Schrägbild zeichnen

Zeichen zuerst die Schrägbildachse, die Strecke [$AM$] liegt auf der Schrägbildachse. Trage die Strecke [$BC$] in einem Winkel von $45^\circ$zur Schrägbildachse an und vervollständige die Pyramide.

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$, das Maß des Winkels $MAS$ sowie das Volumen der Pyramide $ABCS$.

Länge der Strecke $[AS]$

Im rechtwinkligen Dreieck $AMS$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{AS}=\sqrt{\overline{AM^2}+\overline{MS^2}}=\sqrt{{9^2}+{10^2}}\;\text{cm}$

$\overline{AS}=\sqrt{181}\;\text{cm}$

$\overline{AS}= 13{,}45\;\text{cm}$

Winkel $MAS$

Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck:

$\tan\sphericalangle{MAS}=\dfrac{\overline{MS}}{\overline{MA}}\Rightarrow\tan\sphericalangle{MAS}=\dfrac{10\;\text{cm}}{9\;\text{cm}}$

$\tan\sphericalangle{MAS}=1{,}1111$

$\sphericalangle{MAS}=48{,}01^\circ$

Volumen der Pyramide $ABCS$

Mit der Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt:

$V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{G}\cdot{h}$

$V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}}\cdot\overline{AM}\cdot{\overline{MS}}\Rightarrow V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{1}{2}}\cdot{12}\cdot{9}\cdot{10}\;\text{cm}^3$

$V_{ABCS}=180\;\text{cm}^3$

Für den Punkt $D\in[AS]$ gilt: $\overline{AD}= 4\;\text{cm}$.

Zeichne die Strecke $[DM]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechne das Maß des Winkels $DMA$.

Berechnung des Maßes des Winkels $DMA$

Berechne zuerst die Länge der Strecke $[DM]$.

$\overline{DM}^2=\overline{AM}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{MAS}\cdot\overline{AM}\cdot\overline{AD}$

$\overline{DM}=\sqrt{{9}^2+{4}^2-2\cdot\cos48{,}01^\circ\cdot{9}\cdot{4}}\;\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{81+16-{2}\cdot{9}\cdot{4}\cdot{0{,}669}}\;\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{48{,}832}\;\text{cm}$

$\overline{DM}=6{,}99\;\text{cm}$

Berechne jetzt den Winkel $DMA$

$\dfrac{\sin\sphericalangle{DMA}}{\overline{AD}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{MAS}}{\overline{DM}}\Rightarrow\sin\sphericalangle{DMA}=\dfrac{\sin\sphericalangle{MAS}\cdot\overline{AD}}{\overline{DM}}$

$\sin\sphericalangle{DMA}=\dfrac{{0{,}7433}\cdot{4\;\text{cm}}}{6{,}99\;\text{cm}}$

$\sphericalangle{DMA}=25{,}17^\circ$

Skizze der Pyramide

Für Punkte $R_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt:

$\overline{SR_n}= x\;\text{cm}$, ($x\in \mathbb{R}$; $0 \lt x \lt10$).

Parallelen zur Strecke $[BC]$ durch die Punkte $R_n$ schneiden die Strecke $[BS]$ in den Punkten $P_n$ und die Strecke $[CS]$ in den Punkten $Q_n$. Die Dreiecke $P_nMQ_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_nMQ_nD$ mit der Höhe $[DF]$, wobei $F\in[MS]$ gilt.

Zeichne die Pyramide $P_1MQ_1D$ und die Höhe $[DF]$ für $x=5$ in das Schrägbild zu 2a) ein.

Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $P_nMQ_nD$ in Abhängigkeit von x gilt: $V(x)=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$.

Berechnung von $\overline{DF}$ (die Höhe)

Mit dem Strahlensatz gilt:

$\dfrac{\overline{DF}}{\overline{AM}}=\dfrac{\overline{AS}-\overline{AD}}{\overline{AS}}\ \Rightarrow\ \overline{DF}=\dfrac{\overline{AM}\cdot(\overline{AS}-\overline{AD})}{\overline{AS}}$

$\overline{DF}=\dfrac{{9}\cdot({13{,}45}-{4})}{{13{,}45}}\;\text{cm}$

$\overline{DF}=6{,}32\;\text{cm}$

Berechnung des Volumens

$V{(x)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{P_{n}Q_{n}}\cdot\overline{MR_{n}}\cdot\overline{DF}$

Berechne $\ \overline{P_{n}Q_{n}}$ mithilfe des Strahlensatzes:

$\dfrac{\overline{P_{n}Q_{n}}(x)}{12\;\text{cm}}=\dfrac{x\ cm}{10\;\text{cm}}\ \Rightarrow\overline{P_{n}Q_{n}}(x)= \dfrac{12 \cdot\ x}{10}\;\text{cm}$

$\overline{P_{n}Q_{n}}(x)=1{,}2\cdot{x}\;\text{cm}$

$V{(x)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1{,}2\cdot{x}\cdot(10-x)\cdot6{,}32\;\text{cm}^3$

$V{(x)}=0{,}2\cdot{x}\cdot(63{,}2-6{,}32x)\;\text{cm}^3$

$V{(x)}=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$

Es gibt Pyramiden $P_2MQ_2D$ und $P_3MQ_3D$, deren Volumen jeweils um $90\;\%$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $ABCS$. Berechne die zugehörigen x-Werte.

Bestimmung der Volumina

Das Volumen der Pyramide $ABCS=180\;\text{cm}^3$

Das Volumen der Pyramiden $P_2MQ_2D$ und $P_3MQ_3D$ ist also $180\;\text{cm}^3\cdot 0{,}1=18\;\text{cm}^3$.

Lösen nach $x$

Löse die quadratische Gleichung (die mit dem Term aus Teilaufgabe (e) gegeben ist):

$-1{,}26x^2+12{,}64x=180\cdot{0{,}1}$

$-1{,}26x^2+12{,}64x-18=0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-12{,}64\ \pm\ \sqrt{12{,}64^2\ -\ 4\cdot(-1{,}26)\cdot(-18)}}{2\cdot(-1{,}26)}$

$x_{1}=1{,}72;\ \ x_{2}=8{,}31$

$\mathbb{L}=\left\{1{,}72;\ 8{,}31\right\}$