Nachtermin Teil B

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ sowie die Strecke $\left[BD\right]$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD$.

Damit Du den Umfang des Vierecks $ABCD$ berechnen kannst, musst Du zuerst die Seite $AD$ berechnen.

$\overline{DA}=\sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{BD}}^2}\Rightarrow \overline{DA}=\sqrt{36+81}\text{cm}$

$\overline{DA}=\mathrm{10,82}\text{cm}$

Berechne jetzt den Umfang des Vierecks $ABCD.$

$u_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\Rightarrow U_{ABCD}=(6+9+7+\mathrm{10,82})\text{cm}$

$u_{ABCD}=\mathrm{32,82}\text{cm}$

Berechne das Maß des Winkels $BDC$mit dem $Kosinussatz.$

${\overline{BC}}^2={\overline{CD}}^2+{\overline{BD}}^2-2\cdot \cos \sphericalangle BDC\cdot \overline{CD}\cdot \overline{BD}$

$\Rightarrow \cos \sphericalangle BDC={\displaystyle \frac{{\overline{CD}}^2+{\overline{BD}}^2-{\overline{BC}}^2}{2\cdot \overline{CD}\cdot \overline{BD}}}$

$\cos \sphericalangle BDC={\displaystyle \frac{49+81-81}{2\cdot 7\cdot 9}}\Rightarrow \cos \sphericalangle BDC=\mathrm{0,3889}$

$\sphericalangle BDC={\mathrm{67,11}}^{\circ }$

Die Strecke $[CE]$ mit $E\in [BD]$ ist senkrecht zur Strecke $[BD]$. Ergänze die Zeichnung zu 1a) um die Strecke $[CE]$.

Bestimme rechnerisch die Längen der Strecken $[CE]$und $[DE]$.

Im Dreieck $BCD$ gilt, $\overline{BC}=\overline{BD}$ und $\sphericalangle BDC=\sphericalangle BCD={\mathrm{67,11}}^{\circ }$

Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[CE]$

${\displaystyle \frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}}=\sin \sphericalangle BDC\Rightarrow \overline{CE}=\overline{CD}\cdot \sin \sphericalangle BDC$; $\overline{CE}=7\text{cm}\cdot \sin {\mathrm{67,11}}^{\circ }$

$\overline{CE}=7\text{cm}\cdot \mathrm{0,9213}$

$\overline{CE}=\mathrm{6,45}\text{cm}$

Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[CD].$

${\overline{DE}}^2={\overline{CD}}^2-{\overline{CE}}^2\Rightarrow \overline{DE}=\sqrt{{\overline{CD}}^2-{\overline{CE}}^2}$; $\overline{DE}=\sqrt{49-\mathrm{41,60}}\text{cm}$

$\overline{DE}=\sqrt{\mathrm{7,40}}\text{cm}$

$\overline{DE}=\mathrm{2,72}\text{cm}$

Die Strecke $[EN]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $E$ zur Strecke $[BC]$. Zeichne die Strecke$[EN]$ in die Zeichnung zu 1a) ein und berechne deren Länge.

Zeichne die Strecke $[EN]$ ein.

Berechne die Länge der Strecke $[EN]$

Berechne zuerst den Winkel $CBD$. Das Dreieck $BCD$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da: $\overline{BD}=\overline{BC}$.

$\sphericalangle CDB=\sphericalangle BCD={\mathrm{67,11}}^{\circ }$

$\sphericalangle CBD={180}^{\circ }-2\cdot {\mathrm{67,11}}^{\circ }$

$\sphericalangle CBD={\mathrm{45,78}}^{\circ }$

$\overline{BE}=\overline{BD}-\overline{DE}\Rightarrow \overline{BE}=9\text{cm}-\mathrm{2,72}\text{cm}=\mathrm{6,28}\text{cm}$

${\displaystyle \frac{\overline{EN}}{\overline{BE}}}=\sin \sphericalangle CBD\Rightarrow \overline{EN}=\overline{BE}\cdot \sin \sphericalangle CBD$

$\overline{EN}=\mathrm{6,28}\text{cm}\cdot \sin {\mathrm{45,78}}^{\circ };\overline{EN}=\mathrm{6,28}\text{cm}\cdot \mathrm{0,7167}$

$\overline{EN}=\mathrm{4,50}\text{cm}$

Der Kreis mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $r=\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[CD]$ im Punkt $F$. Ergänze in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen $\stackrel{⌢}{E}$. Berechne sodann den Flächeninhalt der Figur $BCFE$, die durch die Strecken $[EB]$, $[BC]$, $[CF]$ und den Kreisbogen $\stackrel{⌢}{E}$ begrenzt wird.

Flächeninhalt der Figur $BCFE$= Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$$-$ Flächeninhalt des Kreissektors.

Flächeninhalt Dreieck $BCD$.

$A_{BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{BD}\cdot \sin \sphericalangle CDE\Rightarrow A_{BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 7\cdot 9\cdot \sin {\mathrm{67,11}}^{\circ }{\text{cm}}^2$

$A_{BCD}=\mathrm{29,02}{\text{cm}}^2$

Flächeninhalt des Kreissektors.

