Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgabe B1

Die Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ .

Es gilt: $\overline{AB}= 7\;\text{cm}$ ; $\overline{AE}= 8\;\text{cm}$ ; $\overline{DE}= 4\;\text{cm}$ ; $\overline{CE}=11\;\text{cm}$ ; $\overline{CD}=9\;\text{cm}$ ;

$\sphericalangle{BAE}=90°$ ; $\sphericalangle{AED}=128°$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ sowie die Strecken $[B E]$ und $[C E]$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[B E]$ und das Maß des Winkels $A E B$ . (4 P)
$[$ Teilergebnisse: $\overline{BE}=10{,}63\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle{AEB}=41{,}19°$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pythagoras
Zeichnen des Fünfecks
Zeichne zuerst mit dem Geodreieck die Strecke $\left[AB\right]$ , den Winkel $\measuredangle BAE=90°$ und die Strecke $[A E]$ , und dann den Winkel $\measuredangle AED=128°$ und die Strecke $[D E]$ .
Punkt $C$ ist durch $\overline{CE}=11\mathrm{\ cm}$ und $\overline{CD}=9\mathrm{\ cm}$ mit dem Zirkel konstruierbar.
(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel $\measuredangle EDC$ berechnen und einzeichnen.)
Länge von $[B E]$ , Winkel $\measuredangle AEB$
Berechne die Länge der Strecke $[B E]$ und das Maß des Winkels $\measuredangle AEB$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt im Dreieck $A B E$ :
Skizze
$\overline{BE} =\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AE}^2};\ \ \ \ \ \overline{BE}=\sqrt{{7}^2+{8}^2}\ cm$
$\overline{BE}=\ 10{,}63\ cm$
Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel $\measuredangle AEB$ berechnet werden:
$\displaystyle\tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{7}{8}$
$\measuredangle\mathrm{AEB}=41{,}19^{\circ}$
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Zeichne die Strecken unter den vorgegebenen Winkeln.
Konstruiere den Punkt $C$ mithilfe des Zirkels und verbinde das Fünfeck.
Berechne die Länge von $[B E]$ und das Maß von $\sphericalangle{AEB}$ im Dreieck $A B E$ .

Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt des Vierecks $A B C E$ . (4 P)

