Nachtermin Teil A

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In zwei Stromkreisen wird je eine Spule von Gleichstrom durchflossen. Wenn ein Stromkreis geöffnet wird, klingt die entsprechende Stromstärke exponentiell ab. Der Zusammenhang zwischen der Zeit $x$ s nach dem Öffnen des Stromkreises und der Stromstärke $y$ mA kann bei Spulen näherungsweise durch eine Funktion mit einer Gleichung der Form $y = y_{0} \cdot k^{x}$ beschrieben werden, wobei $y_{0}$ mA die Stromstärke für $x = 0$ darstellt. (⁣ $𝔾 = ℝ_{𝟘}^{+} \times ℝ_{𝟘}^{+}$ ; $y_{0} \in ℝ_{𝟘}^{+}$ ; $k \in ℝ^{+}$ ).
1. Für die erste Spule ergeben sich folgende Werte:
  Zeigen Sie rechnerisch, dass für diese Spule auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt: $k = 0,22$ . Geben Sie sodann die zugehörige Funktionsgleichung an.
  (2P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Gegeben ist $y = y_{0} \cdot k^{x}$ .
  Setze den ersten Messwert $(0 | 4500)$ ein.
  $4500 = y_{0} \cdot k^{0} \Rightarrow y_{0} = 4500$
  Die Funktionsgleichung lautet nun: $y = 4500 \cdot k^{x}$
  Setze den zweiten Messwert $(2 | 218)$ ein.
  $y$ $=$ $4500 \cdot k^{x}$
  ↓
  Setze $(2 | 218)$ ein.
  $218$ $=$ $4500 \cdot k^{2}$ $: 4500$
  ↓
  Löse nach $k$ auf.
  $\frac{218}{4500}$ $=$ $k^{2}$ $\sqrt{}$
  $k_{1,2}$ $=$ $\pm \sqrt{\frac{218}{4500}}$
  $\approx$ $\pm 0,22$
  Wegen $k \in ℝ^{+}$ entfällt die negative Lösung $\Rightarrow 𝕃 = {0,22}$
  Es ist also $k = 0,22$ .
  Die Funktionsgleichung lautet dann: $y = 4500 \cdot {0,22}^{x} (𝔾 = ℝ_{𝟘}^{+} \times ℝ_{𝟘}^{+})$
  
  Hinweis: Verwendet man zur Bestimmung von $k$ den dritten oder vierten Messwert, so erhält man auch $k = 0,22$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Um wie viel Prozent verringert sich die Stromstärke bei der Spule aus 1a) pro Sekunde?
  Die Stromstärke verringert sich pro Sekunde um ______ $%$
  (1P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum (bzw. exponentieller Zerfall)
  Bei der gegebenen Spule ist $k = 0,22$ , d.h. es handelt sich um exponentielle Abnahme.
  Die Stromstärke verringert sich pro Sekunde um $p = 1 - 0,22 = 0,78 = 78 %$ .
  Hinweis: Die Berechnung der prozentualen Abnahme kann auch mithilfe der Messwerte erfolgen.
  Z. B. mit den Messwerten $2$ und $3$ : $p = \frac{218 - 48}{218} \approx 0,78 = 78 %$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Für die zweite Spule gilt: $k = 0,25.$ Bei dieser wird gleichzeitig mit der Spule aus 1a) der Stromkreis geöffnet. Nach $3$ s ergeben sich für beide Spulen die gleichen Stromstärken. Berechnen Sie die Stromstärke der zweiten Spule in dem Moment, in dem die Stromkreise geöffnet werden.
  (2P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Es ist jetzt $k = 0,25$ : $\Rightarrow y = y_{0} \cdot {0,25}^{x}$
  Bekannt ist, dass sich nach $3$ s für beide Spulen die gleichen Stromstärken ergeben. Der Messwert für die zweite Spule ist dann $(3 | 48)$ .
  $y$ $=$ $y_{0} \cdot {0,25}^{x}$
  ↓
  Setze den Messwert $(3 | 48)$ ein.
  $48$ $=$ $y_{0} \cdot {0,25}^{3}$ $: {0,25}^{3}$
  ↓
  Löse nach $y_{0}$ auf.
  $\frac{48}{{0,25}^{3}}$ $=$ $y_{0}$
  $y_{0}$ $=$ $3072$
  Die Stromstärke der zweiten Spule in dem Moment, in dem die Stromkreise geöffnet werden, beträgt $3072 mA .$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A2
In der Zeichnung ist das Drachenviereck $A B C D$ mit der Symmetrieachse $A C$ dargestellt.
Es gilt: $A B = 10$ cm; $∢ B A D = 50 °$ ; $∢ C B A = 110 °$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Punkte $E_{n}$ liegen auf der Strecke $[A C]$ und legen zusammen mit dem Punkt $B$ Strecken $[B E_{n}]$ fest. Die Winkel $E_{n} B A$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0 °; 110 °]$ . Zeichnen Sie die Strecke $[B E_{1}]$ für $φ = 15 °$ in die Zeichnung zu 2) ein und zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B E_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:
  $B E_{n} (φ) = \frac{4,23}{\sin (φ + 25 °)} cm$ . (3 P)
  
  Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[B E_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $B E_{n} (φ) = \frac{4,23}{\sin (φ + 25 °)} cm$ .
  Verwende den Sinussatz:
  $\frac{B E_{n}}{\sin α} = \frac{A B}{\sin γ}$
  $α = ∢ B A C = 0,5 \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ}$
  $γ = 180^{\circ} - (φ + α)$
  $γ = 180^{\circ} - (φ + 25^{\circ})$
  Dann folgt:
  $\frac{B E_{n}}{\sin 25^{\circ}} = \frac{A B}{\sin (180^{\circ} - (φ + 25^{\circ}))}$
  Mit $A B = 10 cm$ und $\sin (180^{\circ} - (φ + 25^{\circ})) = \sin (φ + 25^{\circ})$ erhält man dann:
  $\frac{B E_{n}}{\sin 25^{\circ}} = \frac{10 cm}{\sin (φ + 25^{\circ})} \Rightarrow B E_{n} (φ) = \frac{\sin 25^{\circ} \cdot 10 cm}{\sin (φ + 25^{\circ})}$
  $B E_{n} (φ) = \frac{4,23}{\sin (φ + 25^{\circ})} cm φ \in] 0 °; 110 °]$
  Zeichnen Sie die Strecke $[B E_{1}]$ für $φ = 15 °$ in die Zeichnung ein:
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Das Dreieck $A B E_{2}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A B]$ . Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $A B E_{2} .$ (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt Dreieck
  $A = 0,5 \cdot g \cdot h$
  Es ist $g = A B = 10 cm$ .
  Die Höhe $h$ wird mit Sinus berechnet:
  $\sin ∢ E_{2} B A = \frac{h}{B E_{2}}$
  $∢ E_{2} B A = ∢ B A C = 25^{\circ}$
  $\Rightarrow h = B E_{2} \cdot \sin 25^{\circ}$
  $B E_{2} (25^{\circ}) = \frac{4,23}{\sin (25^{\circ} + 25^{\circ})} = 5,52 cm$
  Also ist $h = 5,52 \cdot \sin 25^{\circ} cm$
  $\Rightarrow A_{A B E_{2}} = 0,5 \cdot g \cdot h = 0,5 \cdot 10 \cdot 5,52 \cdot \sin 25^{\circ} = 11,66 {cm}^{2}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Der Punkt $E_{3}$ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Drachenvierecks $A B C D$ . Zeichnen Sie den Punkt $E_{3}$ sowie den Inkreis in die Zeichnung zu 2) ein und berechnen Sie den Radius $r$ des Inkreises. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Der Punkt $E_{3}$ ist der Mittelpunkt des Inkreises des Drachenvierecks $A B C D$ .
  Der Punkt $E_{3}$ und der Inkreis werden eingezeichnet.
  Berechne $E_{3}$
  Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
  Der Winkel $∢ C B A = 110 °$ . Dann ist der halbe Winkel $∢ C B E_{3} = 0,5 \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} .$
  Die Strecke $B E_{3}$ berechnest Du mit:
  $B E_{n} (φ)$ $=$ $= \frac{4,23}{\sin (φ + 25^{\circ})} cm$
  ↓
  Setze $φ = 55^{\circ}$ ein.
  $B E_{3} (55^{\circ})$ $=$ $\frac{4,23}{\sin (55^{\circ} + 25^{\circ})} cm$
  $=$ $\frac{4,23}{\sin (80^{\circ})} cm$
  $=$ $4,30 cm$
  Berechne r
  In dem oben eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck gilt:
  $\sin ∢ C B E_{3} = \frac{r}{B E_{3}} \Rightarrow r = B E_{3} \cdot \sin ∢ C B E_{3}$
  Dabei ist $r$ der Radius des Inkreises.
  $r$ $=$ $B E_{3} \cdot \sin ∢ C B E_{3}$
  ↓
  Setze $B E_{3} = 4,30 cm$ und $∢ C B E_{3} = 55^{\circ}$ ein.
  $=$ $4,30 \cdot \sin 55^{\circ} cm$
  $=$ $3,52 cm$
  Den Radius $r$ des Inkreises beträgt $3,52 cm$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A3
Das Drachenviereck $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $[M S]$ . Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[A C]$ auf der Schrägbildachse liegt.
Es gilt: $A C = 6$ cm; $A M = 4$ cm; $B D = 6$ cm; $M S = 5$ cm.
1. Der Punkt $E$ liegt auf der Halbgeraden $[A C$ mit $A E = 7,5$ cm. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M S]$ . Die Winkel $M A P_{n}$ haben das Maß $φ$ . Die Punkte $P_{n}$ sind für $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$ die Spitzen von Pyramiden $A B E D P_{n}$ mit dem Drachenviereck $A B E D$ als Grundfläche sowie den Höhen $[M P_{n}]$ .
  Zeichnen Sie die Pyramide $A B E D P_{1}$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild zu 3) ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Einzeichnen der Pyramide $A B E D P_{1}$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $A B E D P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ . (2 P)
  [Ergebnis: $V (φ) = 30 \cdot \tan φ$ $c m^{3}$ ].
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Das Pyramidenvolumen berechnet man mit:
  $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
  Die Grundfläche ist ein Drachenviereck. Hier gilt für den Flächeninhalt:
  $A_{Drachenviereck} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
  Dabei sind $e$ und $f$ die Diagonalen des Drachenvierecks.
  Damit folgt für das Pyramidenvolumen:
  $V_{A B E D P_{n}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A E \cdot B D \cdot M P_{n}$
  Berechne $M P_{n}$ :
  Gegeben ist $A M = 4 cm$ .
  Dann gilt: $\tan φ = \frac{M P_{n}}{4 cm}$
  $\Rightarrow M P_{n} = 4 \cdot \tan φ cm$
  mit $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$
  Setze die gegebenen Werte $A E = 7,5 cm$ , $B D = 6 cm$ und $M P_{n}$ in $V$ ein:
  $V (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 7,5 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \tan φ {cm}^{3} = 30 \cdot \tan φ {cm}^{3}$
  $V (φ) = 30 \cdot \tan φ {cm}^{3}$ mit $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Das Volumen der Pyramide $A B E D P_{2}$ ist genau so groß wie das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  $V_{A B E D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot M S$
  Setze die gegebenen Werte $A C = 6 cm$ , $B D = 6 cm$ und $M S = 5 cm$ in $V$ ein:
  $V_{A B E D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 30 {cm}^{3}$
  $V_{A B E D P_{2}} = 30 \cdot \tan φ {cm}^{3}$ mit $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$
  Setze $V_{A B E D P_{2}} = V_{A B E D S}$
  $30 \cdot \tan φ$ $=$ $30$ $: 30$
  $\tan φ$ $=$ $1$ $\tan^{- 1}$
  $φ$ $=$ $45^{\circ}$
  $𝕃 = {45^{\circ}}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$y$	$=$	$4500 \cdot k^{x}$
	↓	Setze $(2 \| 218)$ ein.
$218$	$=$	$4500 \cdot k^{2}$	$: 4500$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\frac{218}{4500}$	$=$	$k^{2}$	$\sqrt{}$
$k_{1,2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{218}{4500}}$
	$\approx$	$\pm 0,22$

