx$	$\tan φ$

Aufgabe B2

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Einzeichnen der Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild

Berechnung des Volumens $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$

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$\frac{10}{2} \sqrt{3}$	$=$	$\frac{5,27}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$	$\cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
	↓	Löse nach $\sin (φ + {35,84}^{\circ})$ auf.
$\frac{10}{2} \sqrt{3} \cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$	$=$	$5,27$	$: (5 \cdot \sqrt{3})$
$\sin (φ + {35,84}^{\circ})$	$=$	$\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}$

$φ + {35,84}^{\circ}$	$=$	$\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}})$	$- {35,84}^{\circ}$
$φ$	$=$	$\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}) - {35,84}^{\circ}$
$φ$	$=$	${37,48}^{\circ} - {35,84}^{\circ}$
$φ$	$=$	${1,64}^{\circ}$

Aufgabe B2

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Einzeichnen der Höhe [F1P1] in das Schrägbild

Berechnung des Volumens Vder Pyramiden BDSPn in Abhängigkeit von φ

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Einzeichnen der Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild

Berechnung des Volumens $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$