Nachtermin Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
Die Skizze zeigt das Viereck $A B C D$ .
Es gilt: $\overline{AB}=6\;\text{cm}$ ; $\overline{BC}=\overline{BD}=9\;\text{cm}$ ; $\overline{CD}=7\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle{DBA}=90°$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Viereck $A B C D$ sowie die Strecke $[B D]$ . Berechnen Sie sodann den Umfang des Vierecks $A B C D$ . (4 P)
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pythagoras
  Zeichnen Sie das Viereck $A B C D$ sowie die Strecke $\left[BD\right]$
  Berechne den Umfang des Vierecks $A B C D$ .
  Damit Du den Umfang des Vierecks $A B C D$ berechnen kannst, musst Du zuerst die Seite $A D$ berechnen.
  $\overline{DA}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BD}^2}\Rightarrow\overline{DA}=\sqrt{36+81}\;\text{cm}$
  $\overline{DA}=10{,}82\;\text{cm}$
  Berechne jetzt den Umfang des Vierecks $A B C D .$
  $u_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\Rightarrow U_{ABCD}=(6+9+7+10{,}82)\;\text{cm}$
  $u_{ABCD}=32{,}82\;\text{cm}$
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2. Berechnen Sie das Maß des Winkels $B D C$ . (2 P)
  $[$ Ergebnis: $\sphericalangle{BDC}=67{,}11°$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kosinussatz
  Berechne das Maß des Winkels $BDC\$ mit dem $K o s i n u s s a t z .$
  $\overline{BC}^2=\overline{CD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BDC}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}$
  $\Rightarrow\;\cos\sphericalangle{BDC}=\dfrac{\overline{CD}^2+\overline{BD}^2-\overline{BC}^2}{2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}}$
  $\cos\sphericalangle{BDC}=\dfrac{49+81-81\ }{2\cdot7\cdot9\ }\ \Rightarrow\cos\sphericalangle{BDC}=0{,}3889$
  $\sphericalangle{BDC}=67{,}11^\circ$
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3. Die Strecke $[C E]$ mit $E\in[BD]$ ist senkrecht zur Strecke $[B D]$ . Ergänzen Sie die Zeichnung zu 1a) um die Strecke $[C E]$ . Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Längen der Strecken $[C E]$ und $[D E]$ . (3 P)
  $[$ Teilergebnisse: $\overline{CE}=6{,}45\;\text{cm}$ ; $\overline{DE}=2{,}72\;\text{cm}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Die Strecke $[C E]$ mit $E \in [B D] E∈[BD]$ ist senkrecht zur Strecke $[B D]$ . Ergänze die Zeichnung zu 1a) um die Strecke $[C E]$ .
  Bestimme rechnerisch die Längen der Strecken $[C E]$ und $[D E]$ .
  Im Dreieck $B C D$ gilt, $\overline{BC}=\overline{BD}$ und $\sphericalangle{BDC}=\sphericalangle{BCD}=67{,}11^\circ$
  Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[C E]$
  $\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\sin\sphericalangle{BDC}\Rightarrow\ \ \overline{CE}=\overline{CD}\cdot\sin\sphericalangle{BDC}$ ; $\ \ \overline{CE}=7\;\text{cm}\cdot\sin67{,}11^\circ$
  $\overline{CE}=7\;\text{cm}\cdot0{,}9213$
  $\overline{CE}=6{,}45\;\text{cm}$
  Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[C D] .$
  $\overline{DE}^2= \overline{CD}^2-\overline{CE}^2\Rightarrow\ \overline{DE}=\sqrt{\overline{CD}^2-\overline{CE}^2}$ ; $\overline{DE}=\sqrt{49-41{,}60}\;\text{cm}$
  $\overline{DE}=\sqrt{7{,}40}\;\text{cm}$
  $\overline{DE}=2{,}72\;\text{cm}$
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4. Die Strecke $[E N]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $E$ zur Strecke $[B C]$ . Zeichnen Sie die Strecke $[E N]$ in die Zeichnung zu 1a) ein und berechnen Sie deren Länge. (4 P)
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Die Strecke $[E N]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $E$ zur Strecke $[B C]$ . Zeichne die Strecke $[E N]$ in die Zeichnung zu 1a) ein und berechne deren Länge.
  Zeichne die Strecke $[E N]$ ein.
  Berechne die Länge der Strecke $[E N]$
  Berechne zuerst den Winkel $C B D$ . Das Dreieck $B C D$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da: $\overline{BD}=\overline{BC}$ .
  $\sphericalangle{CDB}=\sphericalangle{BCD}=67{,}11^\circ$
  $\sphericalangle{CBD}=180^\circ-2\cdot67{,}11^\circ$
  $\sphericalangle{CBD}=45{,}78^\circ$
  $\overline{BE}=\overline{BD}-\overline{DE}\Rightarrow\overline{BE}=9\;\text{cm}-2{,}72\;\text{cm}=6{,}28\;\text{cm}$
  $\dfrac{\overline{EN}}{\overline{BE}}=\sin\sphericalangle{CBD}\Rightarrow\overline{EN}=\overline{BE}\cdot\sin\sphericalangle{CBD}$
  $\overline{EN}=6{,}28\;\text{cm}\cdot\sin{45{,}78}^\circ;\ \ \ \overline{EN}=6{,}28\;\text{cm}\cdot0{,}7167$
  $\overline{EN}=4{,}50\;\text{cm}$
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5. Der Kreis mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $r=\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[C D]$ im Punkt $F$ .
