Teil B

Zeichnen des Fünfecks

(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel $\measuredangle EDC$ berechnen und einzeichnen.)

Länge von $[BE]$, Winkel $\measuredangle AEB$

Berechne die Länge der Strecke $[BE]$ und das Maß des Winkels $\measuredangle AEB$

$\overline{BE}=\sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{AE}}^2};\overline{BE}=\sqrt{7^2+8^2}cm$

$\overline{BE}=\mathrm{10,63}cm$

Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel $\measuredangle AEB$ berechnet werden:

$${\displaystyle \tan \measuredangle \mathrm{AEB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}};\tan \measuredangle \mathrm{AEB}=\frac{7}{8}}$$

$\measuredangle \mathrm{AEB}={\mathrm{41,19}}^{\circ }$

Flächeninhalt des Vierecks

Flächeninhalt des Dreiecks $ABE:$

$A_{ABE}$= ${\displaystyle \frac{\overline{AB}\cdot \overline{AE}}{2}}$;$A_{ABE}={\displaystyle \frac{7\cdot 8}{2}}{\text{cm}}^2$

$A_{ABE}=28{\text{cm}}^2$

Flächeninhalt des Dreiecks $BCE:$

Berechne zuerst den Winkel $BEC$.

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{AED}-\measuredangle \mathrm{AEB}-\measuredangle \mathrm{CED}$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle {128}^{\circ }-\measuredangle {\mathrm{41,19}}^{\circ }-\measuredangle \mathrm{CED}$

Berechne den Winkel $\measuredangle CED$ mit dem Kosinussatz:

$9^2={11}^2+4^2-2\cdot 11\cdot \cos \measuredangle CED\Rightarrow$

$${\displaystyle \cos \measuredangle CED=\frac{121+16-81}{88}=\mathrm{0,6363}}$$

$\measuredangle \mathrm{CED}={\mathrm{50,48}}^{\circ }$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle {128}^{\circ }-\measuredangle {\mathrm{41,19}}^{\circ }-\measuredangle {\mathrm{50,48}}^{\circ }$

$\measuredangle \mathrm{BEC}={\mathrm{36,33}}^{\circ }$

Berechne nun die Flächen des Dreiecks $BCE$ mit der Flächenformel für das allgemeine Dreieck:

Flächeninhalt des Vierecks $ABCE$

$A_{ABCE}=A_{ABE}+A_{BCE}$ = $28{\text{cm}}^2+\mathrm{34,64}{\text{cm}}^2$

$A_{ABCE}=\mathrm{62,64}{\text{cm}}^2$

Berechnung der Länge von $[BC]$

Berechne die Strecke $BC$ mit Hilfe des Kosinussatzes.

${\overline{BC}}^2={\overline{EB}}^2+{\overline{EC}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BEC\cdot \overline{BE}\cdot \overline{CE}$

$\overline{BC}=\sqrt{{\overline{EB}}^2+{\overline{EC}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BEC\cdot \overline{BE}\cdot \overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{{\overline{EB}}^2+{\overline{EC}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BEC\cdot \overline{BE}\cdot \overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{{11}^2+{\mathrm{10,63}}^2-2\cdot \cos {\mathrm{36,33}}^{\circ }\cdot 11\cdot \mathrm{10,63}}\text{cm}$

$\overline{BC}=\sqrt{\mathrm{45,52}}\text{cm}$

$\overline{BC}=\mathrm{6,75}\text{cm}$

Berechnung der Größe des Winkels $ECB$

Berechne den Winkel $ECB$ mit Hilfe des Sinussatzes.

${\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,33}}^{\circ }}{\mathrm{6,75}\text{cm}}}={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle ECB}{\mathrm{10,63}\text{cm}}}$

$\sin \sphericalangle ECB={\displaystyle \frac{\sin {\mathrm{36,33}}^{\circ }\cdot \mathrm{10,63}\text{cm}}{\mathrm{6,75}\text{cm}}}=\mathrm{0,933}$

$\sphericalangle ECB={\mathrm{68,90}}^{\circ }$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $BCFG$

Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[FG].$

${\displaystyle \frac{\overline{FG}}{\overline{BC}}}={\displaystyle \frac{\overline{EF}}{\overline{EC}}}\Rightarrow \overline{FG}={\displaystyle \frac{\overline{BC}\cdot \overline{EF}}{\overline{EC}}}$

