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Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe A1

    In zwei Stromkreisen wird je eine Spule von Gleichstrom durchflossen. Wenn ein Stromkreis geöffnet wird, klingt die entsprechende Stromstärke exponentiell ab. Der Zusammenhang zwischen der Zeit xx s nach dem Öffnen des Stromkreises und der Stromstärke yy mA kann bei Spulen näherungsweise durch eine Funktion mit einer Gleichung der Form y=y0kxy=y_0\cdot k^x beschrieben werden, wobei y0 y_0 mA die Stromstärke für x=0x=0 darstellt. (⁣G=R0+×R0+\mathbb{G}=\mathbb{R_0^+\times \mathbb{R_0^+}}; y0R0+y_0\in \mathbb{R_0^+}; kR+k\in\mathbb{R^+}).

    1. Für die erste Spule ergeben sich folgende Werte:

      Stromstärke

      Zeigen Sie rechnerisch, dass für diese Spule auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt: k=0,22k=0{,}22. Geben Sie sodann die zugehörige Funktionsgleichung an. (2 P)

    2. Um wie viel Prozent verringert sich die Stromstärke bei der Spule aus 1a) pro Sekunde? Ergänzen Sie. (1 P)

    3. Für die zweite Spule gilt: k=0,25.k=0{,}25. Bei dieser wird gleichzeitig mit der Spule aus 1a) der Stromkreis geöffnet. Nach 33 s ergeben sich für beide Spulen die gleichen Stromstärken. Berechnen Sie die Stromstärke der zweiten Spule in dem Moment, in dem die Stromkreise geöffnet werden. (2 P)

  2. 2

    Aufgabe A2

    In der Zeichnung ist das Drachenviereck ABCD ABCD\ mit der Symmetrieachse ACAC dargestellt.

    Es gilt: AB=10\overline{AB}=10cm; BAD=50°\sphericalangle BAD=50°; CBA=110°\sphericalangle CBA=110°.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Drachenviereck
    1. Punkte EnE_n liegen auf der Strecke [AC][AC] und legen zusammen mit dem Punkt BB Strecken [BEn][BE_n] fest. Die Winkel EnBAE_nBA haben das Maß φ\varphi mit φ]0°;110°]\varphi\in]0°;110°]. Zeichnen Sie die Strecke [BE1][BE_1] für φ=15°\varphi=15° in die Zeichnung zu 2) ein und zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [BEn][BE_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      BEn(φ)=4,23sin(φ+25°)  cm\overline{BE_n}(\varphi)=\frac{4{,}23}{\sin(\varphi+25°)}\;\text{cm}. (3 P)

    2. Das Dreieck ABE2ABE_2 ist gleichschenklig mit der Basis [AB][AB]. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABE2.ABE_2. (2 P)

    3. Der Punkt E3E_3 ist der Mittelpunkt des Inkreises des Drachenvierecks ABCDABCD. Zeichnen Sie den Punkt E3E_3 sowie den Inkreis in die Zeichnung zu 2) ein und berechnen Sie den Radius rr des Inkreises. (4 P)

  3. 3

    Aufgabe A3

    Das Drachenviereck ABCD ABCD mit dem Diagonalenschnittpunkt MM ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS ABCDS mit der Höhe [MS][MS]. Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei [AC][AC] auf der Schrägbildachse liegt.

    Es gilt: AC=6\overline{AC}=6 cm; AM=4\overline{AM}=4 cm; BD=6\overline{BD}=6 cm; MS=5\overline{MS}=5 cm.

    Pyramide
    1. Der Punkt EE liegt auf der Halbgeraden [AC[AC mit AE=7,5\overline{AE}=7{,}5 cm. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [MS][MS]. Die Winkel MAPnMAP_n haben das Maß φ\varphi. Die Punkte PnP_n sind für φ]0;51,34]\varphi\in]0^\circ;51{,}34^\circ] die Spitzen von Pyramiden ABEDPnABEDP_n mit dem Drachenviereck ABEDABED als Grundfläche sowie den Höhen [MPn][MP_n].

      Zeichnen Sie die Pyramide ABEDP1ABEDP_1 für φ=30°\varphi=30° in das Schrägbild zu 3) ein. (2 P)

    2. Berechnen Sie das Volumen VV der Pyramiden ABEDPnABEDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi. (2 P)

      [Ergebnis: V(φ)=30tanφV(\varphi)=30\cdot\tan\varphi cm3cm^3].

    3. Das Volumen der Pyramide ABEDP2ABEDP_2 ist genau so groß wie das Volumen der Pyramide ABCDSABCDS. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi. (2 P)


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