$[$ Zwischenergebnis: $\sphericalangle{BEC}=36{,}33°]$

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecke $[B C]$ und das Maß des Winkels $E C B$ gilt: (2 P)
$\overline{BC}=6{,}75$ cm; $\sphericalangle{ECB}=68{,}90°$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Skizze
Berechnung der Länge von $[B C]$
Berechne die Strecke $B C$ mit Hilfe des Kosinussatzes.
$\overline{BC}^2=\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}$
$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$
$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$
$\overline{BC}=\sqrt{11^2+10{,}63^2-2\cdot\cos36{,}33^{\circ}\cdot11\cdot10{,}63} \;\text{cm}$
$\overline{BC}=\sqrt{45{,}52}\,\text{cm}$
$\overline{BC}= 6{,}75\;\text{cm}$
Berechnung der Größe des Winkels $E C B$
Berechne den Winkel $E C B$ mit Hilfe des Sinussatzes.
$\dfrac{\sin36{,}33^\circ}{6{,}75\;\text{cm}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{ECB}}{10{,}63\;\text{cm}}$
$\sin\sphericalangle{ECB}=\dfrac{\sin36{,}33^\circ\cdot10{,}63\;\text{cm}}{6{,}75\;\text{cm}}=0{,}933$
$\sphericalangle{ECB}\ =\ 68{,}90^\circ$
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Berechne die Länge von $[B C]$ mit dem Kosinussatz.
Verwende den Sinussatz für den Winkel $\sphericalangle{ECB}$ .
Die Punkte $F\in[CE]$ und $G\in[BE]$ legen die Strecke $[F G]$ fest, wobei gilt:
$[FG]\Vert[BC]$ und $\overline{CF}=3\;\text{cm}$ .
Ergänzen Sie die Strecke $[F G]$ in der Zeichnung zu 1a) und berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks $B C F G$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Skizze
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $B C F G$
Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[F G] .$
$\dfrac{\overline{FG}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{EF}}{\overline{EC}}\ \ \Rightarrow\ \ \overline{FG}=\dfrac{\overline{BC}\cdot\overline{EF}}{\overline{EC}}$
$\overline{FG}=\dfrac{{6{,}75\;\text{cm}}\cdot{(11-3)\;\text{cm}}}{{11\;\text{cm}}}$
$\overline{FG}=4{,}91\;\text{cm}$
Höhe $h$ im Trapez $B C F G$
Berechne jetzt die Höhe $h$ mit dem Sinus:
$\dfrac{h}{3\;\text{cm}}=\sin68{,}90^\circ\Rightarrow\ h=3\;\text{cm}\cdot0{,}933$
$h=2{,}80\;\text{cm}$
Flächeninhalt des Trapezes
Das Viereck $B C F G$ ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:
$A_{Trapez}= \dfrac{a+c}{2}\cdot{h}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{FG}}{2}\cdot h$
$A_{BCFG}= \dfrac{6{,}75+4{,}91}{2}\cdot{2{,}80\;\text{cm}^2}$
$A_{BCFG}= 16{,}32\;\text{cm}^2$
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Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[F G] .$
Berechne dann die Höhe $h$ im Trapez $B C F G$ , sowie den Flächeninhalt.
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt $A$ berührt die Strecke $[B E]$ im Punkt $R$ . Er schneidet die Strecke $[A B]$ im Punkt $Q$ und die Strecke $[A E]$ im Punkt $S$ .
Zeichnen Sie den Kreisbogen $\overset\frown{QS}$ und den Punkt $R$ in die Zeichnung zu 1a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Sektors, der von den Strecken $[A Q]$ und $[A S]$ sowie dem Kreisbogen $\overset\frown{QS}$ begrenzt wird. (3 P)
$[$ Zwischenergebnis: $\overline{AR}=5{,}27\;\text{cm}$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Skizze
Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $A Q S$ .
Um den Flächeninhalt des Kreissektors $A Q S$ zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke $[A R]$ berechnen.
Der Winkel $AEB= 41{,}19^\circ$ .
$\dfrac{\overline{AR}}{\overline{AE}}=\sin\sphericalangle{AEB}\ \Rightarrow\overline{AR}=\overline{AE}\cdot\sin\sphericalangle{AEB}$ ; $\overline{AR}=8\;\text{cm}\cdot0{,}659$
$\overline{AR}= 5{,}27\;\text{cm}$
Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor $A Q S$ .
$A_{Sektor}= \dfrac{\sphericalangle{BAE}}{{360^\circ}}\cdot\overline{AR^2}\cdot\large\pi$ ; $A_{Sektor}= \dfrac{90^\circ}{{360^\circ}}\cdot{27{,}77\;\text{cm}^2}\cdot\large\pi$
$A_{Sektor}=21{,}81\;\text{cm}^2$
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Berechne die Länge der Strecke $[A R]$ mit dem Sinus. Verwende hierzu, dass der Winkel $AEB= 41{,}19^\circ$ ist.
Bestimme mithilfe des Radius $[A R]$ den Flächeninhalt des Kreissektors.