$\overline{FG}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,75}\text{cm}\cdot (11-3)\text{cm}}{11\text{cm}}}$

$\overline{FG}=\mathrm{4,91}\text{cm}$

Höhe $h$ im Trapez $BCFG$

Berechne jetzt die Höhe $h$ mit dem Sinus:

${\displaystyle \frac{h}{3\text{cm}}}=\sin {\mathrm{68,90}}^{\circ }\Rightarrow h=3\text{cm}\cdot \mathrm{0,933}$

$h=\mathrm{2,80}\text{cm}$

Flächeninhalt des Trapezes

Das Viereck $BCFG$ ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:

$A_{Trapez}={\displaystyle \frac{a+c}{2}}\cdot h={\displaystyle \frac{\overline{BC}+\overline{FG}}{2}}\cdot h$

$A_{BCFG}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,75}+\mathrm{4,91}}{2}}\cdot \mathrm{2,80}{\text{cm}}^2$

$A_{BCFG}=\mathrm{16,32}{\text{cm}}^2$

Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

Um den Flächeninhalt des Kreissektors $AQS$ zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke $[AR]$ berechnen.

Der Winkel $AEB={\mathrm{41,19}}^{\circ }$.

${\displaystyle \frac{\overline{AR}}{\overline{AE}}}=\sin \sphericalangle AEB\Rightarrow \overline{AR}=\overline{AE}\cdot \sin \sphericalangle AEB$; $\overline{AR}=8\text{cm}\cdot \mathrm{0,659}$

$\overline{AR}=\mathrm{5,27}\text{cm}$

Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

$A_{Sektor}={\displaystyle \frac{\sphericalangle BAE}{{360}^{\circ }}}\cdot \overline{A{R}^2}\cdot \pi$; $A_{Sektor}={\displaystyle \frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot \mathrm{27,77}{\text{cm}}^2\cdot \pi$

$A_{Sektor}=\mathrm{21,81}{\text{cm}}^2$

Schrägbild zeichnen

Zeichen zuerst die Schrägbildachse, die Strecke [$AM$] liegt auf der Schrägbildachse. Trage die Strecke [$BC$] in einem Winkel von ${45}^{\circ }$zur Schrägbildachse an und vervollständige die Pyramide.

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$, das Maß des Winkels $MAS$ sowie das Volumen der Pyramide $ABCS$.

Länge der Strecke $[AS]$

Im rechtwinkligen Dreieck $AMS$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{AS}=\sqrt{\overline{A{M}^2}+\overline{M{S}^2}}=\sqrt{9^2+{10}^2}\text{cm}$

$\overline{AS}=\sqrt{181}\text{cm}$

$\overline{AS}=\mathrm{13,45}\text{cm}$

Winkel $MAS$

Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck:

$\tan \sphericalangle MAS={\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MA}}}\Rightarrow \tan \sphericalangle MAS={\displaystyle \frac{10\text{cm}}{9\text{cm}}}$

$\tan \sphericalangle MAS=\mathrm{1,1111}$

$\sphericalangle MAS={\mathrm{48,01}}^{\circ }$

Volumen der Pyramide $ABCS$

Mit der Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt:

$V_{ABCS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

$V_{ABCS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AM}\cdot \overline{MS}\Rightarrow V_{ABCS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 12\cdot 9\cdot 10{\text{cm}}^3$

$V_{ABCS}=180{\text{cm}}^3$

Für den Punkt $D\in [AS]$ gilt: $\overline{AD}=4\text{cm}$.

Zeichne die Strecke $[DM]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechne das Maß des Winkels $DMA$.

Berechnung des Maßes des Winkels $DMA$

Berechne zuerst die Länge der Strecke $[DM]$.