  Ergänzen Sie in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ . Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Figur $B C F E$ , die durch die Strecken $[E B]$ , $[B C]$ , $[C F]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt wird. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
  Der Kreis mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $r=\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[C D]$ im Punkt $F$ . Ergänze in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ . Berechne sodann den Flächeninhalt der Figur $B C F E$ , die durch die Strecken $[E B]$ , $[B C]$ , $[C F]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt wird.
  Flächeninhalt der Figur $B C F E$ = Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ $-$ Flächeninhalt des Kreissektors.
  Flächeninhalt Dreieck $B C D$ .
  $A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}\cdot\sin\sphericalangle{CDE}\Rightarrow\ A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot7\cdot9\cdot\sin67{,}11^\circ\ \text{cm}^2$
  $A_{BCD}=29{,}02\ \text{cm}^2$
  Flächeninhalt des Kreissektors.
  $A_{\text{Kreissektor}}=\dfrac{\sphericalangle{CDE}}{360^\circ}\cdot\overline{DE}^2\cdot\pi\ \text{cm}^2\Rightarrow\ A_{\text{Kreissektor}}=\dfrac{67{,}11^\circ}{360^\circ}\cdot2{,}72^2\cdot\pi\ \ \text{cm}^2$
  $A_{\text{Kreissektor}}=0{,}1864\cdot7{,}3984\cdot\pi\ \text{cm}^2$
  $A_{\text{Kreissektor}}=4{,}33\ \text{ cm}^2$
  $A_{BCFE}=\ A_{BCD}-A_{\text{Kreissektor}}$
  $A_{BCFE}=29{,}02\ \text{cm}^2-4{,}33\ \text{cm}^2$
  $A_{BCFE}=24{,}69\ \text{cm}^2$
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $[M S]$ , deren Grundfläche das Drachenviereck $A B C D$ ist. $M$ ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks $A B C D$ .
Es gilt: $\overline{AC}=13\;\text{cm}$ ; $\overline{AM}=9\;\text{cm}$ ; $\overline{BD}=12\;\text{cm}$ ; $\overline{MS}=8 \;\text{cm}$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega = 45°$ .
  Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[A S]$ und das Maß des Winkels SCA. (4 P)
  $[$ Teilergebnisse: $\overline{AS}=12{,}04\;\text{cm}$ ; $\sphericalangle{SCA}=63{,}43°$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
  Zeiche zuerst die Schrägbildachse, trage dann die Strecke $[B D]$ im Winkel $\omega=45^\circ$ zur Schrägbildachse an.
  Berechne die Länge der Strecke $[A S]$ .
  $\overline{AS}^2=\overline{AM}^2+\overline{MS}^2\quad\Rightarrow\quad \overline{AS}=\ \sqrt{\overline{AM}^2+\overline{MS}^2}$
  $\overline{AS}\ =\ \sqrt{{9}^2+{8}^2}\;\text{cm}$
  $\overline{AS}\ =\ 12{,}04\;\text{cm}$
  Berechne das Maß des Winkels $S C A .$
  $\tan\sphericalangle SCA\ =\ \dfrac{\overline{MS}}{\overline{AC}-\overline{AM}}\quad\Rightarrow\quad \tan\sphericalangle SCA\ =\ \dfrac{8}{13-9}$
  $\tan\sphericalangle SCA\ =\$ 2
  $\sphericalangle SCA\ =\ 63{,}43^\circ$
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2. Der Punkt $N$ liegt auf der Strecke $[M S]$ mit $\overline{MN}=2{,}5\;\text{cm}$ . Der Punkt $F$ ist der Schnittpunkt der Halbgeraden $[A N$ mit der Strecke $[C S]$ . Zeichnen Sie den Punkt $N$ und die Strecke $[A F]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels $C A F$ . (2 P)
  $[$ Teilergebnis: $\sphericalangle{CAF}=15{,}52°$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Einzeichnen des Punktes $N$ und der Strecke $[A F]$ .
  Berechnen des Winkles $C A F$ .
  $\tan \sphericalangle CAF\quad =\quad \dfrac{\overline{MN}}{\overline{AM}};\qquad\tan \sphericalangle CAF\quad =\quad \dfrac{2{,}5}{9}$
  $\sphericalangle CAF\ =\ 15{,}52^\circ$
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3. Der Punkt $N$ ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks $A E F G$ mit den Diagonalen $[A F]$ und $[E G]$ , wobei gilt:
  $E\in[BS)$ , $G\in[DS]$ und $[EG] \Vert[BD]$ .
