Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

In zwei Stromkreisen wird je eine Spule von Gleichstrom durchflossen. Wenn ein Stromkreis geöffnet wird, klingt die entsprechende Stromstärke exponentiell ab. Der Zusammenhang zwischen der Zeit $x$ s nach dem Öffnen des Stromkreises und der Stromstärke $y$ mA kann bei Spulen näherungsweise durch eine Funktion mit einer Gleichung der Form $y=y_0\cdot k^x$ beschrieben werden, wobei $y_0$ mA die Stromstärke für $x=0$ darstellt. (⁣ $\mathbb{G}=\mathbb{R_0^+\times \mathbb{R_0^+}}$ ; $y_0\in \mathbb{R_0^+}$ ; $k\in\mathbb{R^+}$ ).

Für die erste Spule ergeben sich folgende Werte:

Zeigen Sie rechnerisch, dass für diese Spule auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt: $k=0{,}22$ . Geben Sie sodann die zugehörige Funktionsgleichung an.

(2P)

Um wie viel Prozent verringert sich die Stromstärke bei der Spule aus 1a) pro Sekunde?
Die Stromstärke verringert sich pro Sekunde um ______ $\%$
(1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum (bzw. exponentieller Zerfall)
Bei der gegebenen Spule ist $k=0{,}22$ , d.h. es handelt sich um exponentielle Abnahme.
Die Stromstärke verringert sich pro Sekunde um $p=1-0{,}22=0{,}78=78\;\%$ .
Hinweis: Die Berechnung der prozentualen Abnahme kann auch mithilfe der Messwerte erfolgen.
Z. B. mit den Messwerten $2$ und $3$ : $p=\dfrac{218-48}{218}\approx 0{,}78=78\;\%$
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Für die zweite Spule gilt: $k=0{,}25.$ Bei dieser wird gleichzeitig mit der Spule aus 1a) der Stromkreis geöffnet. Nach $3$ s ergeben sich für beide Spulen die gleichen Stromstärken. Berechnen Sie die Stromstärke der zweiten Spule in dem Moment, in dem die Stromkreise geöffnet werden.

(2P)

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 4500\cdot k^x$
	↓	Setze $(2\|218)$ ein.
$\displaystyle 218$	$=$	$\displaystyle 4500\cdot k^2$	$\displaystyle :4500$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle \dfrac{218}{4500}$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle k_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{\dfrac{218}{4500}}$
	$≈$	$\displaystyle \pm 0{,}22$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle y_0\cdot 0{,}25^x$
	↓	Setze den Messwert $(3\|48)$ ein.
$\displaystyle 48$	$=$	$\displaystyle y_0\cdot 0{,}25^3$	$\displaystyle :0{,}25^3$
	↓	Löse nach $y_0$ auf.
$\displaystyle \dfrac{48}{0{,}25^3}$	$=$	$\displaystyle y_0$
$\displaystyle y_0$	$=$	$\displaystyle 3072$

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