Nachtermin Teil B

Zeichnen Sie das Viereck $ABCD$ sowie die Strecke $\left[BD\right]$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD$.

Damit Du den Umfang des Vierecks $ABCD$ berechnen kannst, musst Du zuerst die Seite $AD$ berechnen.

$\overline{DA}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BD}^2}\Rightarrow\overline{DA}=\sqrt{36+81}\;\text{cm}$

$\overline{DA}=10{,}82\;\text{cm}$

Berechne jetzt den Umfang des Vierecks $ABCD.$

$u_{ABCD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}\Rightarrow U_{ABCD}=(6+9+7+10{,}82)\;\text{cm}$

$u_{ABCD}=32{,}82\;\text{cm}$

Berechne das Maß des Winkels $BDC\$mit dem $Kosinussatz.$

$\overline{BC}^2=\overline{CD}^2+\overline{BD}^2-2\cdot\cos\sphericalangle{BDC}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}$

$\Rightarrow\;\cos\sphericalangle{BDC}=\dfrac{\overline{CD}^2+\overline{BD}^2-\overline{BC}^2}{2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}}$

$\cos\sphericalangle{BDC}=\dfrac{49+81-81\ }{2\cdot7\cdot9\ }\ \Rightarrow\cos\sphericalangle{BDC}=0{,}3889$

$\sphericalangle{BDC}=67{,}11^\circ$

Die Strecke $[CE]$ mit $E∈[BD]$ ist senkrecht zur Strecke $[BD]$. Ergänze die Zeichnung zu 1a) um die Strecke $[CE]$.

Bestimme rechnerisch die Längen der Strecken $[CE]$und $[DE]$.

Im Dreieck $BCD$ gilt, $\overline{BC}=\overline{BD}$ und $\sphericalangle{BDC}=\sphericalangle{BCD}=67{,}11^\circ$

Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[CE]$

$\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\sin\sphericalangle{BDC}\Rightarrow\ \ \overline{CE}=\overline{CD}\cdot\sin\sphericalangle{BDC}$; $\ \ \overline{CE}=7\;\text{cm}\cdot\sin67{,}11^\circ$

$\overline{CE}=7\;\text{cm}\cdot0{,}9213$

$\overline{CE}=6{,}45\;\text{cm}$

Rechnerische Bestimmung der Länge der Strecke $[CD].$

$\overline{DE}^2= \overline{CD}^2-\overline{CE}^2\Rightarrow\ \overline{DE}=\sqrt{\overline{CD}^2-\overline{CE}^2}$; $\overline{DE}=\sqrt{49-41{,}60}\;\text{cm}$

$\overline{DE}=\sqrt{7{,}40}\;\text{cm}$

$\overline{DE}=2{,}72\;\text{cm}$

Die Strecke $[EN]$ ist die kürzeste Verbindung des Punktes $E$ zur Strecke $[BC]$. Zeichne die Strecke$[EN]$ in die Zeichnung zu 1a) ein und berechne deren Länge.

Zeichne die Strecke $[EN]$ ein.

Berechne die Länge der Strecke $[EN]$

Berechne zuerst den Winkel $CBD$. Das Dreieck $BCD$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da: $\overline{BD}=\overline{BC}$.

$\sphericalangle{CDB}=\sphericalangle{BCD}=67{,}11^\circ$

$\sphericalangle{CBD}=180^\circ-2\cdot67{,}11^\circ$

$\sphericalangle{CBD}=45{,}78^\circ$

$\overline{BE}=\overline{BD}-\overline{DE}\Rightarrow\overline{BE}=9\;\text{cm}-2{,}72\;\text{cm}=6{,}28\;\text{cm}$

$\dfrac{\overline{EN}}{\overline{BE}}=\sin\sphericalangle{CBD}\Rightarrow\overline{EN}=\overline{BE}\cdot\sin\sphericalangle{CBD}$

$\overline{EN}=6{,}28\;\text{cm}\cdot\sin{45{,}78}^\circ;\ \ \ \overline{EN}=6{,}28\;\text{cm}\cdot0{,}7167$

$\overline{EN}=4{,}50\;\text{cm}$

Der Kreis mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $r=\overline{DE}$ schneidet die Strecke $[CD]$ im Punkt $F$. Ergänze in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen $\overset\frown{EF}$. Berechne sodann den Flächeninhalt der Figur $BCFE$, die durch die Strecken $[EB]$, $[BC]$, $[CF]$ und den Kreisbogen $\overset\frown{EF}$ begrenzt wird.

Flächeninhalt der Figur $BCFE$= Flächeninhalt des Dreiecks $BCD$$-$ Flächeninhalt des Kreissektors.

Flächeninhalt Dreieck $BCD$.

$A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{BD}\cdot\sin\sphericalangle{CDE}\Rightarrow\ A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot7\cdot9\cdot\sin67{,}11^\circ\ \text{cm}^2$

$A_{BCD}=29{,}02\ \text{cm}^2$

Flächeninhalt des Kreissektors.

$A_{\text{Kreissektor}}=\dfrac{\sphericalangle{CDE}}{360^\circ}\cdot\overline{DE}^2\cdot\pi\ \text{cm}^2\Rightarrow\ A_{\text{Kreissektor}}=\dfrac{67{,}11^\circ}{360^\circ}\cdot2{,}72^2\cdot\pi\ \ \text{cm}^2$

$A_{\text{Kreissektor}}=0{,}1864\cdot7{,}3984\cdot\pi\ \text{cm}^2$

$A_{\text{Kreissektor}}=4{,}33\ \text{ cm}^2$

$A_{BCFE}=\ A_{BCD}-A_{\text{Kreissektor}}$

$A_{BCFE}=29{,}02\ \text{cm}^2-4{,}33\ \text{cm}^2$

$A_{BCFE}=24{,}69\ \text{cm}^2$

Zeiche zuerst die Schrägbildachse, trage dann die Strecke $[BD]$ im Winkel $\omega=45^\circ$ zur Schrägbildachse an.

