Nachtermin Teil A

Gegeben ist $y=y_0\cdot k^x$.

Setze den ersten Messwert $(0|4500)$ ein.

$4500=y_0\cdot k^0\;\Rightarrow\;y_0=4500$

Die Funktionsgleichung lautet nun: $y=4500\cdot k^x$

Setze den zweiten Messwert $(2|218)$ ein.

Wegen $k\in\mathbb{R^+}$ entfällt die negative Lösung $\;\Rightarrow\;\mathbb{L}=\{0{,}22\}$

Es ist also $k=0{,}22$.

Die Funktionsgleichung lautet dann: $y=4500\cdot 0{,}22^x\;\;( \mathbb{G}=\mathbb{R_0^+\times \mathbb{R_0^+}})$

Hinweis: Verwendet man zur Bestimmung von $k$ den dritten oder vierten Messwert, so erhält man auch $k=0{,}22$.

Bei der gegebenen Spule ist $k=0{,}22$, d.h. es handelt sich um exponentielle Abnahme.

Die Stromstärke verringert sich pro Sekunde um $p=1-0{,}22=0{,}78=78\;\%$.

Hinweis: Die Berechnung der prozentualen Abnahme kann auch mithilfe der Messwerte erfolgen.

Z. B. mit den Messwerten $2$ und $3$: $p=\dfrac{218-48}{218}\approx 0{,}78=78\;\%$

Es ist jetzt $k=0{,}25$: $\;\Rightarrow\;y=y_0\cdot 0{,}25^x$

Bekannt ist, dass sich nach $3$ s für beide Spulen die gleichen Stromstärken ergeben. Der Messwert für die zweite Spule ist dann $(3|48)$.

Die Stromstärke der zweiten Spule in dem Moment, in dem die Stromkreise geöffnet werden, beträgt $3072\;\text{mA}.$

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[BE_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{BE_n}(\varphi)=\dfrac{4{,}23}{\sin(\varphi+25°)}\;\text{cm}$.

Dann folgt:

$\dfrac{\overline{BE_n}}{\sin25^\circ}=\dfrac{\overline{AB}}{\sin(180^\circ-(\varphi+25^\circ))}$

Mit $\overline{AB}=10\;\text{cm}$ und $\sin(180^\circ-(\varphi+25^\circ))=\sin(\varphi+25^\circ)$ erhält man dann:

$\dfrac{\overline{BE_n}}{\sin25^\circ}=\dfrac{ 10\;\text{cm}}{\sin(\varphi+25^\circ)}\;\Rightarrow\;\overline{BE_n}(\varphi)=\dfrac{ \sin25^\circ\cdot 10\;\text{cm}}{\sin(\varphi+25^\circ)}$

Zeichnen Sie die Strecke $[BE_1]$ für $\varphi=15°$ in die Zeichnung ein:

Der Punkt $E_3$ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Drachenvierecks $ABCD$.

Der Punkt $E_3$ und der Inkreis werden eingezeichnet.

Berechne $E_3$

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Der Winkel $\sphericalangle CBA=110°$. Dann ist der halbe Winkel $\sphericalangle \;CBE_3 =0{,}5\cdot 110^\circ=55^\circ.$

Die Strecke $\overline{BE_3}$ berechnest Du mit:

Berechne r

In dem oben eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin\sphericalangle \;CBE_3 =\dfrac{r}{\overline{BE_3}}\;\Rightarrow\;r=\overline{BE_3}\cdot \sin\sphericalangle \;CBE_3$

Dabei ist $r$ der Radius des Inkreises.

Den Radius $r$ des Inkreises beträgt $3{,}52\;\text{cm}$.

Einzeichnen der Pyramide $ABEDP_1$ für $\varphi=30°$ in das Schrägbild.

Das Pyramidenvolumen berechnet man mit:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Die Grundfläche ist ein Drachenviereck. Hier gilt für den Flächeninhalt:

$A_{\text{Drachenviereck}}=\dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f$

Dabei sind $e$ und $f$ die Diagonalen des Drachenvierecks.

Damit folgt für das Pyramidenvolumen:

$V_{ABED{P_n}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AE}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{MP_n}$

Setze die gegebenen Werte $\overline{AE}=7{,}5 \;\text{cm}$, $\overline{BD}=6\;\text{cm}$ und $\overline{MP_n}$ in $V$ein:

$V(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 7{,}5\cdot 6\cdot 4\cdot\tan\varphi\;\text{cm}^3=30\cdot\tan\varphi\;\text{cm}^3$

$V(\varphi)=30\cdot\tan\varphi\;\text{cm}^3$ mit $\varphi\in]0^\circ;51{,}34^\circ]$

$V_{ABEDS}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BD}\cdot \overline{MS}$

Setze die gegebenen Werte $\overline{AC}=6 \;\text{cm}$, $\overline{BD}=6\;\text{cm}$ und $\overline{MS}=5\;\text{cm}$ in $V$ein:

$V_{ABEDS}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot 5=30\;\text{cm}^3$

$V_{ABED{P_2}}=30\cdot \tan\varphi\;\text{cm}^3$ mit $\varphi\in]0^\circ;51{,}34^\circ]$

Setze $V_{ABED{P_2}}=V_{ABED{S}}$

$\mathbb{L}= \{45^\circ\}$