$y$	$=$	$y_{0} \cdot {0,25}^{x}$
	↓	Setze den Messwert $(3 \| 48)$ ein.
$48$	$=$	$y_{0} \cdot {0,25}^{3}$	$: {0,25}^{3}$
	↓	Löse nach $y_{0}$ auf.
$\frac{48}{{0,25}^{3}}$	$=$	$y_{0}$
$y_{0}$	$=$	$3072$

$B E_{n} (φ)$	$=$	$= \frac{4,23}{\sin (φ + 25^{\circ})} cm$
	↓	Setze $φ = 55^{\circ}$ ein.
$B E_{3} (55^{\circ})$	$=$	$\frac{4,23}{\sin (55^{\circ} + 25^{\circ})} cm$
	$=$	$\frac{4,23}{\sin (80^{\circ})} cm$
	$=$	$4,30 cm$

$r$	$=$	$B E_{3} \cdot \sin ∢ C B E_{3}$
	↓	Setze $B E_{3} = 4,30 cm$ und $∢ C B E_{3} = 55^{\circ}$ ein.
	$=$	$4,30 \cdot \sin 55^{\circ} cm$
	$=$	$3,52 cm$

$30 \cdot \tan φ$	$=$	$30$	$: 30$
$\tan φ$	$=$	$1$	$\tan^{- 1}$
$φ$	$=$	$45^{\circ}$

Nachtermin Teil A

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe A2

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne E3

Berechne r

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe A3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne $E_{3}$