Berechne die Länge der Strecke $[AS]$.

$\overline{AS}^2=\overline{AM}^2+\overline{MS}^2\quad\Rightarrow\quad \overline{AS}=\ \sqrt{\overline{AM}^2+\overline{MS}^2}$

$\overline{AS}\ =\ \sqrt{{9}^2+{8}^2}\;\text{cm}$

$\overline{AS}\ =\ 12{,}04\;\text{cm}$

Berechne das Maß des Winkels $SCA.$

$\tan\sphericalangle SCA\ =\ \dfrac{\overline{MS}}{\overline{AC}-\overline{AM}}\quad\Rightarrow\quad \tan\sphericalangle SCA\ =\ \dfrac{8}{13-9}$

$\tan\sphericalangle SCA\ =\$2

$\sphericalangle SCA\ =\ 63{,}43^\circ$

Einzeichnen des Punktes $N$ und der Strecke $[AF]$.

Berechnen des Winkles $CAF$.

$\tan \sphericalangle CAF\quad =\quad \dfrac{\overline{MN}}{\overline{AM}};\qquad\tan \sphericalangle CAF\quad =\quad \dfrac{2{,}5}{9}$

$\sphericalangle CAF\ =\ 15{,}52^\circ$

Zeichne die Strecke $[EG]$ und das Drachenviereck in die Pyramide $ABCDS$.

Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks $AEFG$.

Berechne die Strecke $[AF]$.

$\dfrac{\overline{AF}}{\sin\sphericalangle SCA}\ = \dfrac{\overline{AC}}{\sin\sphericalangle CFA};\qquad\qquad \dfrac{\overline{AF}}{\sin63{,}43^\circ}\ = \dfrac{{13\;\text{cm}}}{\sin(180^\circ-63{,}43^\circ-15{,}52^\circ)}$

$\overline{AF}\ =\ \dfrac{13\;\text{cm}\cdot0{,}8944}{0{,}9815}\qquad\qquad\qquad\qquad\overline{AF}\ =11{,}85\;\text{cm}$

Berechne die Strecke $[EF]$.

$\dfrac{\overline{MS}}{\overline{BD}}\ =\ \dfrac{\overline{SN}}{\overline{EG}} ;\qquad\qquad \overline{EG}\ =\dfrac{\overline{SN}\cdot \overline{BD}}{\overline{MS}}$

$\overline{EG}\ =\dfrac{(8\;\text{cm}-2{,}5\;\text{cm})\cdot 12\;\text{cm}}{8\;\text{cm}}\qquad\qquad \overline{EG}\ =\ 8{,}25\;\text{cm}$

Flächeninhalt des Drachenvierecks: $\quad AEFG\ =\ \dfrac{\overline{AF}\cdot\overline{EG}}{2}$

$A_{AEFG}=\dfrac{11{,}85\;\text{cm}\cdot8{,}25\;\text{cm}}{2}$

$A_{AEFG}\ =\ 48{,}88\;\text{cm}^2$

Zeichne die Pyramide $AEFGP_1$ und die Strecke $[P_1Q_1]$in das Schrägbild ein.

Zeige, dass für die Pyramidenhöhen $[P_nQ_n]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:

$\overline{P_nQ_n}(x)= 0{,}44\cdot x\;\text{cm}$

Im Dreieck $P_nQ_nA$ gilt: $\quad\sin\sphericalangle Q_nAP_n=\dfrac{\overline {P_nQ_n}}{\overline {AP_n}}$

$\sphericalangle Q_nAP_n\ =\ \sphericalangle CAS-\sphericalangle CAF$

$\tan\sphericalangle CAS\ =\ \dfrac{\overline{SM}}{\overline{AM}}\ =\ \dfrac{8\;\text{cm}}{9\;\text{cm}};\quad\ \tan\sphericalangle CAS\ =\ 0{,}8889$

$\sphericalangle CAS\ =\ 41{,}63^\circ$

$\sphericalangle Q_nAP_n\ =\ 41{,}63^\circ\ -\ 15{,}52^\circ$

$\sphericalangle Q_nAP_n\ =\ 26{,}11^\circ$

$\sin26{,}11^\circ\ =\ \dfrac{\overline{P_nQ_n}}{x\ (\text{cm})}\qquad \Rightarrow\qquad \overline{P_nQ_n}\ =\sin26{,}11^\circ\cdot x\ (\text{cm})$

$\overline{P_nQ_n}(x)\ =\ 0{,}44\cdot x\ (\text{cm})\qquad\qquad x\in\mathbb{R};\ 0<x\le12{,}04$

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Gegeben ist:

$G\ =\ 48{,}88 \;\text{cm}^2;\qquad h\ =\ 0{,}44\cdot x\;\text{cm};\qquad V\ =\ 14\;\text{cm}^3$

$V(x)\ =\ \frac{1}{3}\cdot48{,}88\;\text{cm}^2\cdot0{,}44\cdot x\;\text{cm};\qquad V(x)\ =\ 7{,}17\ \;\text{cm}^2\cdot x\;\text{cm}$

$V(x)\ =\ 7{,}17\;\text{cm}^2\cdot x\;\text{cm};\qquad\qquad\qquad 14\;\text{cm}^3\ =\ 7{,}17\cdot x\;\text{cm}^3$

$x\ =\ 1{,}95$