Nachtermin Teil B

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ sowie die Strecke $[BD]$. Berechnen Sie sodann den Umfang des Vierecks $ABCD$. (4 P)

Berechnen Sie das Maß des Winkels $BDC$. (2 P)

$[$Ergebnis: $\sphericalangle{BDC}=67{,}11°$$]$

Die Strecke $[CE]$ mit $E\in[BD]$ ist senkrecht zur Strecke $[BD]$. Ergänzen Sie die Zeichnung zu 1a) um die Strecke $[CE]$. Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Längen der Strecken $[CE]$ und $[DE]$. (3 P)

$[$Teilergebnisse: $\overline{CE}=6{,}45\;\text{cm}$; $\overline{DE}=2{,}72\;\text{cm}$$]$

Die Strecke $[EN]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $E$ zur Strecke $[BC]$. Zeichnen Sie die Strecke $[EN]$ in die Zeichnung zu 1a) ein und berechnen Sie deren Länge. (4 P)

Der Kreis mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $r=\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[CD]$ im Punkt $F$.

Ergänzen Sie in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Figur $BCFE$, die durch die Strecken $[EB]$, $[BC]$, $[CF]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt wird. (3 P)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei die Strecke $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega = 45°$.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[AS]$ und das Maß des Winkels SCA. (4 P)

$[$Teilergebnisse: $\overline{AS}=12{,}04\;\text{cm}$; $\sphericalangle{SCA}=63{,}43°$$]$

Der Punkt $N$ liegt auf der Strecke $[MS]$ mit $\overline{MN}=2{,}5\;\text{cm}$. Der Punkt $F$ ist der Schnittpunkt der Halbgeraden $[AN$ mit der Strecke $[CS]$. Zeichnen Sie den Punkt $N$ und die Strecke $[AF]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels $CAF$. (2 P)

$[$Teilergebnis: $\sphericalangle{CAF}=15{,}52°$$]$

Der Punkt $N$ ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks $AEFG$ mit den Diagonalen $[AF]$ und $[EG]$, wobei gilt:

$E\in[BS)$, $G\in[DS]$ und $[EG] \Vert[BD]$.

Zeichnen Sie die Strecke $[EG]$ und das Drachenviereck $AEFG$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{AEFG}$ des Drachenvierecks $AEFG$. (5 P)

$[$Teilergebnis: $A_{AEFG}=48{,}88\;\text{cm}^2$$]$

Für Punkte $P_n\in[AS]$ gilt: $\overline{AP_n}(x)=x\;\text{cm}$ ($x\in\mathbb{R} ; 0 \lt x \le12{,}04$). Sie sind die Spitzen von Pyramiden $AEFGP_n$ mit den Höhenfußpunkten $Q_n\in[AF]$. Zeichnen Sie die Pyramide $AEFGP_1$ und die Pyramidenhöhe $[P_1Q_1]$ für $x=7$ in das Schrägbild zu 2a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Pyramidenhöhen $[P_nQ_n]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $\overline{P_nQ_n}(x)= 0{,}44\cdot x\;\text{cm}$. (4 P)

Das Volumen der Pyramide $AEFGP_2$ beträgt $14\;\text{cm}^3$.

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$. (2 P)