${\overline{DM}}^2={\overline{AM}}^2+{\overline{AD}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle MAS\cdot \overline{AM}\cdot \overline{AD}$

$\overline{DM}=\sqrt{9^2+4^2-2\cdot \cos {\mathrm{48,01}}^{\circ }\cdot 9\cdot 4}\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{81+16-2\cdot 9\cdot 4\cdot \mathrm{0,669}}\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{\mathrm{48,832}}\text{cm}$

$\overline{DM}=\mathrm{6,99}\text{cm}$

Berechne jetzt den Winkel $DMA$

${\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle DMA}{\overline{AD}}}={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle MAS}{\overline{DM}}}\Rightarrow \sin \sphericalangle DMA={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle MAS\cdot \overline{AD}}{\overline{DM}}}$

$\sin \sphericalangle DMA={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7433}\cdot 4\text{cm}}{\mathrm{6,99}\text{cm}}}$

$\sphericalangle DMA={\mathrm{25,17}}^{\circ }$

Skizze der Pyramide

Für Punkte $R_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt:

$\overline{S{R}_n}=x\text{cm}$, ($x\in ℝ$; $0<x<10$).

Parallelen zur Strecke $[BC]$ durch die Punkte $R_n$ schneiden die Strecke $[BS]$ in den Punkten $P_n$ und die Strecke $[CS]$ in den Punkten $Q_n$. Die Dreiecke $P_{n}M{Q}_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_{n}M{Q}_{n}D$ mit der Höhe $[DF]$, wobei $F\in [MS]$ gilt.

Zeichne die Pyramide $P_{1}M{Q}_{1}D$ und die Höhe $[DF]$ für $x=5$ in das Schrägbild zu 2a) ein.

Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $P_{n}M{Q}_{n}D$ in Abhängigkeit von x gilt: $V(x)=(-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x){\text{cm}}^3$.

Berechnung von $\overline{DF}$ (die Höhe)

Mit dem Strahlensatz gilt:

${\displaystyle \frac{\overline{DF}}{\overline{AM}}}={\displaystyle \frac{\overline{AS}-\overline{AD}}{\overline{AS}}}\Rightarrow \overline{DF}={\displaystyle \frac{\overline{AM}\cdot (\overline{AS}-\overline{AD})}{\overline{AS}}}$

$\overline{DF}={\displaystyle \frac{9\cdot (\mathrm{13,45}-4)}{\mathrm{13,45}}}\text{cm}$

$\overline{DF}=\mathrm{6,32}\text{cm}$

Berechnung des Volumens

$V(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{P_n{Q}_n}\cdot \overline{M{R}_n}\cdot \overline{DF}$

Berechne $\overline{P_n{Q}_n}$ mithilfe des Strahlensatzes:

${\displaystyle \frac{\overline{P_n{Q}_n}(x)}{12\text{cm}}}={\displaystyle \frac{xcm}{10\text{cm}}}\Rightarrow \overline{P_n{Q}_n}(x)={\displaystyle \frac{12\cdot x}{10}}\text{cm}$

$\overline{P_n{Q}_n}(x)=\mathrm{1,2}\cdot x\text{cm}$

$V(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{1,2}\cdot x\cdot (10-x)\cdot \mathrm{6,32}{\text{cm}}^3$

$V(x)=\mathrm{0,2}\cdot x\cdot (\mathrm{63,2}-\mathrm{6,32}x){\text{cm}}^3$

$V(x)=(-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x){\text{cm}}^3$

Es gibt Pyramiden $P_{2}M{Q}_{2}D$ und $P_{3}M{Q}_{3}D$, deren Volumen jeweils um $90\%$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $ABCS$. Berechne die zugehörigen x-Werte.

Bestimmung der Volumina

Das Volumen der Pyramide $ABCS=180{\text{cm}}^3$

Das Volumen der Pyramiden $P_{2}M{Q}_{2}D$ und $P_{3}M{Q}_{3}D$ ist also $180{\text{cm}}^3\cdot \mathrm{0,1}=18{\text{cm}}^3$.

Lösen nach $x$

Löse die quadratische Gleichung (die mit dem Term aus Teilaufgabe (e) gegeben ist):

$-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x=180\cdot \mathrm{0,1}$

$-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x-18=0$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{12,64}\pm \sqrt{{\mathrm{12,64}}^2-4\cdot (-\mathrm{1,26})\cdot (-18)}}{2\cdot (-\mathrm{1,26})}}$

$x_1=\mathrm{1,72};x_2=\mathrm{8,31}$

$𝕃=\{\mathrm{1,72};\mathrm{8,31}\}$