Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ sowie die Strecke $\left[BD\right]$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD$.

Damit Du den Umfang des Vierecks $ABCD$ berechnen kannst, musst Du zuerst die Seite $AD$ berechnen.

$\overline{DA}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BD}^2}\Rightarrow\overline{DA}=\sqrt{36+81}\;\text{cm}$

$\overline{DA}=10{,}82\;\text{cm}$

Berechne jetzt den Umfang des Vierecks $ABCD.$

$u_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\Rightarrow U_{ABCD}=(6+9+7+10{,}82)\;\text{cm}$

$u_{ABCD}=32{,}82\;\text{cm}$

Berechne das Maß des Winkels $BDC\$mit dem $Kosinussatz.$

$\overline{BC}^2=\overline{CD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BDC}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}$

$\Rightarrow\;\cos\sphericalangle{BDC}=\dfrac{\overline{CD}^2+\overline{BD}^2-\overline{BC}^2}{2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}}$

$\cos\sphericalangle{BDC}=\dfrac{49+81-81\ }{2\cdot7\cdot9\ }\ \Rightarrow\cos\sphericalangle{BDC}=0{,}3889$

$\sphericalangle{BDC}=67{,}11^\circ$

Die Strecke $[CE]$ mit $E∈[BD]$ ist senkrecht zur Strecke $[BD]$. Ergänze die Zeichnung zu 1a) um die Strecke $[CE]$.

Bestimme rechnerisch die Längen der Strecken $[CE]$und $[DE]$.

Im Dreieck $BCD$ gilt, $\overline{BC}=\overline{BD}$ und $\sphericalangle{BDC}=\sphericalangle{BCD}=67{,}11^\circ$

Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[CE]$

$\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\sin\sphericalangle{BDC}\Rightarrow\ \ \overline{CE}=\overline{CD}\cdot\sin\sphericalangle{BDC}$; $\ \ \overline{CE}=7\;\text{cm}\cdot\sin67{,}11^\circ$

$\overline{CE}=7\;\text{cm}\cdot0{,}9213$

$\overline{CE}=6{,}45\;\text{cm}$

Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[CD].$

$\overline{DE}^2= \overline{CD}^2-\overline{CE}^2\Rightarrow\ \overline{DE}=\sqrt{\overline{CD}^2-\overline{CE}^2}$; $\overline{DE}=\sqrt{49-41{,}60}\;\text{cm}$

$\overline{DE}=\sqrt{7{,}40}\;\text{cm}$

$\overline{DE}=2{,}72\;\text{cm}$

Die Strecke $[EN]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $E$ zur Strecke $[BC]$. Zeichne die Strecke$[EN]$ in die Zeichnung zu 1a) ein und berechne deren Länge.

Zeichne die Strecke $[EN]$ ein.

Berechne die Länge der Strecke $[EN]$

Berechne zuerst den Winkel $CBD$. Das Dreieck $BCD$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da: $\overline{BD}=\overline{BC}$.

$\sphericalangle{CDB}=\sphericalangle{BCD}=67{,}11^\circ$

$\sphericalangle{CBD}=180^\circ-2\cdot67{,}11^\circ$

$\sphericalangle{CBD}=45{,}78^\circ$

$\overline{BE}=\overline{BD}-\overline{DE}\Rightarrow\overline{BE}=9\;\text{cm}-2{,}72\;\text{cm}=6{,}28\;\text{cm}$

$\dfrac{\overline{EN}}{\overline{BE}}=\sin\sphericalangle{CBD}\Rightarrow\overline{EN}=\overline{BE}\cdot\sin\sphericalangle{CBD}$

$\overline{EN}=6{,}28\;\text{cm}\cdot\sin{45{,}78}^\circ;\ \ \ \overline{EN}=6{,}28\;\text{cm}\cdot0{,}7167$

$\overline{EN}=4{,}50\;\text{cm}$

Der Kreis mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $r=\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[CD]$ im Punkt $F$. Ergänze in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$. Berechne sodann den Flächeninhalt der Figur $BCFE$, die durch die Strecken $[EB]$, $[BC]$, $[CF]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt wird.

Flächeninhalt der Figur $BCFE$= Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$$-$ Flächeninhalt des Kreissektors.

Flächeninhalt Dreieck $BCD$.

$A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}\cdot\sin\sphericalangle{CDE}\Rightarrow\ A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot7\cdot9\cdot\sin67{,}11^\circ\ \text{cm}^2$

$A_{BCD}=29{,}02\ \text{cm}^2$

Flächeninhalt des Kreissektors.

$A_{\text{Kreissektor}}=\dfrac{\sphericalangle{CDE}}{360^\circ}\cdot\overline{DE}^2\cdot\pi\ \text{cm}^2\Rightarrow\ A_{\text{Kreissektor}}=\dfrac{67{,}11^\circ}{360^\circ}\cdot2{,}72^2\cdot\pi\ \ \text{cm}^2$

$A_{\text{Kreissektor}}=0{,}1864\cdot7{,}3984\cdot\pi\ \text{cm}^2$

$A_{\text{Kreissektor}}=4{,}33\ \text{ cm}^2$

$A_{BCFE}=\ A_{BCD}-A_{\text{Kreissektor}}$

$A_{BCFE}=29{,}02\ \text{cm}^2-4{,}33\ \text{cm}^2$

$A_{BCFE}=24{,}69\ \text{cm}^2$