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Aufgabe B2

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABCABC ist. MM ist der Mittelpunkt der Basis [BC][BC]. Es gilt: AM=9\overline{AM}=9 cm; BC=12  cm \overline{BC}=12\;\text{cm} ; MS=10  cm \overline{MS}=10\;\text{cm}.

Schrägbild Pyramide

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCSABCS, wobei die Strecke [AM][AM] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt MM liegen soll. Für die Zeichnung gilt: (2 P)

    q=12q = \dfrac{1}{2} ; ω=45\omega= 45°.

  2. Berechnen Sie die Länge der Strecke [AS][AS], das Maß des Winkels MASMAS sowie das Volumen der Pyramide ABCSABCS. (3 P)

    [[Ergebnisse: AS=13,45\overline{AS}=13{,}45; MAS=48,01°\sphericalangle{MAS}=48{,}01°; VABCS=180  cm3V_{ABCS}=180\;\text{cm}^3]]

  3. Für den Punkt D[AS]D\in[AS] gilt: AD=4  cm\overline{AD}= 4\;\text{cm}.

    Zeichnen Sie die Strecke [DM][DM] in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels DMA.DMA. (3 P)

  4. Für Punkte RnR_n auf der Strecke [MS][MS] gilt:

    SRn=x  cm\overline{SR_n}= x\;\text{cm}, (xRx\in \mathbb{R}; 0<x<100 \lt x \lt10).

    Parallelen zur Strecke [BC][BC] durch die Punkte RnR_n schneiden die Strecke [BS][BS] in den Punkten PnP_n und die Strecke [CS][CS] in den Punkten QnQ_n. Die Dreiecke PnMQnP_nMQ_n sind die Grundflächen von Pyramiden PnMQnDP_nMQ_nD mit der Höhe [DF][DF], wobei F[MS]F\in[MS] gilt.

    Zeichnen Sie die Pyramide P1MQ1DP_1MQ_1D und die Höhe [DF][DF] für x=5x=5 in das Schrägbild zu 2a) ein. (2 P)

  5. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VVder Pyramiden PnMQnDP_nMQ_nD in Abhängigkeit von x gilt: V(x)=(1,26x2+12,64x)  cm3V(x)=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3. (4 P)

    [[Zwischenergebnis: DF=6,32  cm\overline{DF}=6{,}32\;\text{cm}]]

  6. Es gibt Pyramiden P2MQ2DP_2MQ_2D und P3MQ3DP_3MQ_3D, deren Volumen jeweils um 90  %90\;\% kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCSABCS.

    Berechnen Sie die zugehörigen x-Werte. (3 P)