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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier   zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe B1

    Die Skizze zeigt das Fünfeck ABCDEABCDE.

    Es gilt: AB=7  cm\overline{AB}= 7\;\text{cm}; AE=8  cm\overline{AE}= 8\;\text{cm}; DE=4  cm\overline{DE}= 4\;\text{cm}; CE=11  cm\overline{CE}=11\;\text{cm}; CD=9  cm\overline{CD}=9\;\text{cm};

    BAE=90°\sphericalangle{BAE}=90° ; AED=128°\sphericalangle{AED}=128°.

    Fünfeck

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Fünfeck ABCDEABCDE sowie die Strecken [BE][BE] und [CE][CE].

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [BE][BE ] und das Maß des Winkels AEB AEB. (4 P)

      [ [Teilergebnisse: BE=10,63  cm\overline{BE}=10{,}63\;\text{cm} ; AEB=41,19°\sphericalangle{AEB}=41{,}19°]]

    2. Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt des Vierecks ABCEABCE. (4 P)

      [[Zwischenergebnis: BEC=36,33°]\sphericalangle{BEC}=36{,}33°]

    3. Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecke [BC] [BC] und das Maß des Winkels ECBECB gilt: (2 P)

      BC=6,75\overline{BC}=6{,}75 cm; ECB=68,90°\sphericalangle{ECB}=68{,}90°.

    4. Die Punkte F[CE]F\in[CE] und G[BE]G\in[BE] legen die Strecke [FG][FG] fest, wobei gilt:

      [FG][BC][FG]\Vert[BC] und CF=3  cm\overline{CF}=3\;\text{cm}.

      Ergänzen Sie die Strecke [FG][FG] in der Zeichnung zu 1a) und berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks BCFGBCFG. (4 P)

    5. Ein Kreis mit dem Mittelpunkt AA berührt die Strecke [BE][BE] im Punkt RR. Er schneidet die Strecke [AB][AB] im Punkt Q Q und die Strecke [AE][AE] im Punkt SS.

      Zeichnen Sie den Kreisbogen QS\overset\frown{QS} und den Punkt RR in die Zeichnung zu 1a) ein.

      Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Sektors, der von den Strecken [AQ][AQ] und [AS][AS] sowie dem Kreisbogen QS\overset\frown{QS} begrenzt wird. (3 P)

      [[Zwischenergebnis: AR=5,27  cm\overline{AR}=5{,}27\;\text{cm}]]

  2. 2

    Aufgabe B2

    Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCSABCS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ABCABC ist. MM ist der Mittelpunkt der Basis [BC][BC]. Es gilt: AM=9\overline{AM}=9 cm; BC=12  cm \overline{BC}=12\;\text{cm} ; MS=10  cm \overline{MS}=10\;\text{cm}.

    Schrägbild Pyramide

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCSABCS, wobei die Strecke [AM][AM] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt MM liegen soll. Für die Zeichnung gilt: (2 P)

      q=12q = \dfrac{1}{2} ; ω=45\omega= 45°.

    2. Berechnen Sie die Länge der Strecke [AS][AS], das Maß des Winkels MASMAS sowie das Volumen der Pyramide ABCSABCS. (3 P)

      [[Ergebnisse: AS=13,45\overline{AS}=13{,}45; MAS=48,01°\sphericalangle{MAS}=48{,}01°; VABCS=180  cm3V_{ABCS}=180\;\text{cm}^3]]

    3. Für den Punkt D[AS]D\in[AS] gilt: AD=4  cm\overline{AD}= 4\;\text{cm}.

      Zeichnen Sie die Strecke [DM][DM] in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels DMA.DMA. (3 P)

    4. Für Punkte RnR_n auf der Strecke [MS][MS] gilt:

      SRn=x  cm\overline{SR_n}= x\;\text{cm}, (xRx\in \mathbb{R}; 0<x<100 \lt x \lt10).

      Parallelen zur Strecke [BC][BC] durch die Punkte RnR_n schneiden die Strecke [BS][BS] in den Punkten PnP_n und die Strecke [CS][CS] in den Punkten QnQ_n. Die Dreiecke PnMQnP_nMQ_n sind die Grundflächen von Pyramiden PnMQnDP_nMQ_nD mit der Höhe [DF][DF], wobei F[MS]F\in[MS] gilt.

      Zeichnen Sie die Pyramide P1MQ1DP_1MQ_1D und die Höhe [DF][DF] für x=5x=5 in das Schrägbild zu 2a) ein. (2 P)

    5. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen VVder Pyramiden PnMQnDP_nMQ_nD in Abhängigkeit von x gilt: V(x)=(1,26x2+12,64x)  cm3V(x)=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3. (4 P)

      [[Zwischenergebnis: DF=6,32  cm\overline{DF}=6{,}32\;\text{cm}]]

    6. Es gibt Pyramiden P2MQ2DP_2MQ_2D und P3MQ3DP_3MQ_3D, deren Volumen jeweils um 90  %90\;\% kleiner ist als das Volumen der Pyramide ABCSABCS.

      Berechnen Sie die zugehörigen x-Werte. (3 P)


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