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C S$ mit der Höhe $[M S]$ , deren Grundfläche das gleichschenklige Dreieck $A B C$ ist. $M$ ist der Mittelpunkt der Basis $[B C]$ . Es gilt: $\overline{AM}=9$ cm; $\overline{BC}=12\;\text{cm}$ ; $\overline{MS}=10\;\text{cm}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C S$ , wobei die Strecke $[A M]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: (2 P)
  $q = \dfrac{1}{2}$ ; $\omega= 45$ °.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
  Schrägbild zeichnen
  Zeichen zuerst die Schrägbildachse, die Strecke [ $A M$ ] liegt auf der Schrägbildachse. Trage die Strecke [ $B C$ ] in einem Winkel von $45^\circ$ zur Schrägbildachse an und vervollständige die Pyramide.
  Skizze
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  Skizziere zuerst die Strecke $[A M]$ auf die Schrägbildachse.
  Zeichne die Strecke $[B C]$ in einem $45 °$ -Winkel dazu ein und vervollständige die Pyramide.
2. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[A S]$ , das Maß des Winkels $M A S$ sowie das Volumen der Pyramide $A B C S$ . (3 P)
  $[$ Ergebnisse: $\overline{AS}=13{,}45$ ; $\sphericalangle{MAS}=48{,}01°$ ; $V_{ABCS}=180\;\text{cm}^3$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtwinkliges Dreieck
  Berechne die Länge der Strecke $[A S]$ , das Maß des Winkels $M A S$ sowie das Volumen der Pyramide $A B C S$ .
  Skizze des rechtwinkligen Dreiecks in der Pyramide
  Länge der Strecke $[A S]$
  Im rechtwinkligen Dreieck $A M S$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:
  $\overline{AS}=\sqrt{\overline{AM^2}+\overline{MS^2}}=\sqrt{{9^2}+{10^2}}\;\text{cm}$
  $\overline{AS}=\sqrt{181}\;\text{cm}$
  $\overline{AS}= 13{,}45\;\text{cm}$
  Winkel $M A S$
  Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck:
  $\tan\sphericalangle{MAS}=\dfrac{\overline{MS}}{\overline{MA}}\Rightarrow\tan\sphericalangle{MAS}=\dfrac{10\;\text{cm}}{9\;\text{cm}}$
  $\tan\sphericalangle{MAS}=1{,}1111$
  $\sphericalangle{MAS}=48{,}01^\circ$
  Volumen der Pyramide $A B C S$
  Mit der Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt:
  $V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{G}\cdot{h}$
  $V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}}\cdot\overline{AM}\cdot{\overline{MS}}\Rightarrow V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{1}{2}}\cdot{12}\cdot{9}\cdot{10}\;\text{cm}^3$
  $V_{ABCS}=180\;\text{cm}^3$
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  Berechne die Länge der Strecke $[A S]$ im Dreieck $A M S$ .
  Bestimme das Maß des Winkels $M A S$ mit dem Tangens im selben Dreieck.
  Berechne das Volumen der Pyramide. Achte darauf, dass das eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist.
3. Für den Punkt $D\in[AS]$ gilt: $\overline{AD}= 4\;\text{cm}$ .
  Zeichnen Sie die Strecke $[D M]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels $D M A .$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Für den Punkt $D\in[AS]$ gilt: $\overline{AD}= 4\;\text{cm}$ .
  Zeichne die Strecke $[D M]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechne das Maß des Winkels $D M A$ .
  Skizze
  Berechnung des Maßes des Winkels $D M A$
  Berechne zuerst die Länge der Strecke $[D M]$ .
  $\overline{DM}^2=\overline{AM}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{MAS}\cdot\overline{AM}\cdot\overline{AD}$
  $\overline{DM}=\sqrt{{9}^2+{4}^2-2\cdot\cos48{,}01^\circ\cdot{9}\cdot{4}}\;\text{cm}$
  $\overline{DM}=\sqrt{81+16-{2}\cdot{9}\cdot{4}\cdot{0{,}669}}\;\text{cm}$
  $\overline{DM}=\sqrt{48{,}832}\;\text{cm}$
  $\overline{DM}=6{,}99\;\text{cm}$
  Berechne jetzt den Winkel $D M A$
  $\dfrac{\sin\sphericalangle{DMA}}{\overline{AD}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{MAS}}{\overline{DM}}\Rightarrow\sin\sphericalangle{DMA}=\dfrac{\sin\sphericalangle{MAS}\cdot\overline{AD}}{\overline{DM}}$
  $\sin\sphericalangle{DMA}=\dfrac{{0{,}7433}\cdot{4\;\text{cm}}}{6{,}99\;\text{cm}}$
  $\sphericalangle{DMA}=25{,}17^\circ$
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  Bestimme das Maß des Winkels $D M A$ . Berechne hierzu zuerst die Länge der Strecke $[D M]$ .
4. Für Punkte $R_{n}$ auf der Strecke $[M S]$ gilt:
  $\overline{SR_n}= x\;\text{cm}$ , ( $x\in \mathbb{R}$ ; $0 \lt x \lt10$ ).
