Teil B

Zeichnen des Fünfecks

(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel $\measuredangle EDC$ berechnen und einzeichnen.)

Länge von $[BE]$, Winkel $\measuredangle AEB$

Berechne die Länge der Strecke $[BE]$ und das Maß des Winkels $\measuredangle AEB$

$\overline{BE} =\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AE}^2};\ \ \ \ \ \overline{BE}=\sqrt{{7}^2+{8}^2}\ cm$

$\overline{BE}=\ 10{,}63\ cm$

Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel $\measuredangle AEB$ berechnet werden:

$\displaystyle\tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tan\measuredangle\mathrm{AEB}=\frac{7}{8}$

$\measuredangle\mathrm{AEB}=41{,}19^{\circ}$

Flächeninhalt des Vierecks

Flächeninhalt des Dreiecks $ABE:$

${A}_{ABE}$= $\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{AE}}{2}$;${A}_{ABE}= \dfrac{7\cdot8}{2}\;\text{cm}^2$

${A}_{ABE}= 28\;\text{cm}^2$

Flächeninhalt des Dreiecks $BCE:$

Berechne zuerst den Winkel $BEC$.

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{AED}-\measuredangle \mathrm{AEB}-\measuredangle \mathrm{CED}$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{128^\circ}-\measuredangle \mathrm{41{,}19^\circ}-\measuredangle \mathrm{CED}$

Berechne den Winkel $\measuredangle{CED}$ mit dem Kosinussatz:

$9^2=11^2+4^2-2\cdot11\cdot\cos\measuredangle{CED}\Rightarrow$

$\displaystyle\cos\measuredangle{CED}=\frac{121+16-81}{88}=0{,}6363$

$\measuredangle \mathrm{CED}= 50{,}48^\circ$

$\measuredangle \mathrm{BEC}=\measuredangle \mathrm{128^\circ}-\measuredangle \mathrm{41{,}19^\circ}-\measuredangle \mathrm{50{,}48^\circ}$

$\measuredangle \mathrm{BEC}= 36{,}33^\circ$

Berechne nun die Flächen des Dreiecks $BCE$ mit der Flächenformel für das allgemeine Dreieck:

Flächeninhalt des Vierecks $ABCE$

${A}_{ABCE}= {A}_{ABE}+{A}_{BCE}$ = $28\;\text{cm}^2+34{,}64\;\text{cm}^2$

${{A}}_{ABCE}= 62{,}64\;\text{cm}^2$

Berechnung der Länge von $[BC]$

Berechne die Strecke $BC$ mit Hilfe des Kosinussatzes.

$\overline{BC}^2=\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}$

$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{\overline{EB}^2+\overline{EC}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BEC}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{CE}}$

$\overline{BC}=\sqrt{11^2+10{,}63^2-2\cdot\cos36{,}33^{\circ}\cdot11\cdot10{,}63} \;\text{cm}$

$\overline{BC}=\sqrt{45{,}52}\,\text{cm}$

$\overline{BC}= 6{,}75\;\text{cm}$

Berechnung der Größe des Winkels $ECB$

Berechne den Winkel $ECB$ mit Hilfe des Sinussatzes.

$\dfrac{\sin36{,}33^\circ}{6{,}75\;\text{cm}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{ECB}}{10{,}63\;\text{cm}}$

$\sin\sphericalangle{ECB}=\dfrac{\sin36{,}33^\circ\cdot10{,}63\;\text{cm}}{6{,}75\;\text{cm}}=0{,}933$

$\sphericalangle{ECB}\ =\ 68{,}90^\circ$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $BCFG$

Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke $[FG].$

$\dfrac{\overline{FG}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{EF}}{\overline{EC}}\ \ \Rightarrow\ \ \overline{FG}=\dfrac{\overline{BC}\cdot\overline{EF}}{\overline{EC}}$

$\overline{FG}=\dfrac{{6{,}75\;\text{cm}}\cdot{(11-3)\;\text{cm}}}{{11\;\text{cm}}}$

$\overline{FG}=4{,}91\;\text{cm}$

Höhe $h$ im Trapez $BCFG$

Berechne jetzt die Höhe ${h}$ mit dem Sinus:

$\dfrac{h}{3\;\text{cm}}=\sin68{,}90^\circ\Rightarrow\ h=3\;\text{cm}\cdot0{,}933$

$h=2{,}80\;\text{cm}$

Flächeninhalt des Trapezes

Das Viereck $BCFG$ ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:

$A_{Trapez}= \dfrac{a+c}{2}\cdot{h}=\dfrac{\overline{BC}+\overline{FG}}{2}\cdot h$

$A_{BCFG}= \dfrac{6{,}75+4{,}91}{2}\cdot{2{,}80\;\text{cm}^2}$

$A_{BCFG}= 16{,}32\;\text{cm}^2$

Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

Um den Flächeninhalt des Kreissektors $AQS$ zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke $[AR]$ berechnen.

Der Winkel $AEB= 41{,}19^\circ$.

$\dfrac{\overline{AR}}{\overline{AE}}=\sin\sphericalangle{AEB}\ \Rightarrow\overline{AR}=\overline{AE}\cdot\sin\sphericalangle{AEB}$; $\overline{AR}=8\;\text{cm}\cdot0{,}659$

$\overline{AR}= 5{,}27\;\text{cm}$

Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor $AQS$.

$A_{Sektor}= \dfrac{\sphericalangle{BAE}}{{360^\circ}}\cdot\overline{AR^2}\cdot\large\pi$; $A_{Sektor}= \dfrac{90^\circ}{{360^\circ}}\cdot{27{,}77\;\text{cm}^2}\cdot\large\pi$

$A_{Sektor}=21{,}81\;\text{cm}^2$

Schrägbild zeichnen

Zeichen zuerst die Schrägbildachse, die Strecke [$AM$] liegt auf der Schrägbildachse. Trage die Strecke [$BC$] in einem Winkel von $45^\circ$zur Schrägbildachse an und vervollständige die Pyramide.

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$, das Maß des Winkels $MAS$ sowie das Volumen der Pyramide $ABCS$.

Länge der Strecke $[AS]$

Im rechtwinkligen Dreieck $AMS$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{AS}=\sqrt{\overline{AM^2}+\overline{MS^2}}=\sqrt{{9^2}+{10^2}}\;\text{cm}$

$\overline{AS}=\sqrt{181}\;\text{cm}$

$\overline{AS}= 13{,}45\;\text{cm}$

Winkel $MAS$

Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck:

$\tan\sphericalangle{MAS}=\dfrac{\overline{MS}}{\overline{MA}}\Rightarrow\tan\sphericalangle{MAS}=\dfrac{10\;\text{cm}}{9\;\text{cm}}$

$\tan\sphericalangle{MAS}=1{,}1111$

$\sphericalangle{MAS}=48{,}01^\circ$

Volumen der Pyramide $ABCS$

Mit der Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt:

$V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{G}\cdot{h}$

$V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}}\cdot\overline{AM}\cdot{\overline{MS}}\Rightarrow V_{ABCS}=\dfrac{1}{3}\cdot{\dfrac{1}{2}}\cdot{12}\cdot{9}\cdot{10}\;\text{cm}^3$

$V_{ABCS}=180\;\text{cm}^3$

Für den Punkt $D\in[AS]$ gilt: $\overline{AD}= 4\;\text{cm}$.

Zeichne die Strecke $[DM]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechne das Maß des Winkels $DMA$.

Berechnung des Maßes des Winkels $DMA$

Berechne zuerst die Länge der Strecke $[DM]$.

