Schrägbild zeichnen

Zeichen zuerst die Schrägbildachse, die Strecke [$AM$] liegt auf der Schrägbildachse. Trage die Strecke [$BC$] in einem Winkel von ${45}^{\circ }$zur Schrägbildachse an und vervollständige die Pyramide.

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$, das Maß des Winkels $MAS$ sowie das Volumen der Pyramide $ABCS$.

Länge der Strecke $[AS]$

Im rechtwinkligen Dreieck $AMS$ gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$\overline{AS}=\sqrt{\overline{A{M}^2}+\overline{M{S}^2}}=\sqrt{9^2+{10}^2}\text{cm}$

$\overline{AS}=\sqrt{181}\text{cm}$

$\overline{AS}=\mathrm{13,45}\text{cm}$

Winkel $MAS$

Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck:

$\tan \sphericalangle MAS={\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{MA}}}\Rightarrow \tan \sphericalangle MAS={\displaystyle \frac{10\text{cm}}{9\text{cm}}}$

$\tan \sphericalangle MAS=\mathrm{1,1111}$

$\sphericalangle MAS={\mathrm{48,01}}^{\circ }$

Volumen der Pyramide $ABCS$

Mit der Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt:

$V_{ABCS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

$V_{ABCS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AM}\cdot \overline{MS}\Rightarrow V_{ABCS}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 12\cdot 9\cdot 10{\text{cm}}^3$

$V_{ABCS}=180{\text{cm}}^3$

Für den Punkt $D\in [AS]$ gilt: $\overline{AD}=4\text{cm}$.

Zeichne die Strecke $[DM]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechne das Maß des Winkels $DMA$.

Berechnung des Maßes des Winkels $DMA$

Berechne zuerst die Länge der Strecke $[DM]$.

${\overline{DM}}^2={\overline{AM}}^2+{\overline{AD}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle MAS\cdot \overline{AM}\cdot \overline{AD}$

$\overline{DM}=\sqrt{9^2+4^2-2\cdot \cos {\mathrm{48,01}}^{\circ }\cdot 9\cdot 4}\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{81+16-2\cdot 9\cdot 4\cdot \mathrm{0,669}}\text{cm}$

$\overline{DM}=\sqrt{\mathrm{48,832}}\text{cm}$

$\overline{DM}=\mathrm{6,99}\text{cm}$

Berechne jetzt den Winkel $DMA$

${\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle DMA}{\overline{AD}}}={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle MAS}{\overline{DM}}}\Rightarrow \sin \sphericalangle DMA={\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle MAS\cdot \overline{AD}}{\overline{DM}}}$

$\sin \sphericalangle DMA={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7433}\cdot 4\text{cm}}{\mathrm{6,99}\text{cm}}}$

$\sphericalangle DMA={\mathrm{25,17}}^{\circ }$

Skizze der Pyramide

Für Punkte $R_n$ auf der Strecke $[MS]$ gilt:

$\overline{S{R}_n}=x\text{cm}$, ($x\in ℝ$; $0<x<10$).

Parallelen zur Strecke $[BC]$ durch die Punkte $R_n$ schneiden die Strecke $[BS]$ in den Punkten $P_n$ und die Strecke $[CS]$ in den Punkten $Q_n$. Die Dreiecke $P_{n}M{Q}_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $P_{n}M{Q}_{n}D$ mit der Höhe $[DF]$, wobei $F\in [MS]$ gilt.

Zeichne die Pyramide $P_{1}M{Q}_{1}D$ und die Höhe $[DF]$ für $x=5$ in das Schrägbild zu 2a) ein.

Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $P_{n}M{Q}_{n}D$ in Abhängigkeit von x gilt: $V(x)=(-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x){\text{cm}}^3$.

Berechnung von $\overline{DF}$ (die Höhe)

Mit dem Strahlensatz gilt:

${\displaystyle \frac{\overline{DF}}{\overline{AM}}}={\displaystyle \frac{\overline{AS}-\overline{AD}}{\overline{AS}}}\Rightarrow \overline{DF}={\displaystyle \frac{\overline{AM}\cdot (\overline{AS}-\overline{AD})}{\overline{AS}}}$

$\overline{DF}={\displaystyle \frac{9\cdot (\mathrm{13,45}-4)}{\mathrm{13,45}}}\text{cm}$

$\overline{DF}=\mathrm{6,32}\text{cm}$

Berechnung des Volumens

$V(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{P_n{Q}_n}\cdot \overline{M{R}_n}\cdot \overline{DF}$

Berechne $\overline{P_n{Q}_n}$ mithilfe des Strahlensatzes:

${\displaystyle \frac{\overline{P_n{Q}_n}(x)}{12\text{cm}}}={\displaystyle \frac{xcm}{10\text{cm}}}\Rightarrow \overline{P_n{Q}_n}(x)={\displaystyle \frac{12\cdot x}{10}}\text{cm}$

$\overline{P_n{Q}_n}(x)=\mathrm{1,2}\cdot x\text{cm}$

$V(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{1,2}\cdot x\cdot (10-x)\cdot \mathrm{6,32}{\text{cm}}^3$

$V(x)=\mathrm{0,2}\cdot x\cdot (\mathrm{63,2}-\mathrm{6,32}x){\text{cm}}^3$

$V(x)=(-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x){\text{cm}}^3$

Es gibt Pyramiden $P_{2}M{Q}_{2}D$ und $P_{3}M{Q}_{3}D$, deren Volumen jeweils um $90\%$ kleiner ist als das Volumen der Pyramide $ABCS$. Berechne die zugehörigen x-Werte.

Bestimmung der Volumina

Das Volumen der Pyramide $ABCS=180{\text{cm}}^3$

Das Volumen der Pyramiden $P_{2}M{Q}_{2}D$ und $P_{3}M{Q}_{3}D$ ist also $180{\text{cm}}^3\cdot \mathrm{0,1}=18{\text{cm}}^3$.

Lösen nach $x$

Löse die quadratische Gleichung (die mit dem Term aus Teilaufgabe (e) gegeben ist):

$-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x=180\cdot \mathrm{0,1}$

$-\mathrm{1,26}{x}^2+\mathrm{12,64}x-18=0$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{12,64}\pm \sqrt{{\mathrm{12,64}}^2-4\cdot (-\mathrm{1,26})\cdot (-18)}}{2\cdot (-\mathrm{1,26})}}$

$x_1=\mathrm{1,72};x_2=\mathrm{8,31}$

$𝕃=\{\mathrm{1,72};\mathrm{8,31}\}$