  Parallelen zur Strecke $[B C]$ durch die Punkte $R_{n}$ schneiden die Strecke $[B S]$ in den Punkten $P_{n}$ und die Strecke $[C S]$ in den Punkten $Q_{n}$ . Die Dreiecke $P_{n} M Q_{n}$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_{n} M Q_{n} D$ mit der Höhe $[D F]$ , wobei $F\in[MS]$ gilt.
  Zeichnen Sie die Pyramide $P_{1} M Q_{1} D$ und die Höhe $[D F]$ für $x = 5$ in das Schrägbild zu 2a) ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Skizze der Pyramide
  Für Punkte $R_{n}$ auf der Strecke $[M S]$ gilt:
  $\overline{SR_n}= x\;\text{cm}$ , ( $x\in \mathbb{R}$ ; $0 \lt x \lt10$ ).
  Parallelen zur Strecke $[B C]$ durch die Punkte $R_{n}$ schneiden die Strecke $[B S]$ in den Punkten $P_{n}$ und die Strecke $[C S]$ in den Punkten $Q_{n}$ . Die Dreiecke $P_{n} M Q_{n}$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_{n} M Q_{n} D$ mit der Höhe $[D F]$ , wobei $F\in[MS]$ gilt.
  Zeichne die Pyramide $P_{1} M Q_{1} D$ und die Höhe $[D F]$ für $x = 5$ in das Schrägbild zu 2a) ein.
  Skizze
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  Skizziere die Punkte $R_{n}$ , $P_{n}$ und $Q_{n}$ für $x = 5$ in das Dreieck $B C S$ der Pyramide. Vervollständige diese Punkte zu einer Pyramide.
  Die Spitze der inneren Pyramide ist durch $D$ auf der Strecke $[A S]$ gegeben.
5. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $P_{n} M Q_{n} D$ in Abhängigkeit von x gilt: $V(x)=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$ . (4 P)
  $[$ Zwischenergebnis: $\overline{DF}=6{,}32\;\text{cm}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $P_{n} M Q_{n} D$ in Abhängigkeit von x gilt: $V(x)=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$ .
  Skizze
  Berechnung von $\overline{DF}$ (die Höhe)
  Mit dem Strahlensatz gilt:
  $\dfrac{\overline{DF}}{\overline{AM}}=\dfrac{\overline{AS}-\overline{AD}}{\overline{AS}}\ \Rightarrow\ \overline{DF}=\dfrac{\overline{AM}\cdot(\overline{AS}-\overline{AD})}{\overline{AS}}$
  $\overline{DF}=\dfrac{{9}\cdot({13{,}45}-{4})}{{13{,}45}}\;\text{cm}$
  $\overline{DF}=6{,}32\;\text{cm}$
  Berechnung des Volumens
  $V{(x)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{P_{n}Q_{n}}\cdot\overline{MR_{n}}\cdot\overline{DF}$
  Berechne $\ \overline{P_{n}Q_{n}}$ mithilfe des Strahlensatzes:
  $\dfrac{\overline{P_{n}Q_{n}}(x)}{12\;\text{cm}}=\dfrac{x\ cm}{10\;\text{cm}}\ \Rightarrow\overline{P_{n}Q_{n}}(x)= \dfrac{12 \cdot\ x}{10}\;\text{cm}$
  $\overline{P_{n}Q_{n}}(x)=1{,}2\cdot{x}\;\text{cm}$
  $V{(x)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1{,}2\cdot{x}\cdot(10-x)\cdot6{,}32\;\text{cm}^3$
  $V{(x)}=0{,}2\cdot{x}\cdot(63{,}2-6{,}32x)\;\text{cm}^3$
  $V{(x)}=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$
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  Berechne die Höhe der inneren Pyramide $\overline{DF}$ mit dem Strahlensatz.
  Bestimme das Volumen der inneren Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche.
  Die Länge der Seite $P_{n} Q_{n}$ kann auch mit dem Strahlensatz berechnet werden.
6. Es gibt Pyramiden $P_{2} M Q_{2} D$ und $P_{3} M Q_{3} D$ , deren Volumen jeweils um $90 %$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C S$ .
  Berechnen Sie die zugehörigen x-Werte. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
  Es gibt Pyramiden $P_{2} M Q_{2} D$ und $P_{3} M Q_{3} D$ , deren Volumen jeweils um $90 %$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $A B C S$ . Berechne die zugehörigen x-Werte.
  Bestimmung der Volumina
  Das Volumen der Pyramide $ABCS=180\;\text{cm}^3$
  Das Volumen der Pyramiden $P_{2} M Q_{2} D$ und $P_{3} M Q_{3} D$ ist also $180\;\text{cm}^3\cdot 0{,}1=18\;\text{cm}^3$ .
  Lösen nach $x$
  Löse die quadratische Gleichung (die mit dem Term aus Teilaufgabe (e) gegeben ist):
  $-1{,}26x^2+12{,}64x=180\cdot{0{,}1}$
  $-1{,}26x^2+12{,}64x-18=0$
  $x_{1{,}2}=\dfrac{-12{,}64\ \pm\ \sqrt{12{,}64^2\ -\ 4\cdot(-1{,}26)\cdot(-18)}}{2\cdot(-1{,}26)}$
  $x_{1}=1{,}72;\ \ x_{2}=8{,}31$
  $\mathbb{L}=\left\{1{,}72;\ 8{,}31\right\}$
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  Berechne, wie groß das Zehntel des Volumens von $A B C S$ ist.
  Setze diesen Wert gleich mit dem Term für das Volumen aus Teilaufgabe (e). -
  Löse diese quadratische Gleichung.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \large{A}_{BCE}$	$=$	$\displaystyle \dfrac12\cdot a\cdot b\cdot\sin\gamma$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot11\cdot10{,}63\cdot\sin36{,}33^\circ$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 34{,}64\;\text{cm}^2$