$\overline{DM}^2=\overline{AM}^2+\overline{AD}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{MAS}\cdot\overline{AM}\cdot\overline{AD}$

$\overline{DM}=\sqrt{{9}^2+{4}^2-2\cdot\cos48{,}01^\circ\cdot{9}\cdot{4}}\;\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{81+16-{2}\cdot{9}\cdot{4}\cdot{0{,}669}}\;\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{48{,}832}\;\text{cm}$

$\overline{DM}=6{,}99\;\text{cm}$

Berechne jetzt den Winkel $DMA$

$\dfrac{\sin\sphericalangle{DMA}}{\overline{AD}}=\dfrac{\sin\sphericalangle{MAS}}{\overline{DM}}\Rightarrow\sin\sphericalangle{DMA}=\dfrac{\sin\sphericalangle{MAS}\cdot\overline{AD}}{\overline{DM}}$

$\sin\sphericalangle{DMA}=\dfrac{{0{,}7433}\cdot{4\;\text{cm}}}{6{,}99\;\text{cm}}$

$\sphericalangle{DMA}=25{,}17^\circ$

Skizze der Pyramide

Für Punkte $R_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt:

$\overline{SR_n}= x\;\text{cm}$, ($x\in \mathbb{R}$; $0 \lt x \lt10$).

Parallelen zur Strecke $[BC]$ durch die Punkte $R_n$ schneiden die Strecke $[BS]$ in den Punkten $P_n$ und die Strecke $[CS]$ in den Punkten $Q_n$. Die Dreiecke $P_nMQ_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_nMQ_nD$ mit der Höhe $[DF]$, wobei $F\in[MS]$ gilt.

Zeichne die Pyramide $P_1MQ_1D$ und die Höhe $[DF]$ für $x=5$ in das Schrägbild zu 2a) ein.

Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $P_nMQ_nD$ in Abhängigkeit von x gilt: $V(x)=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$.

Berechnung von $\overline{DF}$ (die Höhe)

Mit dem Strahlensatz gilt:

$\dfrac{\overline{DF}}{\overline{AM}}=\dfrac{\overline{AS}-\overline{AD}}{\overline{AS}}\ \Rightarrow\ \overline{DF}=\dfrac{\overline{AM}\cdot(\overline{AS}-\overline{AD})}{\overline{AS}}$

$\overline{DF}=\dfrac{{9}\cdot({13{,}45}-{4})}{{13{,}45}}\;\text{cm}$

$\overline{DF}=6{,}32\;\text{cm}$

Berechnung des Volumens

$V{(x)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\overline{P_{n}Q_{n}}\cdot\overline{MR_{n}}\cdot\overline{DF}$

Berechne $\ \overline{P_{n}Q_{n}}$ mithilfe des Strahlensatzes:

$\dfrac{\overline{P_{n}Q_{n}}(x)}{12\;\text{cm}}=\dfrac{x\ cm}{10\;\text{cm}}\ \Rightarrow\overline{P_{n}Q_{n}}(x)= \dfrac{12 \cdot\ x}{10}\;\text{cm}$

$\overline{P_{n}Q_{n}}(x)=1{,}2\cdot{x}\;\text{cm}$

$V{(x)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1{,}2\cdot{x}\cdot(10-x)\cdot6{,}32\;\text{cm}^3$

$V{(x)}=0{,}2\cdot{x}\cdot(63{,}2-6{,}32x)\;\text{cm}^3$

$V{(x)}=(-1{,}26x^2+12{,}64x)\;\text{cm}^3$

Es gibt Pyramiden $P_2MQ_2D$ und $P_3MQ_3D$, deren Volumen jeweils um $90\;\%$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $ABCS$. Berechne die zugehörigen x-Werte.

Bestimmung der Volumina

Das Volumen der Pyramide $ABCS=180\;\text{cm}^3$

Das Volumen der Pyramiden $P_2MQ_2D$ und $P_3MQ_3D$ ist also $180\;\text{cm}^3\cdot 0{,}1=18\;\text{cm}^3$.

Lösen nach $x$

Löse die quadratische Gleichung (die mit dem Term aus Teilaufgabe (e) gegeben ist):

$-1{,}26x^2+12{,}64x=180\cdot{0{,}1}$

$-1{,}26x^2+12{,}64x-18=0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-12{,}64\ \pm\ \sqrt{12{,}64^2\ -\ 4\cdot(-1{,}26)\cdot(-18)}}{2\cdot(-1{,}26)}$

$x_{1}=1{,}72;\ \ x_{2}=8{,}31$

$\mathbb{L}=\left\{1{,}72;\ 8{,}31\right\}$