  Zeichnen Sie die Strecke $[E G]$ und das Drachenviereck $A E F G$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{AEFG}$ des Drachenvierecks $A E F G$ . (5 P)
  $[$ Teilergebnis: $A_{AEFG}=48{,}88\;\text{cm}^2$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
  Zeichne die Strecke $[E G]$ und das Drachenviereck in die Pyramide $A B C D S$ .
  Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A E F G$ .
  Berechne die Strecke $[A F]$ .
  $\dfrac{\overline{AF}}{\sin\sphericalangle SCA}\ = \dfrac{\overline{AC}}{\sin\sphericalangle CFA};\qquad\qquad \dfrac{\overline{AF}}{\sin63{,}43^\circ}\ = \dfrac{{13\;\text{cm}}}{\sin(180^\circ-63{,}43^\circ-15{,}52^\circ)}$
  $\overline{AF}\ =\ \dfrac{13\;\text{cm}\cdot0{,}8944}{0{,}9815}\qquad\qquad\qquad\qquad\overline{AF}\ =11{,}85\;\text{cm}$
  Berechne die Strecke $[E F]$ .
  $\dfrac{\overline{MS}}{\overline{BD}}\ =\ \dfrac{\overline{SN}}{\overline{EG}} ;\qquad\qquad \overline{EG}\ =\dfrac{\overline{SN}\cdot \overline{BD}}{\overline{MS}}$
  $\overline{EG}\ =\dfrac{(8\;\text{cm}-2{,}5\;\text{cm})\cdot 12\;\text{cm}}{8\;\text{cm}}\qquad\qquad \overline{EG}\ =\ 8{,}25\;\text{cm}$
  Flächeninhalt des Drachenvierecks: $\quad AEFG\ =\ \dfrac{\overline{AF}\cdot\overline{EG}}{2}$
  $A_{AEFG}=\dfrac{11{,}85\;\text{cm}\cdot8{,}25\;\text{cm}}{2}$
  $A_{AEFG}\ =\ 48{,}88\;\text{cm}^2$
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4. Für Punkte $P_n\in[AS]$ gilt: $\overline{AP_n}(x)=x\;\text{cm}$ ( $x\in\mathbb{R} ; 0 \lt x \le12{,}04$ ). Sie sind die Spitzen von Pyramiden $A E F G P_{n}$ mit den Höhenfußpunkten $Q_n\in[AF]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $A E F G P_{1}$ und die Pyramidenhöhe $[P_{1} Q_{1}]$ für $x = 7$ in das Schrägbild zu 2a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Pyramidenhöhen $[P_{n} Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $\overline{P_nQ_n}(x)= 0{,}44\cdot x\;\text{cm}$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Zeichne die Pyramide $A E F G P_{1}$ und die Strecke $[P_{1} Q_{1}]$ in das Schrägbild ein.
  Zeige, dass für die Pyramidenhöhen $[P_{n} Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
  $\overline{P_nQ_n}(x)= 0{,}44\cdot x\;\text{cm}$
  Im Dreieck $P_{n} Q_{n} A$ gilt: $\quad\sin\sphericalangle Q_nAP_n=\dfrac{\overline {P_nQ_n}}{\overline {AP_n}}$
  $\sphericalangle Q_nAP_n\ =\ \sphericalangle CAS-\sphericalangle CAF$
  $\tan\sphericalangle CAS\ =\ \dfrac{\overline{SM}}{\overline{AM}}\ =\ \dfrac{8\;\text{cm}}{9\;\text{cm}};\quad\ \tan\sphericalangle CAS\ =\ 0{,}8889$
  $\sphericalangle CAS\ =\ 41{,}63^\circ$
  $\sphericalangle Q_nAP_n\ =\ 41{,}63^\circ\ -\ 15{,}52^\circ$
  $\sphericalangle Q_nAP_n\ =\ 26{,}11^\circ$
  $\sin26{,}11^\circ\ =\ \dfrac{\overline{P_nQ_n}}{x\ (\text{cm})}\qquad \Rightarrow\qquad \overline{P_nQ_n}\ =\sin26{,}11^\circ\cdot x\ (\text{cm})$
  $\overline{P_nQ_n}(x)\ =\ 0{,}44\cdot x\ (\text{cm})\qquad\qquad x\in\mathbb{R};\ 0<x\le12{,}04$
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5. Das Volumen der Pyramide $A E F G P_{2}$ beträgt $14\;\text{cm}^3$ .
  Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)
  cm
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:
  $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
  Gegeben ist:
  $G\ =\ 48{,}88 \;\text{cm}^2;\qquad h\ =\ 0{,}44\cdot x\;\text{cm};\qquad V\ =\ 14\;\text{cm}^3$
  $V(x)\ =\ \frac{1}{3}\cdot48{,}88\;\text{cm}^2\cdot0{,}44\cdot x\;\text{cm};\qquad V(x)\ =\ 7{,}17\ \;\text{cm}^2\cdot x\;\text{cm}$
  $V(x)\ =\ 7{,}17\;\text{cm}^2\cdot x\;\text{cm};\qquad\qquad\qquad 14\;\text{cm}^3\ =\ 7{,}17\cdot x\;\text{cm}^3$
  $x\ =\ 1{,}95$
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