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Nachtermin Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier  zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe B1

    Die Skizze zeigt das Viereck ABCDABCD.

    Es gilt: AB=6  cm\overline{AB}=6\;\text{cm}; BC=BD=9  cm\overline{BC}=\overline{BD}=9\;\text{cm}; CD=7  cm\overline{CD}=7\;\text{cm}; DBA=90°\sphericalangle{DBA}=90°.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Viereck
    1. Zeichnen Sie das Viereck ABCDABCD sowie die Strecke [BD][BD]. Berechnen Sie sodann den Umfang des Vierecks ABCDABCD. (4 P)

      cm
    2. Berechnen Sie das Maß des Winkels BDCBDC. (2 P)

      [[Ergebnis: BDC=67,11°\sphericalangle{BDC}=67{,}11°]]

    3. Die Strecke [CE][CE] mit E[BD]E\in[BD] ist senkrecht zur Strecke [BD][BD]. Ergänzen Sie die Zeichnung zu 1a) um die Strecke [CE][CE]. Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Längen der Strecken [CE][CE] und [DE][DE]. (3 P)

      [[Teilergebnisse: CE=6,45  cm\overline{CE}=6{,}45\;\text{cm}; DE=2,72  cm\overline{DE}=2{,}72\;\text{cm}]]

    4. Die Strecke [EN][EN] ist die kürzeste Verbindung des Punktes EE zur Strecke [BC][BC]. Zeichnen Sie die Strecke [EN][EN] in die Zeichnung zu 1a) ein und berechnen Sie deren Länge. (4 P)

      cm
    5. Der Kreis mit dem Mittelpunkt DD und dem Radius r=DEr=\overline{DE} schneidet die Strecke [CD][CD] im Punkt FF.

      Ergänzen Sie in der Zeichnung zu 1a) den zugehörigen Kreisbogen EF\overset\frown{EF}. Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt der Figur BCFEBCFE, die durch die Strecken [EB][EB], [BC][BC], [CF][CF] und den Kreisbogen EF\overset\frown{EF} begrenzt wird. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe B2

    Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundfläche das Drachenviereck ABCDABCD ist. MM ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks ABCDABCD.

    Es gilt: AC=13  cm\overline{AC}=13\;\text{cm}; AM=9  cm\overline{AM}=9\;\text{cm}; BD=12  cm\overline{BD}=12\;\text{cm} ; MS=8  cm\overline{MS}=8 \;\text{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    Pyramide
    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} ; ω=45°\omega = 45°.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [AS][AS] und das Maß des Winkels SCA. (4 P)

      [[Teilergebnisse: AS=12,04  cm\overline{AS}=12{,}04\;\text{cm}; SCA=63,43°\sphericalangle{SCA}=63{,}43°]]

    2. Der Punkt NN liegt auf der Strecke [MS][MS] mit MN=2,5  cm\overline{MN}=2{,}5\;\text{cm}. Der Punkt FF ist der Schnittpunkt der Halbgeraden [AN[AN mit der Strecke [CS][CS]. Zeichnen Sie den Punkt NN und die Strecke [AF][AF] in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels CAFCAF. (2 P)

      [[Teilergebnis: CAF=15,52°\sphericalangle{CAF}=15{,}52°]]

    3. Der Punkt NN ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks AEFGAEFG mit den Diagonalen [AF][AF] und [EG][EG], wobei gilt:

      E[BS) E\in[BS), G[DS]G\in[DS] und [EG][BD][EG] \Vert[BD].

      Zeichnen Sie die Strecke [EG][EG] und das Drachenviereck AEFGAEFG in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den Flächeninhalt AAEFGA_{AEFG} des Drachenvierecks AEFGAEFG. (5 P)

      [[Teilergebnis: AAEFG=48,88  cm2A_{AEFG}=48{,}88\;\text{cm}^2]]

    4. Für Punkte Pn[AS]P_n\in[AS] gilt: APn(x)=x  cm\overline{AP_n}(x)=x\;\text{cm} (xR;0<x12,04x\in\mathbb{R} ; 0 \lt x \le12{,}04). Sie sind die Spitzen von Pyramiden AEFGPnAEFGP_n mit den Höhenfußpunkten Qn[AF]Q_n\in[AF]. Zeichnen Sie die Pyramide AEFGP1AEFGP_1 und die Pyramidenhöhe [P1Q1][P_1Q_1] für x=7x=7 in das Schrägbild zu 2a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Pyramidenhöhen [PnQn][P_nQ_n] in Abhängigkeit von xx gilt: PnQn(x)=0,44x  cm\overline{P_nQ_n}(x)= 0{,}44\cdot x\;\text{cm}. (4 P)

    5. Das Volumen der Pyramide AEFGP2AEFGP_2 beträgt 14  cm314\;\text{cm}^3.

      Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für xx. (2 P)

      cm

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