$A_{\text{Kreissektor}}={\displaystyle \frac{\sphericalangle CDE}{{360}^{\circ }}}\cdot {\overline{DE}}^2\cdot \pi {\text{cm}}^2\Rightarrow A_{\text{Kreissektor}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{67,11}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\cdot {\mathrm{2,72}}^2\cdot \pi {\text{cm}}^2$

$A_{\text{Kreissektor}}=\mathrm{0,1864}\cdot \mathrm{7,3984}\cdot \pi {\text{cm}}^2$

$A_{\text{Kreissektor}}=\mathrm{4,33}{\text{ cm}}^2$

$A_{BCFE}=A_{BCD}-A_{\text{Kreissektor}}$

$A_{BCFE}=\mathrm{29,02}{\text{cm}}^2-\mathrm{4,33}{\text{cm}}^2$

$A_{BCFE}=\mathrm{24,69}{\text{cm}}^2$

Zeiche zuerst die Schrägbildachse, trage dann die Strecke $[BD]$ im Winkel $\omega ={45}^{\circ }$ zur Schrägbildachse an.

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$.

${\overline{AS}}^2={\overline{AM}}^2+{\overline{MS}}^2\Rightarrow \overline{AS}=\sqrt{{\overline{AM}}^2+{\overline{MS}}^2}$

$\overline{AS}=\sqrt{9^2+8^2}\text{cm}$

$\overline{AS}=\mathrm{12,04}\text{cm}$

Berechne das Maß des Winkels $SCA.$

$\tan \sphericalangle SCA={\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{AC}-\overline{AM}}}\Rightarrow \tan \sphericalangle SCA={\displaystyle \frac{8}{13-9}}$

$\tan \sphericalangle SCA=$2

$\sphericalangle SCA={\mathrm{63,43}}^{\circ }$

Einzeichnen des Punktes $N$ und der Strecke $[AF]$.

Berechnen des Winkles $CAF$.

$\tan \sphericalangle CAF={\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AM}}};\tan \sphericalangle CAF={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{9}}$

$\sphericalangle CAF={\mathrm{15,52}}^{\circ }$

Zeichne die Strecke $[EG]$ und das Drachenviereck in die Pyramide $ABCDS$.

Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks $AEFG$.

Berechne die Strecke $[AF]$.

${\displaystyle \frac{\overline{AF}}{\sin \sphericalangle SCA}}={\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\sin \sphericalangle CFA}};{\displaystyle \frac{\overline{AF}}{\sin {\mathrm{63,43}}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{13\text{cm}}{\sin ({180}^{\circ }-{\mathrm{63,43}}^{\circ }-{\mathrm{15,52}}^{\circ })}}$

$\overline{AF}={\displaystyle \frac{13\text{cm}\cdot \mathrm{0,8944}}{\mathrm{0,9815}}}\overline{AF}=\mathrm{11,85}\text{cm}$

Berechne die Strecke $[EF]$.

${\displaystyle \frac{\overline{MS}}{\overline{BD}}}={\displaystyle \frac{\overline{SN}}{\overline{EG}}};\overline{EG}={\displaystyle \frac{\overline{SN}\cdot \overline{BD}}{\overline{MS}}}$

$\overline{EG}={\displaystyle \frac{(8\text{cm}-\mathrm{2,5}\text{cm})\cdot 12\text{cm}}{8\text{cm}}}\overline{EG}=\mathrm{8,25}\text{cm}$

Flächeninhalt des Drachenvierecks: $AEFG={\displaystyle \frac{\overline{AF}\cdot \overline{EG}}{2}}$

$A_{AEFG}={\displaystyle \frac{\mathrm{11,85}\text{cm}\cdot \mathrm{8,25}\text{cm}}{2}}$

$A_{AEFG}=\mathrm{48,88}{\text{cm}}^2$

Zeichne die Pyramide $AEFG{P}_1$ und die Strecke $[P_1{Q}_1]$in das Schrägbild ein.

Zeige, dass für die Pyramidenhöhen $[P_n{Q}_n]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:

$\overline{P_n{Q}_n}(x)=\mathrm{0,44}\cdot x\text{cm}$

Im Dreieck $P_n{Q}_{n}A$ gilt: $\sin \sphericalangle Q_{n}A{P}_n={\displaystyle \frac{\overline{P_n{Q}_n}}{\overline{A{P}_n}}}$

$\sphericalangle Q_{n}A{P}_n=\sphericalangle CAS-\sphericalangle CAF$

$\tan \sphericalangle CAS={\displaystyle \frac{\overline{SM}}{\overline{AM}}}={\displaystyle \frac{8\text{cm}}{9\text{cm}}};\tan \sphericalangle CAS=\mathrm{0,8889}$

$\sphericalangle CAS={\mathrm{41,63}}^{\circ }$

$\sphericalangle Q_{n}A{P}_n={\mathrm{41,63}}^{\circ }-{\mathrm{15,52}}^{\circ }$

$\sphericalangle Q_{n}A{P}_n={\mathrm{26,11}}^{\circ }$

$\sin {\mathrm{26,11}}^{\circ }={\displaystyle \frac{\overline{P_n{Q}_n}}{x(\text{cm})}}\Rightarrow \overline{P_n{Q}_n}=\sin {\mathrm{26,11}}^{\circ }\cdot x(\text{cm})$

$\overline{P_n{Q}_n}(x)=\mathrm{0,44}\cdot x(\text{cm})x\in ℝ;0<x\le \mathrm{12,04}$

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$

Gegeben ist:

$G=\mathrm{48,88}{\text{cm}}^2;h=\mathrm{0,44}\cdot x\text{cm};V=14{\text{cm}}^3$

$V(x)=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{48,88}{\text{cm}}^2\cdot \mathrm{0,44}\cdot x\text{cm};V(x)=\mathrm{7,17}{\text{cm}}^2\cdot x\text{cm}$

$V(x)=\mathrm{7,17}{\text{cm}}^2\cdot x\text{cm};14{\text{cm}}^3=\mathrm{7,17}\cdot x{\text{cm}}^3$

$x=\mathrm{1,95}$