Teil B

Aufgabe B1

Zeichnen des Fünfecks

Länge von [BE][BE][BE], Winkel ∡AEB\measuredangle AEB∡AEB

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Flächeninhalt des Vierecks

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Berechnung der Länge von [BC][BC][BC]

Berechnung der Größe des Winkels ECBECBECB

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Berechne den Flächeninhalt des Vierecks BCFGBCFGBCFG

Höhe hhh im Trapez BCFGBCFGBCFG

Flächeninhalt des Trapezes

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Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor AQSAQSAQS.

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Aufgabe B2

Schrägbild zeichnen

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Länge der Strecke [AS][AS][AS]

Winkel MASMASMAS

Volumen der Pyramide ABCSABCSABCS

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Berechnung des Maßes des Winkels DMADMADMA

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Skizze der Pyramide

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Berechnung von DF‾\overline{DF}DF (die Höhe)

Berechnung des Volumens

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Bestimmung der Volumina

Lösen nach xxx

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Länge von $[B E]$ , Winkel $\measuredangle AEB$

Berechnung der Länge von $[B C]$

Berechnung der Größe des Winkels $E C B$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $B C F G$

Höhe $h$ im Trapez $B C F G$

Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $A Q S$ .

Länge der Strecke $[A S]$

Winkel $M A S$

Volumen der Pyramide $A B C S$

Berechnung des Maßes des Winkels $D M A$

Berechnung von $\overline{DF}$ (die Höhe)

Lösen nach $x$