1. Skizze erstellen und Maße eintragen

1. $[AC]$ und $[BD]$ zeichnen. Beachte den Winkel von $45^\circ$ für $[BD]$ und für die Länge gilt:

2. $10 \text{ cm } \cdot\frac{1}{2} = 5 \text{ cm, da }$ $q=\dfrac{1}{2}$

Als Nächstes zeichnest Du die Strecke $[MS]$ mit $9\;\text{cm}$ senkrecht über dem Punkt $M$ ein.

Jetzt noch alle Punkte verbinden und Du hast den 1. Teil fast geschafft.

Für die Berechnung des Winkels nimmst du den Tangens: siehe hier

$\tan (\alpha) = \dfrac{6{,}5}{9}\\[2ex] \alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{6{,}5}{9}\right)= 35{,}83^\circ$

$\text{ gegeben: }\\[3pt] \overline{MS}= \text{ 9 cm }\\[3pt] \sphericalangle MSC= \text{ 35{,}84° }\\[3pt] \text{ zu zeigen: }\\[3pt] \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{5{,}27}{\sin(φ+35{,}84°)}\\[5pt] \text{Sinussatz:}\\[3pt] \dfrac{\overline{MP_n}}{\sin(\sphericalangle MSC)} = \dfrac{\overline{MS}}{\sin(\sphericalangle SPM)}\text{ }\\[5pt] \dfrac{\overline{MP_n}}{\sin(35{,}84°)} = \dfrac{\text{9 cm}}{\sin(180°-(φ+35{,}84°))} \qquad \vert \cdot \sin(35{,}84°)\\[5pt] \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{\text{9 cm}\cdot {\sin(35{,}84°)}}{\sin(180°-(φ+35{,}84°))}\\[5pt] \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{5{,}27}{\sin(180°-(φ+35{,}84°))}\\[5pt] \text{ Supplementärwinkel: }{\sin(180°-(φ+35{,}84°))}={\sin(φ+35{,}84°)}\\[5pt]\\ \overline{MP_n}(φ) = \dfrac{5{,}27}{\sin(φ+35{,}84°)}\\[5pt]$

Berechne den Winkel mit der Umkehrfunktion:

$\mathbb{L}=\{1{,}64^\circ \}$

Einzeichnen der Höhe $[F_1P_1]$ in das Schrägbild

Die Pyramiden $BDSP_n$ haben die Grundfläche $BDS$ (grün) und die Spitzen $P_n$.

Zur Veranschaulichung wird die eingezeichnete Pyramide farblich gekennzeichnet.

Berechnung des Volumens $V$der Pyramiden $BDSP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$, dabei ist $G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{MS}$ und die Pyramidenhöhe $h=\overline{F_nP_n}$.

Also ist $V_{BDSP_n}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot\overline{MS} \cdot \overline{F_nP_n}$.

Im rechtwinkligen Dreieck $MP_NF_N$ gilt:

$\sin\varphi=\dfrac{\overline{F_nP_n}}{\overline{MP_n}}\;\Rightarrow\;\overline{F_nP_n}=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi$

Mit dem Ergebnis $\overline{MP_n}(\varphi)$ aus Aufgabe b) (B 2.2) folgt dann:

$\overline{F_nP_n}(\varphi)=\overline{MP_n}\cdot \sin\varphi=\dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84^\circ)}\;\text{cm}$

Damit kann dann das Pyramidenvolumen berechnet werden.

Das Pyramidenvolumen ist:

.

Die Pyramiden $ABDS$ und $BDSP_3$ haben das gleiche Volumen.

$V_{ABDS }=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$.

Die Grundfläche ist das Dreieck $ABD$.

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{AM}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4{,}5=22{,}5\;\text{cm}^2$

Die Höhe der Pyramide $ABDS$ ist $\overline{MS}=9\;\text{cm}$.

$\Rightarrow\; V_{ABDS }=\dfrac{1}{3}\cdot 22{,}5 \cdot 9=67{,}5\;\text{cm}^3$

Entsprechend wird das Volumen der Pyramide $BDSP_3$ berechnet.

Die Grundfläche ist das Dreieck $BDS$.

$G=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{MS}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 9=45\;\text{cm}^2$

Die Höhe der Pyramide $BDSP_3$ ist $\overline{F_3P_3}$.

$\Rightarrow\; V_{BDSP_3}=\dfrac{1}{3}\cdot 45 \cdot \overline{F_3P_3}\;\text{cm}^3$

Setze $V_{ABDS }=V_{BDSP_3 }$, um $\overline{F_3P_3}$ zu berechnen:

Die Höhe der Pyramide $BDSP_3$ muss $4{,}5 \;\text{cm}$ betragen, damit die Pyramiden das gleiche Volumen haben.

Setze $\overline{F_3P_3}=4{,}5$ (für $\overline{F_3P_3}$ siehe Aufgabe d) (B 2.4))

Es ist $\varphi \in ]0^\circ; 90^\circ]$.

Den Winkel $\varphi$ berechnet man mit der Umkehrfunktion:

$\varphi=\tan^{-1}(1{,}6244)=58{,}38^\circ$

$\mathbb{L}=\{58{,}38^\circ\}$