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Aufgabe B2

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe [MS][MS], deren Grundfläche das Drachenviereck ABCDABCD ist. MM ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks ABCDABCD.

Es gilt: AC=13  cm\overline{AC}=13\;\text{cm}; AM=9  cm\overline{AM}=9\;\text{cm}; BD=12  cm\overline{BD}=12\;\text{cm} ; MS=8  cm\overline{MS}=8 \;\text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Pyramide
  1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung gilt: q=12q=\dfrac{1}{2} ; ω=45°\omega = 45°.

    Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [AS][AS] und das Maß des Winkels SCA. (4 P)

    [[Teilergebnisse: AS=12,04  cm\overline{AS}=12{,}04\;\text{cm}; SCA=63,43°\sphericalangle{SCA}=63{,}43°]]

  2. Der Punkt NN liegt auf der Strecke [MS][MS] mit MN=2,5  cm\overline{MN}=2{,}5\;\text{cm}. Der Punkt FF ist der Schnittpunkt der Halbgeraden [AN[AN mit der Strecke [CS][CS]. Zeichnen Sie den Punkt NN und die Strecke [AF][AF] in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels CAFCAF. (2 P)

    [[Teilergebnis: CAF=15,52°\sphericalangle{CAF}=15{,}52°]]

  3. Der Punkt NN ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks AEFGAEFG mit den Diagonalen [AF][AF] und [EG][EG], wobei gilt:

    E[BS) E\in[BS), G[DS]G\in[DS] und [EG][BD][EG] \Vert[BD].

    Zeichnen Sie die Strecke [EG][EG] und das Drachenviereck AEFGAEFG in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den Flächeninhalt AAEFGA_{AEFG} des Drachenvierecks AEFGAEFG. (5 P)

    [[Teilergebnis: AAEFG=48,88  cm2A_{AEFG}=48{,}88\;\text{cm}^2]]

  4. Für Punkte Pn[AS]P_n\in[AS] gilt: APn(x)=x  cm\overline{AP_n}(x)=x\;\text{cm} (xR;0<x12,04x\in\mathbb{R} ; 0 \lt x \le12{,}04). Sie sind die Spitzen von Pyramiden AEFGPnAEFGP_n mit den Höhenfußpunkten Qn[AF]Q_n\in[AF]. Zeichnen Sie die Pyramide AEFGP1AEFGP_1 und die Pyramidenhöhe [P1Q1][P_1Q_1] für x=7x=7 in das Schrägbild zu 2a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Pyramidenhöhen [PnQn][P_nQ_n] in Abhängigkeit von xx gilt: PnQn(x)=0,44x  cm\overline{P_nQ_n}(x)= 0{,}44\cdot x\;\text{cm}. (4 P)

  5. Das Volumen der Pyramide AEFGP2AEFGP_2 beträgt 14  cm314\;\text{cm}^3.

    Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für xx. (2 P)

    cm